1、第二章第二章 函数函数 高考导航高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. 2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单运用. 4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质. 6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点. 8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然
2、对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点. 10.了解指数函数yax与对数函数ylogax (a0且a1)互为反函数. 11.了解幂函数的概念，结合函数 yx， yx2， yx3 , y， y的图象，了解它们的变化情况. 12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数. 本章重点： 1.函数的概 念及其三要素； 2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义； 3.函数的最大(小)值； 4.指数函数与对数函数的概念和性质； 5.函数的图象及其变换； 6.函数的零点与方程的根之间的关系； 7.函
3、数模型的建立及其应用. 本章难点： 1. 函数概念的理解； 2.函数单调性的判断； 3.函数图象的变换及其应用； 4.指数函数与对数 高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数 学 思 想 方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数x121x13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型
4、增长的含义. 15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 函数概念的理解及其性质运用； 5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系； 6.函数模型的建立及求解. 学思想方法. 知识网络 2.1 函数的概念及表示法函数的概念及表示法 典例精析典例精析 题型一 求函数的解析式 【例 1】 (1)已知 f(x1)x2x1，求 f (x)的表达式； (2)已知 f(x)2f(x)3x25x3，求 f (x)的表达式. 【解析】(1)设 x1t，则 xt1，代入得 f (x)(t1)2(t1)1t2t1，所以 f (x)x2x1. (2)由 f (x)
5、2f (x)3x25x3， x 换成x，得 f (x)2 f (x)3x25x3，解得 f (x)x25x1. 【点拨】已知 f(x)，g(x)，求复合函数 fg(x)的解析式，直接把 f(x)中的 x 换成 g(x)即可，已知fg(x)，求 f (x)的解析式，常常是设 g(x)t，或者在 fg(x)中凑出 g(x)，再把 g(x)换成 x. 【变式训练 1】已知 f ()，求 f (x)的解析式. 【解析】设t，则 x，所以 f (t)， 所以 f (x)(x1). 题型二 求函数的定义域 【例 2】(1)求函数 y的定义域； (2)已知 f(x)的定义域为2,4，求 f(x23x)的定义
6、域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只需要 即 解得3x0 或 2x3，故所求的定义域为(3,0)(2,3). (2)依题意，只需2x23x4， 解得1x1 或 2x4，故 f(x23x)的定义域为1,12,4. 【点拨】 有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数 fg(x)的定义域要把 g(x)当作 f(x)中的 x 来对待. 【变式训练 2】已知函数 f (2x)的定义域为1,1，求 f(log2x)的定义域. xx112211xxxx11tt1122)11(1)11(1tttt212tt212xx229)2lg(xxx, 09, 022
7、2xxx, 33, 02xxx或【解析】因为 yf(2x)的定义域为1,1，即1x1 时 212x21，所以 yf(x)的定义域为12，2.令12log2x2，所以 2x224，故所求 yf(log2x)的定义域为 2，4. 题型三 由实际问题给出的函数 【例 3】 用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为 2x，求此框围成的面积 y 与 x 的函数关系式，并指出其定义域. 【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长 AB2x， 设宽为 a，则有 2x2axl，即 axx，半圆的半径为 x， 所以 y(2xx)2x(
8、22)x2lx. 由实际意义知2xx0，因 x0，解得 0 x. 即函数 y(22)x2lx 的定义域是x|0 x. 【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的 x 的取值范围是 xR，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量 x 表示的，这就是实际问题对变量的制约. 【变式训练 3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案， 如图所示， 设小矩形的长、 宽分别为x、 y， 剪去部分的面积为20， 若2x10，记 yf(x)，则 yf(x)的图象是( ) 2l222x2l2l2l2l 【解析】
9、由题意得 y10 x(2x10)，选 A. 题型四 分段函数 【例 4】 已知函数 f(x) (1)求 f(1)f(1)的值； (2)若 f(a)1，求 a 的值； (3)若 f(x)2，求 x 的取值范围. 【解析】(1)由题意，得 f(1)2，f(1)2，所以 f(1)f(1)4. (2)当 a0 时，f(a)a31，解得 a2； 当 a0 时，f(a)a211，解得 a0. 所以 a2 或 a0. (3)当 x0 时，f(x)x32，解得1x0； 当 x0 时，f(x)x212，解得 x1. 所以 x 的取值范围是1x0 或 x1. 【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的
10、函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理. ).0( 1),0( 32xxxx【变式训练 4】已知函数 f(x)若 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc的取值范围是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) 【解析】不妨设 abc，由 f(a)f(b)f(c)及 f(x)图象知110a1b10c12，所以lg alg b12c6，所以 ab1，所以 abc 的范围为(10,12)，故选 C. 总结提高 1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数， 而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件. 2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示. 3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等. .10, 621,100|,lg|xxxx