1、5.2 同角三角函数的关系、诱导公式同角三角函数的关系、诱导公式 典例精析典例精析 题型一 三角函数式的化简问题 【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将 视为锐角后，再判断所求角的象限. 【变式训练 1】已知 f(x) 1x，(34，)，则 f(sin 2)f(sin 2) . 【解析】f(sin 2)f(sin 2) 1sin 2 1sin 2 (sin cos )2 (sin cos )2|sin cos |sin cos |. 因为 (34，)，所以 sin cos 0，sin cos 0. 所以|sin cos |sin cos |sin cos sin cos 2cos . 题型
2、二 三角函数式的求值问题 【例 2】已知向量 a(sin ，cos 2sin )，b(1,2). (1)若 ab，求 tan 的值； (2)若|a|b|，0，求 的值. 【解析】(1)因为 ab，所以 2sin cos 2sin ， 于是 4sin cos ，故 tan 14. (2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin )25， 所以 12sin 24sin25. 从而2sin 22(1cos 2)4，即 sin 2cos 21， 于是 sin(24)22. 又由 0 知，42494， 所以 2454或 2474. 因此 2或 34. 【变式训练 2】已知 tan 12，则 2sin
3、cos cos2 等于( ) A.45 B.85 C.65 D.2 【解析】原式2sin cos cos2sin2cos22tan 11tan285.故选 B. 题型三 三角函数式的简单应用问题 【例 3】已知2x0 且 sin xcos x15，求： (1)sin xcos x 的值； (2)sin3(2x)cos3(2x)的值. 【解析】(1)由已知得 2sin xcos x2425，且 sin x0cos x， 所以 sin xcos x (sin xcos x)2 12sin xcos x1242575. (2)sin3(2x)cos3(2x)cos3xsin3x(cos xsin x
4、)(cos2xcos xsin xsin2x) 75 (11225)91125. 【点拨】求形如 sin x cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求 sin x cos x 取值符号. 【变式训练 3】化简1cos4sin41cos6sin6. 【解析】原式1(cos2sin2)22sin2cos21(cos2sin2)(cos4sin4sin2cos2) 2sin2cos21(cos2sin2)23sin2cos223. 总结提高 1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义， 只要是“同一个角”， 那么基本关系式就成立，如：sin2(2)cos2(2)1 是恒成立的. 2.诱导公式的重要作用在于： 它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.