1、2.9 函数模型及其应用函数模型及其应用 典例精析典例精析 题型一 运用指数模型求解 【例 1】按复利计算利率的一种储蓄，本金为 a 元，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，写出本利和 y 随期数 x 的变化函数式.如果存入本金 10 000 元，每期利率为 2.25%，计算 5 期的本息和是多少？ 【解析】已知本金为 a 元， 1 期后的本利和为 y1aa ra(1r)； 2 期后的本利和为 y2a(1r)a(1r)ra(1r)2； 3 期后的本利和为 y3a(1r)2a(1r)2r a(1r)3； x 期后的本利和为 ya(1r)x. 将 a10 000， r2.25%， x5 代
2、入上式得 y10 000(12.25%)511 176.8， 所以 5 期后的本利和是 11 176.8 元. 【点拨】在实际问题中，常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，则总产值 y 与时间 x 的关系为 yN(1p)x. 【变式训练 1】某工厂去年十二月的产值为 a，已知月平均增长率为 p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是( ) A.(1p)121 B.(1p)12 C.(1p)11 D.12p 【解析】 今年十二月产值为 a(1p)12， 去年十二月产值为 a， 故比去年增长了(1p)121a，故选 A. 题型二 分段函数建模求解 【例 2】
3、在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以 5.8 万元的优惠价格转给尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支 3600 元后，逐步偿还转让费(不计息). 在甲提供资料中有：这种消费品的进价每件 14 元；该店月销售量 Q(百件)与销价 p(元)关系如图；每月需各种开支 2 000 元. (1)试问为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在何种范围？ (2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (3)企业乙只依靠该厂，最早可望几年后脱贫
4、？ 【解析】设该店月利润额为 L，则由假设得 LQ(p14) 1003 6002 000， (1)当 14p20 时，由 L0 得 18p20， 当 20p26 时，由 L0 得 20p22， 故商店销售价应控制在 18p22 之内. (2)当 18p20 时，L 最大450元，此时，p19.5 元. 当 20p22 时，L 最大41623元，此时，p2013元. 故 p19.5 元时，月利润最大余额为 450 元. (3)设可在 n 年内脱贫，依题意得 12n 45050 00058 0000，解得 n20， 即最少可望在 20 年后脱贫. 【点拨】解答这类题关键是要仔细审题，理解题意，建立
5、相应数学模型，求解时，也可利用导数，此外要注意问题的实际意义. 【变式训练 2】国家税务部门规定个人稿费的纳税办法是：不超过 800 元的不纳税；超过 800元而不超过 4 000 元的按照超过 800 元部分的 14%纳税； 超过 4 000 元的按全稿费的 11%纳税.某人出版了一本书，共纳税 550 元，问此人的稿费为多少元？ 【解析】设纳税 y(元)时稿费为 x(元)，则 由 y500 知 x4 000，所以 x 11%550 x5 000，所以此人稿费为 5 000 元. 题型三 生活中的优化问题 【例 3】(2012 湖北模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外
6、墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位： 万元)与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系： C(x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值. 【解析】(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x)k3x5， 再由 C(0)8 得 k40，因此 C(x)403x5.而建造费用为 C1(x)
7、6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C1(x)20403x56x8003x56x(0 x10). (2)f(x)62 400(3x5)2，令 f(x)0，即2 400(3x5)26， 解得 x5，x253(舍去). 当 0 x5 时，f(x)0；当 5x10，f(x)0， 故 x5 是f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)6 580015570. 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元. 【点拨】如果根据数据判断函数的类型，可由数据的变化情况对其单调性、对称性和特定值进行判断，也可以从所给的部分数据求出模拟函数解析式，再由
8、其他数据进一步判断. 【变式训练 3】某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x、y 应为 x ，y . 【解析】如图，由已知有x20 x24yy8， 即 4x5y1200， Sxy120(4x 5y)120(4x5y2)2180. 所以x15，y12. 总结提高 12054,54yxyx利用数学模型解决实际问题，运用数学建模思想、不同的函数模型刻画现实世界中不同的增长变化规律.一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，它们的增长存在很大的差异，如指数函数增长是指数“爆炸”，对数函数增长是逐步趋于平衡，而幂函数增长远低于指数函数，因此建立恰当数学模型并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测具有很强的现实意义.