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高考数学一轮复习总教案:3.1导数的应用一

1、3.13.1 导数的应用导数的应用( (一一) ) 典例精析典例精析 题型一 求函数 f(x)的单调区间 【例 1】已知函数 f(x)x2axaln(x1)(aR),求函数 f(x)的单调区间. 【解析】函数 f(x)x2axaln(x1)的定义域是(1,). f(x)2xaax12x(xa22)x1, 若 a0,则a221,f(x)2x(xa22)x10 在(1,)上恒成立,所以 a0 时,f(x)的增区间为(1,). 若 a0,则a221, 故当 x(1,a22时,f(x)2x(xa22)x10; 当 xa22,)时,f(x)2x(xa22)x10, 所以 a0 时,f(x)的减区间为(1

2、,a22,f(x)的增区间为a22,). 【点拨】在定义域 x1 下,为了判定 f(x)符号,必须讨论实数a22与 0 及 1 的大小,分类讨论是解本题的关键. 【变式训练 1】已知函数 f(x)x2ln xax 在(0,1)上是增函数,求 a 的取值范围. 【解析】因为 f(x)2x1xa,f(x)在(0,1)上是增函数, 所以 2x1xa0 在(0,1)上恒成立, 即 a2x1x恒成立. 又 2x1x2 2(当且仅当 x22时,取等号). 所以 a2 2, 故 a 的取值范围为(,2 2. 【点拨】当 f(x)在区间(a,b)上是增函数时f(x)0 在(a,b)上恒成立;同样,当函数 f(

3、x)在区间(a,b)上为减函数时f(x)0 在(a,b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了. 题型二 求函数的极值 【例 2】已知 f(x)ax3bx2cx(a0)在 x 1 时取得极值,且 f(1)1. (1)试求常数 a,b,c 的值; (2)试判断 x 1 是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由. 【解析】(1)f(x)3ax22bxc. 因为 x 1 是函数 f(x)的极值点, 所以 x 1 是方程 f(x)0,即 3ax22bxc0 的两根. 由根与系数的关系,得 又 f(1)1,所以 abc1. 由解得 a12,b0,c32. (2)由(1)得 f(x)

4、12x332x, 所以当 f(x)32x2320 时,有 x1 或 x1; 当 f(x)32x2320 时,有1x1. , 13 , 032acab所以函数 f(x)12x332x 在(,1)和(1,)上是增函数,在(1,1)上是减函数. 所以当 x1 时,函数取得极大值 f(1)1;当 x1 时,函数取得极小值 f(1)1. 【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数 f(x)来讲, f(x)在点 xx0 处取极值的必要条件是 f(x)0.但是, 当 x0 满足 f(x0)0 时, f(x)在点 xx0 处却未必取得极值,只有在x0 的两侧 f(x)的导数异号时,x0 才是 f(x)的极

5、值点.并且如果 f(x)在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是 f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 f(x)在 x0 两侧满足“左负右正”,则 x0 是 f(x)的极小值点,f(x0)是极小值. 【变式训练 2】定义在 R 上的函数 yf(x),满足 f(3x)f(x),(x32)f(x)0,若 x1x2,且 x1x23,则有( ) A. f(x1)f(x2) B. f(x1)f(x2) C. f(x1)f(x2) D.不确定 【解析】由 f(3x)f(x)可得 f3(x32)f(x32),即 f(32x)f(x32),所以函数 f(x)的图象关于 x32对称.又因为(x32)

6、f(x)0,所以当 x32时,函数 f(x)单调递减,当 x32时,函数f(x)单调递增.当x1x2232时,f(x1)f(x2),因为 x1x23,所以x1x2232,相当于 x1,x2的中点向右偏离对称轴,所以 f(x1)f(x2).故选 B. 题型三 求函数的最值 【例 3】 求函数 f(x)ln(1x)14x2 在区间0,2上的最大值和最小值. 【解析】f(x)11x12x,令11x12x0,化简为 x2x20,解得 x12 或 x21,其中 x12 舍去. 又由 f(x)11x12x0,且 x0,2,得知函数 f(x)的单调递增区间是(0,1),同理, 得知函数 f(x)的单调递减区

7、间是(1,2),所以 f(1)ln 214为函数 f(x)的极大值.又因为 f(0)0,f(2)ln 310,f(1)f(2),所以,f(0)0 为函数 f(x)在0,2上的最小值,f(1)ln 214为函数 f(x)在0,2上的最大值. 【点拨】求函数 f(x)在某闭区间a,b上的最值,首先需求函数 f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后,将 f(x)的各个极值与 f(x)在闭区间上的端点的函数值 f(a)、f(b)比较,才能得出函数 f(x)在a,b上的最值. 【变式训练 3】(2008 江苏)f(x)ax33x1 对 x1,1总有 f(x)0 成立,则 a . 【解析】若 x0,则无论

8、 a 为何值,f(x)0 恒成立. 当 x(0,1时,f(x)0 可以化为 a3x21x3, 设 g(x)3x21x3,则 g(x)3(12x)x4, x(0,12)时,g(x)0,x(12,1时,g(x)0. 因此 g(x)maxg(12)4,所以 a4. 当 x1,0)时,f(x)0 可以化为 a3x21x3,此时 g(x)3(12x)x40, g(x)ming(1)4,所以 a4. 综上可知,a4. 总结提高 1.求函数单调区间的步骤是: (1)确定函数 f(x)的定义域 D; (2)求导数 f(x); (3)根据 f(x)0,且 xD,求得函数 f(x)的单调递增区间;根据 f(x)0,且 xD,求得函数f(x)的单调递减区间. 2.求函数极值的步骤是: (1)求导数 f(x); (2)求方程 f(x)0 的根; (3)判断 f(x)在方程根左右的值的符号,确定 f(x)在这个根处取极大值还是取极小值. 3.求函数最值的步骤是: 先求 f(x)在(a,b)内的极值;再将 f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.