1、4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示平面向量的基本定理及其坐标表示 典例精析典例精析 题型一 平面向量基本定理的应用 【例 1】如图 ABCD 中,M,N 分别是 DC，BC 中点.已知=a,=b,试用 a，b 表示，与 【解析】易知 12， 12， 即 所以23(2ba)， 23(2ab). 所以23(ab). 【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟. 【变式训练 1】已知 D 为ABC 的边 BC上的中点，ABC 所在平面内有一点 P，满足0，则等于( ) A.13 B.12 C.1 D.2 【解析】由于 D 为 BC 边
2、上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知2，因此结合0 即得2，因此易得 P，A，D 三点共线且 D 是 PA 的中点，所以1，即选 C. 题型二 向量的坐标运算 AMANABADACAMADDMADABANABBNABAD.21,21baADABABADABADACABADPABPCP|ADPDPBPCPDPABPCPPAPD|ADPD【例 2】 已知 a(1，1)，b(x，1)，ua2b，v2ab. (1)若 u3v，求 x；(2)若 uv，求 x. 【解析】因为 a(1，1)，b(x，1)， 所以 u(1，1)2(x，1)(1，1)(2x，2)(2x1，3)， v2(1，1)(x，
3、1)(2x，1). (1)u3v (2x1，3)3(2x，1) (2x1，3)(63x，3)， 所以 2x163x，解得 x1. (2) uv (2x1，3)(2x，1) (2x1)3(2x)0 x1. 【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视. 【变式训练2】 已知向量an(cosn7， sinn7)(nN*)， |b|1.则函数y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2 的最大值为 . 【解析】设 b(cos ，sin )，所以 y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2(a1)2b22(cos7，sin7)(cos ，s
4、in )(a141)2b22(cos1417，sin1417)(cos ，sin )2822cos(7)，所以 y 的最大值为 284. 题型三 平行(共线)向量的坐标运算 【例 3】已知ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2). (1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形； 3),2(12xx(2)若 mp，边长 c2，角 C3，求ABC 的面积. 【解析】(1)证明：因为 mn，所以 asin Absin B. 由正弦定理，得 a2b2，即 ab.所以ABC 为等腰三角形. (2)因为 mp，所以 mp0，即
5、 a(b2)b(a2)0，所以 abab. 由余弦定理，得 4a2b2ab(ab)23ab， 所以(ab)23ab40. 所以 ab4 或 ab1(舍去). 所以 SABC12absin C12 432 3. 【点拨】设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则 mnx1y2x2y1；mnx1x2y1y20. 【变式训练 3】已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m(2cosC1，2)，n(cos C，cos C1).若 mn，且 ab10，则ABC 周长的最小值为( ) A.105 3 B.105 3 C.102 3 D.102 3 【解析】由 mn 得 2co
6、s2C3cos C20，解得 cos C12或 cos C2(舍去)，所以 c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)2ab100ab， 由 10ab2 abab25， 所以 c275， 即c5 3， 所以 abc105 3，当且仅当 ab5 时，等号成立.故选 B. 总结提高 1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算. 2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用. 3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标.