1、2.2 函数的单调性函数的单调性 典例精析典例精析 题型一 函数单调性的判断和证明 【例 1】讨论函数 f(x)ax1x2 (a12)在(2，)上的单调性. 【解析】设 x1，x2 为区间(2，)上的任意两个数且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)ax11x12ax21x22(x1x2)(2a1)(x12)(x22)， 因为 x1(2，)，x2(2，)，且 x1x2， 所以 x1x20，x120，x220. 所以当 a12时，12a0，f(x1)f(x2)， 函数 f(x)在(2，)上为减函数； 当 a12时，12a0，f(x1)f(x2)， 函数 f(x)在(2，)上是增函数. 【点拨】运
2、用定义判断函数的单调性，必须注意 x1，x2 在给定区间内的任意性，另外本题可以利用导数来判断. 【变式训练 1】 已知函数 f(x)满足 f(x)f(x)， 且当 x(0， )时， f(x)xcos x， 则 f(2)，f(3)，f(4)的大小关系是( ) A. f (2)f (3)f (4) B. f (2)f (4)f (3) C. f (4)f (3)f (2) D. f (3)f (4)f (2) 【解析】B. 题型二 函数单调区间的求法 【例 2】试求出下列函数的单调区间. (1)y|x1|； (2)yx22|x1|； (3)y. 【解析】(1)y|x1| 所以此函数的单调递增区间
3、是(1，)，单调递减区间是(，1). (2)yx22|x1| 所以此函数的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(，1). (3)由于 tx24x3 的单调递增区间是(， 2)， 单调递减区间是(2， )， 又底数大于 1，所以此函数的单调递增区间是(，2)，单调递减区间是(2，). 【点拨】函数的单调区间，往往需要借助函数图象和有关结论，才能求解出. 【变式训练 2】在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当 ab 时，aba；当 ab 时，abb2.则函数 f (x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值是( ) A.1 B.6 C.1 D.12 【解析】B. 题型三 函数单调性
4、的应用 【例 3】已知函数 f(x)的定义域为1,1，且对于任意的 x1，x21,1，当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2)x1x20. (1)试判断函数 f(x)在区间1,1上是增函数还是减函数，并证明你的结论； (2)解不等式 f(5x1)f(6x2). 【解析】(1)当 x1，x21,1，且 x1x2 时，由f(x1)f(x2)x1x20，得 f(x1)f(x2)， 3422xx. 1,1, 1, 1xxxx. 1, 22, 1, 2222xxxxxx所以函数 f(x)在区间1,1上是增函数. (2)因为 f(x)在1,1上是增函数.所以由 f(5x1)f(6x2)知， 所以 0 x
5、13，所求不等式的解集为x|0 x13. 【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断，利用函数的单调性解题时，容易犯的错误是忽略函数的定义域. 【变式训练 3】已知函数 yf(x)是 R 上的偶函数，对于 xR 都有 f(x6)f(x)f(3)成立，当x1，x20,3，且 x1x2时，都有f(x1)f(x2)x1x20，给出下列命题： f(3)0；直线 x6 是函数 yf(x)的图象的一条对称轴；函数 yf(x)在9，6上为增函数；函数 yf(x)在9,9上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为 (把所有正确命题的序号都填上). 【解析】. 总结提高 1.函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域. 2.函数的单调性可以借助函数图象来研究，增函数的图象自左向右是上升曲线，减函数的图象自左向右是下降曲线. 3.导数是解决函数单调性问题的有力工具. 4.利用函数单调性可比较大小、 证明不等式、 解不等式、 求函数值域或最值等， 既是一种方法，也是一种技巧，应加强函数单调性的应用，提高解题技巧. 5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性，它仅仅是函数的局部性质.