1、2.5 指数与指数函数指数与指数函数 典例精析典例精析 题型一 指数及其运算 【例 1】计算： (1) ； (2)(0.027)(17)2(279) ( 21)0. 【解析】(1)原式125. (2)原式(271 000(1)2(17)2(2591 1034953145. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数. 【变式训练 1】已知 a，b 是方程 9x282x90 的两根，求的值. 【解析】ab829，ab1. 原式22(ab) 2. 题型二 指数函数性质的应用 【例 2】已知函数 f(x)2x12x1，其中 xR. (1)试判断函数 f(x)的奇偶性； (2)证明 f(x)是
2、 R 上的增函数. 【解析】(1)因为函数 f(x)的定义域为 xR， 2142133231)() 1 . 0()4(baab312110044232132a32a32b32b31)21)3131baba3131baba31a31b31且 f(x)12x12xf(x)， 所以 f(x)为 R 上的奇函数. (2)证明：设 x1，x2R，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)=0，所以 f(x)是 R 上的增函数. 【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于 1 还是小于 1，如果不能确定底数的范围应分类讨论. 【变式训练 2】函数 yexexexex的图象大致为(
3、) 【解析】A. 题型三 指数 函数的综合应用 【例 3】已知函数 f(x)2x12|x|. (1)若 f(x)2，求 x 的值； (2)若 2tf(2t)mf(t)0 对于 t1,2恒成立，求实数 m 的取值范围. 【解析】f(x)2x12|x| (1)因为 f(x)2，所以 2x12x2. 1212xx121211xx121222xx)2()2(2211112121xxxx. 0, 0, 0,212xxxx因为 x0，所以 2x1 2，解得 xlog2(1 2). (2)因为 t1,2，所以 2tf(2t)mf(t)0 可化为 2t(22t122t)m(2t12t)0， 即 m(22t1)
4、(24t1). 因为 22t10，所以上式可化为 m(22t1). 又因为(22t1)的最大值为5，所以 m5. 故使得 2tf(2t)mf(t)0 对于 t1,2恒成立的实数 m 的取值范围是5，). 【变式训练 3】已知函数 f(x)|2x1|，abc，且 f(a)f(c)f(b)，则下列结论中一定成立的是( ) A.a0，b0，c0 B.a0，b0，c0 C.2a2c D.2a2c2 【解析】D. 总结提高总结提高 1.增强分类讨论的意识，对于根式na的意义及其性质要分清 n 是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数 a 的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分 a1 与 0a1 两种情况讨论. 2.深化概念的理解与应用， 对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数 a 的取值限制. 3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.