1、1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件 典例精析典例精析 题型一 四种命题的写法及真假判断 【例 1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假. (1)若 m，n 都是奇数，则 mn 是奇数； (2)若 xy5，则 x3 且 y2. 【解析】(1)逆命题：若 mn 是奇数，则 m，n 都是奇数，假命题； 否命题：若 m，n 不都是奇数，则 mn 不是奇数，假命题； 逆否命题：若 mn 不是奇数，则 m，n 不都是奇数，假命题. (2)逆命题：若 x3 且 y2，则 xy5，真命题； 否命题：若 xy5，则 x3 或 y2，真命题； 逆否命题：若 x
2、3 或 y2，则 xy5，假命题. 【点拨】 写命题的四种形式， 关键是找出命题的条件与结论， 根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性. 【变式训练 1】已知命题“若 p，则 q”为真，则下列命题中一定为真的是( ) A.若p，则q B.若q，则p C.若 q，则 p D.若q，则 p 【解析】选 B. 题型二 充分必要条件探究 【例 2】设 m0，且为常数，已知条件 p：|x2|m，条件q：|x24|1，若p 是q 的必要非充分条件，求实数 m 的取值范围. 【解析】 设集合 Ax|x2|mx|2mx2m， Bx|x24|1x| 3x
3、5或 5x 3. 由题设有：qp 且p 不能推出q，所以 pq 且 q 不能推出 p，所以 AB. 因为 m0，所以(2m，2m)( 3， 5)， 故由 2m 5且 2m 30m 52，故实数 m 的取值范围为(0， 52. 【点拨】正确化简条件 p 和 q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决. 【变式训练 2】已知集合 Ax|a2xa2，Bx|x2 或 x4，则 AB 的充要条件是( ) A.0a2 B.2a2 C.0a2 D.0a2 【解析】选 A.因为 Ax|a2xa2，Bx|x2 或 x4，且 AB ，所以如
4、图，由画出的数轴可知， 即 0a2. 题型三 充分必要条件的证明 【例 3】 设数列an的各项都不为零， 求证： 对任意 nN*且 n2， 都有1a1a21a2a31an1ann1a1an成立的充要条件是an为等差数列. 【证明】(1)(充分性)若an为等差数列，设其公差为 d，则 1a1a21a2a31an1an1d(1a11a2)(1a21a3)(1an11an) 1d(1a11an)ana1da1ann1a1an. (2)(必要性)若1a1a21a2a31an1ann1a1an， 则1a1a21a2a31an1an1anan1na1an1， 两式相减得1anan1na1an1n1a1an
5、 a1nan(n1)an1. 于是有 a1(n1)an1nan2， 由得 nan2nan1nan20，所以 an1anan2an1(n2). 又由1a1a21a2a32a1a3a3a2a2a1， 所以 nN*,2an1an2an，故an为等差数列. 【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求. 【变式训练 3】设 0 x2，则“xsin2x1”是“xsin x1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选 B.若 xsin x1，因为 x(0，2)，所以 xsin xxsin2x，由此可得 xsin2x1，即
6、必要性成立.若 xsin2x1，由于函数 f(x)xsin2x 在(0，2)上单调递增，且2sin2221，所以存在 x0(0，2)使得 x0sin2x01.又 x0sin x0 x0sin2x01，即 x0sin x01，所以存在 x0(0，x0)使得 x0sin2x01，且 x0sin x01，故充分性不成立. 总结提高 1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上. 2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有： 原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；原命题化简复杂，而逆否命题化简简单. 3.p 是 q 的充分条件， 即 pq， 相当于分别满足条件 p 和 q 的两个集合 P 与 Q 之间有包含关系：PQ，即 P Q 或 PQ，必要条件正好相反.而充要条件 p q 就相当于 PQ. 4.以下四种说法表达的意义是相同的： 命题“若 p， 则 q”为真； pq； p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件.