1、 5.6 函数函数 yAsin(x)的图象和性质的图象和性质 典例精析典例精析 题型一 “五点法”作函数图象 【例 1】设函数 f(x)sin x 3cos x(0)的周期为 . (1)求它的振幅、初相； (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数 f(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换得到. 【解析】(1)f(x)sin x 3cos x2(12sin x32cos x)2sin(x3)， 又因为 T，所以2，即 2，所以 f(x)2sin(2x3)， 所以函数 f(x)sin x 3cos x(0)的振幅为 2，初相为3. (2)列出下表，并描点
2、画出图象如图所示. (3)把 ysin x 图象上的所有点向左平移3个单位，得到 ysin(x3)的图象，再把 ysin(x3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到 ysin(2x3)的图象，然后把 ysin(2x3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin(2x3)的图象. 【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为 yAsin(x)(A0，0)形式，再令 x0，2，32，2 求出相应的 x 值及相应的 y 值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象. 【变式训
3、练 1】函数的图象如图所示，则( ) A.k12，12，6 B.k12，12，3 C.k12，2，6 D.k2，12，3 【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率 k12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数 由三角函数的周期决定， 由图象可知函数的周期为 T4 (8353)4， 故 12.将点(53， 0)代入解析式 y2sin(12x)，得1253k，kZ，所以 k56，kZ.结合各选项可知，选项 A 正确. 题型二 三角函数的单调性与值域 【例 2】已知函数 f(x)sin2x 3sin xsin(x2)2cos2x，xR(
4、0)在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6. (1)求 的值； (2)若将函数 f(x)的图象向右平移6个单位后， 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 【解析】(1)f(x)32sin 2x12cos 2x32sin(2x6)32. 令 2x62，将 x6代入可得 1. (2)由(1)得 f(x)sin(2x6)32，经过题设的变化得到函数 g(x)sin(12x6)32， 当 x4k43，kZ 时，函数 g(x)取得最大值52. 令 2k212x62k32， 即4k43，4k103(kZ)为函数的
5、单调递减区间. 【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换. 【变式训练 2】若将函数 y2sin(3x)的图象向右平移4个单位后得到的图象关于点(3，0)对称，则|的最小值是( ) A.4 B.3 C.2 D.34 【解析】将函数 y2sin(3x)的图象向右平移4个单位后得到 y2sin3(x4)2sin(3x34)的图象. 因为该函数的图象关于点(3，0)对称，所以 2sin(3334)2sin(4)0， 故有4k(kZ)，解得 k4(kZ). 当 k0 时，|取得最小值4，故选 A. 题型三 三角函数的综合应用 【例 3】已知函数 yf(x)Asin2(x)(A
6、0，0,02)的最大值为 2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2). (1)求 的值； (2)求 f(1)f(2)f(2 008). 【解析】(1)yAsin2(x)A2A2cos(2x2)， 因为 yf(x)的最大值为 2，又 A0， 所以A2A22，所以 A2， 又因为其图象相邻两对称轴间的距离为 2，0， 所以12222，所以 4. 所以 f(x)2222cos(2x2)1cos(2x2)， 因为 yf(x)过点(1,2)，所以 cos(22)1. 所以222k(kZ)， 解得 k4(kZ)， 又因为 02，所以 4. (2)方法一：因为 4， 所以 y1cos(2x2)1s
7、in 2x， 所以 f(1)f(2)f(3)f(4)21014， 又因为 yf(x)的周期为 4,2 0084 502. 所以 f(1)f(2)f(2 008)4 5022 008. 方法二：因为 f(x)2sin2(4x)， 所以 f(1)f(3)2sin2(4)2sin2(34)2， f(2)f(4)2sin2(2)2sin2()2， 所以 f(1)f(2)f(3)f(4)4， 又因为 yf(x)的周期为 4,2 0084 502. 所以 f(1)f(2)f(2 008)4 5022 008. 【点拨】函数 yAcos(x)的对称轴由 xk，可得 xk，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解
8、决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决. 【变式训练 3】已知函数 f(x)Acos2x2(A0，0)的最大值为 6，其相邻两条对称轴间的距离为 4，则 f(2)f(4)f(6)f(20) . 【解析】f(x)Acos2x2A1cos 2x22Acos 2x2A22，则由题意知 A26，228，所以 A4，8，所以 f(x)2cos 4x4，所以 f(2)4，f(4)2，f(6)4，f(8)6，f(10)4，观察周期性规律可知 f(2)f(4)f(20)2 (4246)4238. 总结提高 1.用“五点法”作 yAsin(x)的图象，关键是五个点的选取，一般令 x0，2，32，2，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整 x 的取值，以便列表时能使 x 在给定的区间内取值. 2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母 x 本身而言的，无论沿 x 轴平移还是伸缩，变化的总是 x. 3.在解决 yAsin(x)的有关性质时，应将 x 视为一个整体 x 后再与基本函数 ysin x 的性质对应求解.