1、 6.3 等比数列等比数列 典例精析典例精析 题型一 等比数列的基本运算与判定 【例 1】数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2nSn(n1,2,3，).求证： (1)数列Snn是等比数列；(2)Sn14an. 【解析】(1)因为 an1Sn1Sn，an1n2nSn， 所以(n2)Snn(Sn1Sn). 整理得 nSn12(n1)Sn，所以Sn1n12Snn， 故Snn是以 2 为公比的等比数列. (2)由(1)知Sn1n14Sn1n14ann1(n2)， 于是 Sn14(n1)Sn1n14an(n2). 又 a23S13，故 S2a1a24. 因此对于任意正整数 n1，都
2、有 Sn14an. 【点拨】运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量 a1、q 的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前 n 项和公式时，应充分讨论公比 q 是否等于 1；应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法， 若判断一个数列是等比数列可用an1anq(常数)恒成立， 也可用 a2 n1 an an2 恒成立，若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法. 【变式训练 1】等比数列an中，a1317，q12.记 f(n)a1a2an，则当 f(n)最大时，n 的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10
3、 【解析】 an317 (12)n1， 易知 a931712561， a100,0a111.又 a1a2a90， 故 f(9)a1a2a9 的值最大，此时 n9.故选 C. 题型二 性质运用 【例 2】在等比数列an中，a1a633，a3a432，anan1(nN*). (1)求 an； (2)若 Tnlg a1lg a2lg an，求 Tn. 【解析】(1)由等比数列的性质可知 a1a6a3a432， 又 a1a633，a1a6，解得 a132，a61， 所以a6a1132，即 q5132，所以 q12， 所以 an32(12)n126n . (2)由等比数列的性质可知，lg an是等差数列
4、， 因为 lg anlg 26n(6n)lg 2，lg a15lg 2， 所以 Tn(lg a1lg an)n2n(11n)2lg 2. 【点拨】历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握. 【变式训练 2】在等差数列an中，若 a150，则有等式 a1a2ana1a2a29n(n29，nN*)成立，类比上述性质，相应地在等比数列bn中，若 b191，能得到什么等式？ 【解析】由题设可知，如果 am0，在等差数列中有 a1a2ana1a2a2m1n(n2m1，nN*)成立， 我们知道，如果 mnpq，则 amanapaq， 而对于等比数列bn，则有若
5、 mnpq，则 amanapaq，所以可以得出结论： 若 bm1，则有 b1b2bnb1b2b2m1n(n2m1，nN*)成立. 在本题中则有 b1b2bnb1b2b37n(n37，nN*). 题型三 综合运用 【例 3】设数列an的前 n 项和为 Sn，其中 an0，a1 为常数，且a1，Sn，an1 成等差数列. (1)求an的通项公式； (2)设 bn1Sn，问是否存在 a1，使数列bn为等比数列？若存在，则求出 a1 的值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)由题意可得 2Snan1a1. 所以当 n2 时，有 两式相减得 an13an(n2). 又 a22S1a13a1，an0， 所
6、以an是以首项为 a1，公比为 q3 的等比数列. 所以 ana13n1. (2)因为 Sna1(1qn)1q12a112a13n，所以 bn1Sn112a112a13n. 要使bn为等比数列，当且仅当 112a10，即 a12，此时 bn3n. 所以bn是首项为 3，公比为 q3 的等比数列. 所以bn能为等比数列，此时 a12. 【变式训练 3】已知命题：若an为等差数列，且 ama，anb(mn，m、nN*)，则 amnbnamnm.现在已知数列bn(bn0，nN*)为等比数列，且 bma，bnb(mn，m，nN*)，类比上述结论得 bmn . 11, 1122aaSaaSnnnn【解析】nmbnam. 总结提高 1.方程思想，即等比数列an中五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可“知三求二”，通过求和与通项两公式列方程组求解. 2.对于已知数列an递推公式 an 与 Sn 的混合关系式，利用公式 anSnSn1(n2)，再引入辅助数列，转化为等比数列问题求解. 3.分类讨论思想：当 a10，q1 或 a10,0q1 时，等比数列an为递增数列；当 a10,0q1 或 a10，q1 时，an为递减数列；q0 时，an为摆动数列；q1 时，an为常数列.