1、2.8 函数与方程函数与方程 典例精析典例精析 题型一 确定函数零点所在的区间 【例 1】已知函数 f(x)xlog2x，问方程 f(x)0 在区间14，4上有没有实根，为什么？ 【解析】因为 f (14)14log214142740， f(4)4log244260，f(14) f(4)0，又 f(x)xlog2x 在区间14，4是连续的， 所以函数 f(x)在区间14，4上有零点，即存在 c14，4，使 f(c)0， 所以方程 f(x)0 在区间14，4上有实根. 【点拨】判断函数 f(x)的零点是否在区间(a，b)内，只需检验两条：函数 f(x)在区间(a，b)上是连续不断的；f(a) f
2、(b)0. 【变式训练 1】若 x0 是函数 f(x)x2x8 的一个零点，则x0(表示不超过 x0 的最大整数) . 【解析】因为函数 f(x)x2x8 在区间(，)上是连续不间断的单调递增函数，且 f(2)f(3)0，所以函数 f(x)在区间(2,3)上存在唯一的零点 x0，所以x02. 题型二 判断函数零点的个数 【例 2】判断下列函数的零点个数. (1)f(x)x2mx(m2)； (2)f(x)x4log2x. 【解析】(1)由 m24(m2)(m2)240，得知 f(x)x2mx(m2)0 有两个不同的零点. (2)因为函数 f(x)x4log2x 在区间(0，)上是连续不间断的单调
3、递增函数，且 f(2) f(3)0，所以函数 f(x)在区间(0，)上存在唯一的零点. 【点拨】判断函数的零点个数有以下两种方法： (1)方程 f(x)0 的根的个数即为函数 f(x)的零点个数； (2)函数 f(x)与 x 轴的交点个数，即为函数 f(x)的零点个数； 特殊情况下，还可以将方程 f(x)0 化为方程 g(x)h(x)，然后再看函数 yg(x)与 yh(x)的交点个数. 【变式训练 2】问 a 为何值时，函数 f(x)x33xa 有三个零点，二个零点，一个零点？ 【解析】f(x)3x230，得 x11，x21，此时 f(x)有极大值 f(1)2a，极小值 f(1)2a.由图象(
4、图略)得知： 当2a2 时，函数 f(x)有三个零点； 当 a2 或 a2 时，函数 f(x)有两个零点； 当 a2 或 a2 时，函数 f(x)有一个零点. 题型三 利用导数工具研究函数零点问题 【例 3】设函数 f(x)x32x24x2a. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)关于 x 的方程 f(x)a2 在3,2上有三个相异的零点，求 a 的取值范围. 【解析】(1)f(x)3x24x4. 由 f(x)0，得 x2 或 x23；由 f(x)0，得2x23. 故 f(x)的递增区间为(，2)、(23，)， f(x)的递减区间为(2，23). (2)由 f(x)a2 x32x24xa
5、22a0， 令 g(x)x32x24xa22a. 所以 g(x)3x24x4. 由(1)可知，g(x)在(，2)和(23，)上递增，在(2，23)上递减，故 g(x)在3， 2和23，2)上为增函数，在2，23上为减函数. 关于 x 的方程 f(x)a2 在3,2上有三个不同的零点，则 解得2a1 或 3a4. 【点拨】(1)先求 f(x)，由 f(x)0 求出极值点，再讨论单调性；(2)利用(1)及函数 f(x)的大致图形，找到满足题设的 a 的条件. 【变式训练 3】已知函数 f(x)x3312ax22bxc 的两个极值分别为 f(x1)和 f(x2)，若 x1 和 x2分别在区间(0,1
6、)与(1,2)内，则b2a1的取值范围为( ) A.(1，14) B.(，14)(1，) C.(14，1) D.(14，2) 【解析】因为 f(x)x2ax2b，由题意可知， 画出 a，b 满足的可行域，如图中的阴影部分(不包括边界)所示，b2a1表示可行域内的点与点 D(1,2)的连线的斜率，记为 k，观察图形可知，kCDkkBD，而 kCD211(3)14，kBD201(1)1，所以14b2a11，故选 C. 总结提高 函数的零点就是方程的实数根， 也就是函数的图象与 x 轴的交点的横坐标， 注意零点不是“点”，. 0224)2( , 021) 1 ( 02)0( bafbafbf并不是所有的函数都有零点，或者说不是所有的函数图象都与 x 轴有交点.二分法是求一般函数零点的一种通法，但要注意使用二分法的条件.二分法是利用“逐步逼近”的数学思想得到零点的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一个零点，二是在(a，b)内有零点时，未必 f(a) f(b)0 成立，三是二分法计算量较大，常要借助计算器完成.