1、第五章第五章 三角函数三角函数 高考导航高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.能利用单位圆中的三角函数线推导出2， 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 ysin x， ycos x ， ytan x 的图象，了解三角函数的周期性. 4.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在(2,2)上的单调性. 5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1 ，xxcossintan x. 6.了解函数 yAsi
2、n(x)的物理意义，能画出函数yAsin(x)的图象，了解参数 A， 对函数图象变化的影响. 7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系， 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、 半角公式， 但不要求记忆). 9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 本章重点： 1.角的推广，三角
3、函数的定义，诱导公式的运用； 2.三角函数的图象与性质，yAs in(x) (0)的性质、 图象及变换； 3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、 余弦定理及应用. 本章难点： 1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系； 2.灵活运用三角公式化简、求值、证明； 3.三角 函 数 的 奇 偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式； 5.把实际问题转化为三角函数问题. 三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念
4、的理解； 运用函数公式进行恒等变形、 化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、 识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则. 知识网络知识网络 5.1 任意角的三角函数的概念任意角的三角函数的概念 典例精析典例精析 题型一 象限角与终边相同的角 【例 1】若 是第二象限角，试分别确定 2、2的终边所在的象限. 【解析】因为 是第二象限角， 所以 k360 90 k360 180 (kZ). 因为 2k360 180 22k360 360 (kZ)，故 2 是第三或第四象限角，或角的终边在y 轴
5、的负半轴上. 因为 k180 45 2k180 90 (kZ)， 当 k2n(nZ)时，n360 45 2n360 90 ， 当 k2n1(nZ)时，n360 225 2n360 270 . 所以2是第一或第三象限角. 【点拨】已知角 所在象限，应熟练地确定2所在象限. 如果用 1、2、3、4 分别表示第一、二、三、四象限角，则12、22、32、42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了. 【变式训练 1】若角 2 的终边在 x 轴上方，那么角 是( ) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 【解析】
6、由题意 2k22k，kZ， 得 kk2，kZ. 当 k 是奇数时， 是第三象限角. 当 k 是偶数时， 是第一象限角.故选 C. 题型二 弧长公式，面积公式的应用 【例 2】已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是 R. (1)若 60 ，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值 C(C0)，当 为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值. 【解析】(1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓， 因为 60 3，R10 cm，所以 l103 cm， S 弓S 扇S12 1010312 102 sin 60 50(332) cm2. (2)因为 C2Rl2
7、RR，所以 RC2， S 扇12R212(C2)2C22244C22144C216， 当且仅当 4时，即 2(2 舍去)时，扇形的面积有最大值为C216. 【点拨】用弧长公式 l | R 与扇形面积公式 S12lR12R2|时， 的单位必须是弧度. 【变式训练 2】已知一扇形的面积为定值 S，当圆心角 为多少弧度时，该扇形的周长 C 有最小值？并求出最小值. 【解析】因为 S12Rl，所以 Rl2S， 所以周长 Cl2R2 2Rl2 4S4 S， 当且仅当 l2R 时，C4 S， 所以当 lR2 时，周长 C 有最小值 4 S. 题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用 【例 3】(1)已知角
8、 的终边与函数 y2x 的图象重合，求 sin ；(2)求满足 sin x32的角 x 的集合. 【解析】(1)由1222yxxy 交点为(55，2 55)或(55，2 55)， 所以 sin 2 55. (2)找终边：在 y 轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于 x 轴的平行线与单位圆分别交于 P1、P2 两点，连接 OP1、OP2，则为角 x 的终边，并写出对应的角. 画区域：画出角 x 的终边所在位置的阴影部分. 写集合：所求角 x 的集合是x|2k43x2k3，kZ. 【点拨】三角函数是用角 的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观. 【变式训练 3】函数 ylg sin xcos x12的定义域为 . 【解析】 2kx2k3，kZ. 所以函数的定义域为x|2kx2k3，kZ. 总结提高 1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小. 2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如 k360 3的错误书写. 3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.