1、4.3 平面向量的数量积及向量的应用平面向量的数量积及向量的应用 典例精析典例精析 题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题 【例 1】 已知a,b 夹角为 120 ,且|a|4,|b|2,求: (1)|ab|; (2)(a2b) (ab); (3)a 与(ab)的夹角 . 【解析】(1)(ab)2a2b22ab 1642 4 21212, 所以|ab|2 3. (2)(a2b) (ab)a23ab2b2 163 4 2122 412. (3)a(ab)a2ab164 21212. 所以 cos 124 2 332,所以 6. 【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角
2、等问题. 【变式训练 1】已知向量 a,b,c 满足:|a|1,|b|2,cab,且 ca,则 a 与 b 的夹角大小是 . 【解析】由 caca0a2ab0, 所以 cos 12,所以 120 . 题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题 【例 2】 在ABC 中,(2,3), (1,k),且ABC 的一个内角为直角,求 k 的值. |)(baabaaABAC【解析】当A90 时,有0, 所以 2 13k0,所以 k23; 当B90 时,有0, 又(12,k3)(1,k3), 所以 2 (1)3 (k3)0k113; 当C90 时,有0, 所以1k(k3)0, 所以 k23k10k3 132
3、. 所以 k 的取值为23,113或3 132. 【点拨】因为哪个角是直角尚未确定,故必须分类讨 论.在三角形中计算两向量的数量积,应注意方向及两向量的夹角. 【变式训练 2】ABC 中,AB4,BC5,AC6, 求. 【解析】因为 222 ()()() ()()() 42625277. 所以772. 题型三 平面向量的数量积的综合问题 【例 3】数轴 Ox,Oy 交于点 O,且xOy3,构成一个平面斜坐标系,e1,e2 分别是与 Ox,Oy 同向的单位向量,设 P 为坐标平面内一点,且xe1ye2,则点 P 的坐标为(x,y),已ABACABBCBCACABACBCABBCBCCACAABA
4、BBCBCCACAABABBCCAABCAABBCCABCCABCABABBCCACAABBCBCCAABABBACAACBCCBABBCBCCACAABOP知 Q(1,2). (1)求|的值及与 Ox 的夹角; (2)过点 Q的直线 lOQ,求 l 的直线方程(在斜坐标系中). 【解析】(1)依题意知,e1e212, 且e12e2, 所以2(e12e2)2144e1e23. 所以| 3. 又 e1(e12e2) e1e2 12e1 e20. 所以e1,即与 Ox 成 90 角. (2)设 l 上动点 P(x,y),即xe1ye2, 又l,故, 即(x1)e1(y2)e2 (e12e2)0.
5、所以(x1)(x1)(y2) 122(y2)0, 所以 y2,即为所求直线 l 的方程. 【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算,并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇,体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势. 【变式训练 3】 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(5, 0).对于某个正实数 k, 存在函数 f(x)ax2(a0), 使得 ()( 为常数), 其中点 P, Q的坐标分别为(1, f(1), (k, f(k),则 k 的取值范围为( ) A.(2,) B.(3,) C.(4,) D.(8,) OQOQOQOQOQOQOQOQOPOQOQQPOP
6、|OAOA|OQOQ【解析】如图所示,设,则.因为 P(1,a), Q(k, ak2),(1, 0),(kk2a2k4,ak2k2a2k4),(kk2a2k41,ak2k2a2k4),则直线 OG 的方程为 yak2k k2a2k4x,又,所以 P(1,a)在直线 OG 上,所以 aak2k k2a2k4,所以 a212k. 因为| 1a21,所以 12k0,所以 k2. 故选 A. 总结提高 1.本节是平面向量这一章的重要内容,要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义,熟练掌握向量数量积的性质及运算律;数量积不满足结合律,即(ab) ca(bc);数量积不满足消去律,即 abac 推不出 bc. 2.通过向量的数量积,可以计算向量的长度,平面内两点间的距离,两个向量的夹角,判断两直线是否垂直. 3.向量的线性运算、 数量积运算是平面向量的最基本知识, 在解决向量与不等式、 函数、 方程、数列、 三角函数、 解析几何等综合性问题时, 往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径. |OAOAOM|OQOQONOMONOGOPOGOMONOGOPOGOP