1、6.4 数列求和数列求和 典例精析典例精析 题型一 错位相减法求和 【例 1】求和：Sn1a2a23a3nan. 【解析】(1)a1 时，Sn123nn(n1)2. (2)a1 时，因为 a0， Sn1a2a23a3nan， 1aSn1a22a3n1annan1. 由得(11a)Sn1a1a21annan11a(11an)11anan1， 所以 Sna(an1)n(a1)an(a1)2. 综上所述，Sn 【点拨】(1)若数列an是等差数列，bn是等比数列，则求数列anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法； (2)当等比数列公比为字母时，应对字母是否为 1 进行讨论； (3)当将 Sn 与 q
2、Sn 相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号. 【变式训练 1】数列2n32n3的前 n 项和为( ) A.42n12n1 B.42n72n2 C.82n12n3 D.63n22n1 ).1() 1() 1() 1(),1(2) 1(2aaaanaaannnn【解析】取 n1，2n32n34.故选 C. 题型二 分组并项求和法 【例 2】求和 Sn1(112)(11214)(1121412n1). 【解析】和式中第 k 项为 ak1121412k11(12)k1122(112k). 所以 Sn2(112)(1122)(112n) (1212212n) 2n12(112n)1122n(11
3、2n)2n212n1. 【变式训练 2】数列 1, 12, 1222，122223，12222n1，的前 n项和为( ) A.2n1 B.n2nn C.2n1n D.2n1n2 【解析】an12222n12n1， Sn(211)(221)(2n1)2n1n2.故选 D. 题型三 裂项相消法求和 【例 3】数列an满足 a18，a42，且 an22an1an0 (nN*). (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn1n(14an)(nN*)， Tnb1b2bn(nN*)， 若对任意非零自然数 n， Tnm32恒成立，求 m 的最大整数值. 【解析】(1)由 an22an1an0，得 an2a
4、n1an1an， ) 111 ( 2 个n从而可知数列an为等差数列，设其公差为 d，则 da4a1412， 所以 an8(n1) (2)102n. (2)bn1n(14an)12n(n2)14(1n1n2)， 所以 Tnb1b2bn14(1113)(1214)(1n1n2) 14(1121n11n2)3814(n1)14(n2)m32 ， 上式对一切 nN*恒成立. 所以 m128n18n2对一切 nN*恒成立. 对 nN*，(128n18n2)min12811812163， 所以 m163，故 m 的最大整数值为 5. 【点拨】(1)若数列an的通项能转化为 f(n1)f(n)的形式，常采
5、用裂项相消法求和. (2)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项. 【变式训练 3】 已知数列an， bn的前 n 项和为 An， Bn， 记 cnanBnbnAnanbn(nN*)，则数列cn的前 10 项和为( ) A.A10B10 B.A10B102 C.A10B10 D. A10B10 【解析】 n1， c1A1B1； n2， cnAnBnAn1Bn1， 即可推出cn的前 10 项和为 A10B10，故选 C. 总结提高 1.常用的基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键. 2.数列求和实质就是求数列Sn的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.