1、3.33.3 导数的应用导数的应用( (二二) ) 典例精析典例精析 题型一 利用导数证明不等式 【例 1】已知函数 f(x)12x2ln x. (1)求函数 f(x)在区间1，e上的值域； (2)求证：x1 时，f(x)23x3. 【解析】(1)由已知 f(x)x1x， 当 x1，e时，f(x)0，因此 f(x)在 1，e上为增函数. 故 f(x)maxf(e)e221，f(x)minf(1)12， 因而 f(x)在区间1，e上的值域为12，e221. (2)证明：令 F(x)f(x)23x323x312x2ln x，则 F(x)x1x2x2(1x)(1x2x2)x， 因为 x1，所以 F(
2、x)0， 故 F(x)在(1，)上为减函数. 又 F(1)160， 故 x1 时，F(x)0 恒成立， 即 f(x)23x3. 【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法. 【变式训练 1】已知对任意实数 x，有 f(x)f(x)，g(x)g(x)，且 x0 时，f(x)0，g(x)0，则 x0 时( ) A.f(x)0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0 C.f(x)0，g(x)0 D.f(x)0，g(x)0 【解析】选 B. 题型二 优化问题 【例 2】 (2012 湖南模拟)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距 m 米，余下
3、工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 【解析】(1)设需新建 n 个桥墩，则(n1)xm， 即 nmx1. 所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x 256(mx1)mx(2 x)x 256mxm x2m256. (2)由(1)知 f(x)256mx212mxm2x2(x 512). 令 f(x
4、)0，得 x 512.所以 x64. 当 0 x64 时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64x640 时，f(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数. 所以 f(x)在 x64 处取得最小值. 此时 nmx16406419. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 【变式训练 2】(2013 上海质检)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，骨架把圆柱底面 8 等份，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面212323和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径 r 取何值时， S 取得最大值？并求出该最大值(结果精
5、确到 0.01 平方米). 【解析】设圆柱底面半径为 r，高为 h， 则由已知可得 4(4r2h)9.6， 所以 2rh1.2. S2.4r3r2，h1.22r0，所以 r0.6. 所以 S2.4r3r2(0r0.6). 令 f(r)2.4r3r2，则 f(r)2.46r. 令 f(r)0 得 r0.4.所以当 0r0.4，f(r)0； 当 0.4r0.6，f(r)0. 所以 r0.4 时 S 最大，Smax1.51. 题型三 导数与函数零点问题 【例 3】 设函数 f(x)13x3mx2(m24)x，xR. (1)当 m3 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)已知函
6、数 f(x)有三个互不相同的零点 0，且 .若对任意的 x，都有 f(x)f(1)恒成立，求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)当 m3 时，f(x)13x33x25x，f(x)x26x5. 因为 f(2)23，f(2)3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为3， 则所求的切线方程为 y233(x2)，即 9x3y200. (2)f(x)x22mx(m24). 令 f(x)0，得 xm2 或 xm2. 当 x(，m2)时，f(x)0，f(x)在(，m2)上是增函数； 当 x(m2，m2)时，f(x)0，f(x)在(m2，m2)上是减函数； 当 x(m2，)时，f(x)0，f(x)在(m2
7、，)上是增函数. 因为函数 f(x)有三个互不相同的零点 0，且 f(x)13xx23mx3(m24)， 所以 解得 m(4，2)(2,2)(2,4). 当 m(4，2)时，m2m20， 所以 m2m20. 此时 f()0，f(1)f(0)0，与题意不合，故舍去. 当 m(2,2)时，m20m2， 所以 m20m2. 因为对任意的 x，都有 f(x)f(1)恒成立， 所以 1. 所以 f(1)为函数 f(x)在，上的最小值. 因为当 xm2 时，函数 f(x)在，上取最小值， 所以 m21，即 m1. 当 m(2,4)时，0m2m2， 所以 0m2m2. 因为对任意的 x，都有 f(x)f(1
8、)恒成立， 所以 1. 所以 f(1)为函数 f(x)在，上的最小值. 因为当 xm2 时，函数 f(x)在，上取最小值， 所以 m21，即 m1(舍去). 综上可知，m 的取值范围是1. . 0)4(3, 0)4(12)3(222mmm 【变式训练 3】已知 f(x)ax2(aR)，g(x)2ln x. (1)讨论函数 F(x)f(x)g(x)的单调性； (2)若方程 f(x)g(x)在区间 2，e上有两个不等解，求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a0 时，F(x)的递增区间为(1a，)，递减区间为(0，1a)； 当 a0 时，F(x)的递减区间为(0，). (2)12ln 2，1e). 总结提高 在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.