1、5.7 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 典例精析典例精析 题型一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】在ABC 中，AB 2，BC1，cos C34. (1)求 sin A 的值；(2)求BCCA的值. 【解析】(1)由 cos C34得 sin C74. 所以 sin ABC sin CAB1742148. (2)由(1)知，cos A5 28. 所以 cos Bcos(AC)cos Acos Csin Asin C 15 2327 23224. 所以BCCABC(CBBA)BCCBBCBA 11 2 cos B11232. 【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、
2、余弦定理等有关知识. 【变式训练 1】在ABC 中，已知 a、b、c 为它的三边，且三角形的面积为a2b2c24，则C . 【解析】Sa2b2c2412absin C. 所以 sin Ca2b2c22abcos C.所以 tan C1， 又C(0，)，所以C4. 题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题 【例 2】设ABC 是锐角三角形，a、b、c 分别是内角 A、B、C 所对的边长，并且 sin2Asin(3B)sin(3B)sin2B. (1)求角 A 的值； (2)若ABAC12，a2 7，求 b，c(其中 bc). 【解析】(1)因为 sin2A(32cos B12sin B)
3、(32cos B12sin B)sin2B34cos2B14sin2Bsin2B34，所以 sin A32.又 A 为锐角，所以 A3. (2)由ABAC12 可得 cbcos A12. 由(1)知 A3，所以 cb24. 由余弦定理知 a2c2b22cbcos A，将 a2 7及代入得 c2b252. 2，得(cb)2100，所以 cb10. 因此，c，b 是一元二次方程 t210t240 的两个根. 又 bc，所以 b4，c6. 【点拨】 本小题考查两角和与差的正弦公式， 同角三角函数的基本关系， 特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力. 【
4、变式训练 2】在ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、C 的对边，且满足(2ac)cos Bbcos C. (1)求角 B 的大小； (2)若 b 7，ac4，求ABC 的面积. 【解析】(1)在ABC 中，由正弦定理得 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C， 代入(2ac)cos Bbcos C， 整理得 2sin Acos Bsin Bcos Csin Ccos B， 即 2sin Acos Bsin(BC)sin A， 在ABC 中，sin A0,2cos B1， 因为B 是三角形的内角，所以 B60 . (2)在ABC 中，由余弦定理得 b2a2c22accos B
5、(ac)22ac2accos B， 将 b 7，ac4 代入整理，得 ac3. 故 SABC12acsin B32sin 60 3 34. 题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用 【例 3】(2013 陕西模拟)如图所示，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点.现位于 A 点北偏东 45 ，B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救， 其航行速度为 30 海里/小时，则该救援船到达 D 点需要多长时间？ 【解析】由题意知 AB5(3 3)(海里)，DBA90 60 30 ，
6、DAB90 45 45 ，所以ADB180 (45 30 )105 . 在DAB 中，由正弦定理得DBsinDABABsinADB， 所以 DBADBDABABsinsin105 sin45 sin)33(5 60 sin45 cos60 cos45 sin45 sin)33(55 3( 31)31210 3(海里). 又DBCDBAABC30 (90 60 )60 ，BC20 3海里， 在DBC 中，由余弦定理得 CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 2002 10 3 20 312900， 所以 CD30(海里)，则需要的时间 t30301(小时). 所以，救援船到达 D 点需
7、要 1 小时. 【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是： (1)根据题意，抽象地构造出三角形； (2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系； (3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解； (4)给出结论. 【变式训练 3】如图，一船在海上由西向东航行，在 A 处测得某岛 M的方位角为北偏东 角，前进 m km 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 角， 已知该岛周围 n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当 与 满足条件 时，该船没有触礁危险. 【解析】 由题可知， 在ABM中， 根据正弦定理得BMsin(90 )msin()， 解得BMmcos sin()，要使船没有触礁危险需要 BMsin(90 )mcos cos sin()n.所以 与 的关系满足 mcos cos nsin()时，船没有触礁危险. 总结提高 1.正弦定理、 余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系， 如证明两内角 AB 与 sin Asin B 是一种等价关系. 2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系， 再用恒等变形(如因式分解、 配方)求解， 注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解. 3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.