1、5.8 三角函数的综合应用三角函数的综合应用 典例精析典例精析 题型一 利用三角函数的性质解应用题 【例 1】如图，ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮，其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山， 其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场， 使矩形的一个顶点P在上，相邻两边 CQ、CR 分别落在正方形的边 BC、CD 上，求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值. 【解析】如图，连接 AP，过 P 作 PMAB 于 M. 设PAM，02， 则 PM90sin ，AM90cos ， 所以 PQ10090cos ，PR10090sin ， 于是 S 四边形 PQC
2、RPQPR (10090cos )(10090sin ) 8 100sin cos 9 000(sin cos )10 000. 设 tsin cos ，则 1t 2，sin cos t212. S 四边形 PQCR8 100t2129 000t10 000 4 050(t109)2950 (1t 2). 当 t 2时，(S 四边形 PQCR)max14 0509 000 2 m2； 当 t109时，(S 四边形 PQCR)min950 m2. 【点拨】同时含有 sin cos ，sin cos 的函数求最值时，可设 sin cos t，把 sin cos 用 t 表示，从而把问题转化成关于
3、t 的二次函数的最值问题.注意 t 的取值范围. 【变式训练 1】若 0 x2，则 4x 与 sin 3x 的大小关系是( ) A.4xsin 3x B.4xsin 3x C.4xsin 3x D.与 x 的值有关 【解析】令 f(x)4xsin 3x，则 f(x)43cos 3x.因为 f(x)43cos 3x0，所以 f(x)为增函数.又 0 x2，所以 f(x)f(0)0，即得 4xsin 3x0.所以 4xsin 3x.故选 A. 题型二 函数 yAsin(x)模型的应用 【例 2】已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0t24，单位：小时)的函数，记作 yf(t).下表是某日
4、各时的浪花高度数据. 经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数 yAcos tb. (1)根据以上数据，求出函数 yAcos tb 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式； (2)依据规定， 当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论， 判断一天内的上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 【解析】(1)由表中数据知，周期 T12，所以 2T2126. 由 t0，y1.5，得 Ab1.5，由 t3，y1.0，得 b1.0， 所以 A0.5，b1，所以振幅为12.所以 y12cos 6t1. (2)由题知，当 y1 时才可对冲浪者开放
5、， 所以12cos 6t11，所以 cos 6t0， 所以 2k26t2k2，即 12k3t12k3. 因为 0t24，故可令中 k 分别为 0,1,2，得 0t3 或 9t15 或 21t24. 故在规定时间上午 8：00 至晚上 20：00 之间，有 6 个小时时间可供冲浪者运动，即上午 9：00 至下午 15：00. 【点拨】 用 yAsin(x)模型解实际问题， 关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式. 【变式训练 2】如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈，记水轮上的点 P 到水面的距离为 d m(P 在水面下则 d为负数)，则 d(m)与时间 t(s)之间
6、满足关系式：dAsin(t)k(A0，0，22)，且当点 P 从水面上浮现时开始计算时间， 有以下四个结论： A10； 215； 6； k5.其中正确结论的序号是 . 【解析】. 题型三 正、余弦定理的应用 【例 3】 为了测量两山顶 M、 N 间的距离，飞机沿水平方向在 A、B 两点进行测量，A、B、 M、N 在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和 A、B 之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算 M、N 间距离的步骤. 【解析】(1)如图所示：测 AB 间的距离 a；测俯角MAB，NAB，MBA，NB
7、A.(2)在ABM 中 ，AMB，由正弦定理得 BMABsin sinAMBasin sin()， 同理在BAN 中，BNABsin sinANBasin sin()， 所以在BMN 中，由余弦定理得 MNMBNBNBMBNBMcos222 a2sin2sin2()a2sin2sin2()2a2sin sin cos()sin()sin(). 【变式训练 3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西 60 方向上，另一灯塔在南偏西 75 方向上，则该船的速度是 海里/小时. 【解析】 本题考查实际模型中的解
8、三角形问题.依题意作出简图， 易知 AB10， OCB60 ，OCA75 .我们只需计算出 OC 的长， 即可得出船速.在直角三角形 OCA 和 OCB 中， 显然有OBOCtanOCBtan 60 且OAOCtanOCAtan 75 ， 因此易得 ABOAOBOC(tan 75 tan 60 )，即有 OCABtan 75 tan 6010tan 75 tan 60 10tan(30 45 )tan 60 10tan 30 tan 451tan 30 tan 45tan 6010131113 35. 由此可得船的速度为 5 海里 0.5 小时10 海里/小时. 总结提高总结提高 1.解三角形的应用题时应注意： (1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等； (2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解； (3)方程思想在解题中的运用. 2.解三角函数的综合题时应注意： (1)与已知基本函数对应求解，即将 x 视为一个整体 X； (2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数， 如 yAsin(x)B 或 yasin2xbsin xc； (3)换元方法在解题中的运用.