1、2.10 函数的综合应用函数的综合应用 典例精析典例精析 题型一 抽象函数的计算或证明 【例 1】已知函数 f (x)对于任何实数 x，y 都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(0)0. 求证： f(x)是偶函数. 【证明】因为对于任何实数 x、y 都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)， 令 xy0，则 f(0)f(0)2f(0)f(0)，所以 2f(0)2f(0)f(0)， 因为 f(0)0，所以 f(0)1， 令 x0，yx，则 f(0 x)f(0 x)2f(0)f(x)， 所以 f(x)f(x)2f(x)，所以 f(x)f(x)， 故 f(x)是偶函数. 【点拨】
2、对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径；判断或证明抽象函数的奇偶性单调性时，既要扣紧函数奇偶性单调性的定义，又要灵活多变，以创造条件满足定义的要求. 【变式训练 1】已知函数 f(x)对任意的 x，y 有 f(xy)f(x)f(y)，且 f(x)的定义域为 R，请判定 f(x)的奇偶性. 【解析】取 xy0，得 f(0)0. 取 yx，得 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数. 题型二 函数与导数的综合应用 【例 2】已知函数 f(x)x32x2ax1. (1)若函数 f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 4，求实数 a 的值； (2)若函数 g(x)f(x)在区间
3、(1,1)上存在零点，求实数 a 的取值范围. 【解析】由题意得 g(x)f(x)3x24xa. (1)f(1)34a4，所以 a3. (2)方法一：当 g(1)a10，即 a1 时，g(x)f(x)的零点 x13(1,1)； 当 g(1)7a0，即 a7时， f(x)的零点 x73(1,1)，不合题意； 当 g(1)g(1)0 时，1a7； 当时，43a1.综上所述，a43，7). 方法二：g(x)f(x)在区间(1,1)上存在零点，等价于 3x24xa 在区间(1,1)上有解，也等价于直线 ya 与曲线 y3x24x，x(1,1)有公共点，作图可得 a43，7). 方法三：等价于当 x(1
4、,1)时，求值域：a3x24x3(x23)24343，7). 【变式训练 2】二次函数 yax2bxc(a0)的图象与坐标轴交于(1,0)和(0，1)，且其顶点在第四象限，则 abc 的取值范围为 . 【解析】由已知 c1，abc0，所以 abc2a2. 又0a1，所以 abc(2,0). 题型三 化归求函数的最大值和最小值问题 【例 3】某个体经营者把开始 6 个月试销售 A、B 两种商品的逐月投资与所获得的纯利润列成下表： 投资 A 商品(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 0) 1(, 0) 1 (, 1321, 0)34
5、(4gga02, 0aba投资 B 商品(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者下月投入 12 万元经营这两种商品，但不知投入 A、B 两种商品各多少才能获得最大的利润，请你帮助制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润，并根据你的方案求出经营者下个月可能获得的最大利润(结果保留两个有效数字). 【解析】以投资金额为横坐标，纯利润为纵坐标，可以在直角坐标系中画出图象. 据此可以考虑用下列函数描述上述两组数据之间的对应关系 ya(x4)22 (a0)， ybx， 把 x1，y0.65 代入得 a0.15，故前 6 个月所
6、获得的纯利润关于投资 A 商品的金额函数关系式可近似的用 y0.15(x4)22 表示， 再把 x4，y1 代入可得 b0.25，故前 6 个月所获得的纯利润关于投资 B 商品的金额函数关系式可近似的用 y0.25x 表示， 设下个月投资 A 商品 x 万元，则投资 B 商品(12x)万元，则可获得纯利润为 y0.15(x4)220.25(12x)0.15x20.95x2.6， 可得当 x3.2 时，y 取最大值 4.1 万元. 故下个月分别投资 A、B 两种商品 3.2 万元和 8.8 万元可获得最大利润 4.1 万元. 【点拨】本题可以用两个函数近似地表示两种投资方案，是估计思想的体现.根
7、据表中所列数据， 把近似函数的解析式求出来， 由此求得最大利润.解决此类问题的关键在于根据列出的散点图来选取适当的函数模型，然后求出待定系数便可求得函数解析式，再由解析式求最优解. 【变式训练 3】求函数 y的值域. 【解析】x0 时，y0； x0 时，y，所以 0y1； x0 时，y，所以 2y0. 综上， 2y1. 总结提高 1.函数把数学各个分支紧紧地连在一起，函数与方程、不等式、数列、几何、三角函数彼此渗透、互相融合，构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性.解这类综合问题应注意如下几点： (1)在解题时有些函数的性质并不明显，深入挖掘这些隐含条件，将获得简捷解法； (2)应
8、坚持“定义域优先”的原则，先弄清自变量的取值范围； (3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要有意识地引进变量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题. 2.解函数应用题的基本步骤： (1)阅读理解， 审清题意.读题要逐字逐句， 读懂题中的文字叙述， 理解叙述所表达的实际背景，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题； (2)引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为 x，函数为 y，必要时引进其他相关辅助变量，并用 x、y 和辅助变量表示各相关量，然后再根据问题已知条件，运用已掌握的数学知222 xxx21)211(212x21)211(212x识、物理知识和其他相关知识建立关系式，在此基础上，将实际问题转化为函数问题，实现问题数学化，即建立数学模型； (3)利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求出结果； (4)将所得结果转译成具体问题的解答.