1、3.4 定积分与微积分基本定定积分与微积分基本定理理 典例精析典例精析 题型一 求常见函数的定积分 【例 1】 计算下列定积分的值. (1)(x1)5dx； (2) (xsin x)dx. 【解析】(1)因为16(x1)6(x1)5， 所以 (x1)5dx16. (2)因为(x22cos x)xsin x， 所以(xsin x)dx281. 【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值； (2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分； (4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论： 若 f(
2、x)是偶函数时，则f(x)dx2f(x)dx； 若 f(x)是奇函数时，则f(x)dx0. 【变式训练 1】求(3x34sin x)dx. 【解析】(3x34sin x)dx 表示直线 x5，x5，y0 和曲线 y3x34sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号. 2120216) 1(61x1220)cos2(2xx12aaa0aa5555又 f(x)3(x)34sin(x) (3x34sin x)f(x). 所以 f(x)3x34sin x 在5,5上是奇函数， 所以(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx， 所以(3x
3、34sin x)dx(3x34sin x)dx(3x34sin x)dx0. 题型二 利用定积分计算曲边梯形的面积 【例 2】求抛物线 y22x 与直线 y4x 所围成的平面图形的面积. 【解析】方法一：如图， 由 得交点 A(2,2)，B(8，4)， 则 S 2x( 2x)dx4x( 2x)dx 16338318. 方法二：S(4y)y22dy 18. 【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以 y 为积分变量时，应注意将曲线方程变为 x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应 y 的取值. 【变式训练 2】设 k 是一个正整数，(1xk)k 的展开式中 x3 的系数为1
4、16，则函数 yx2 与 ykx3 的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为 . 5005555005,4,22xyxy02280223324x28)32224(232xxx4242)61214(32yyy【解析】Tr1Cr k( xk )r，令 r3，得 x3 的系数为 C3 k 1k3116，解得 k4.由得函数 yx2 与 y4x3 的图象的交点的横坐标分别为 1,3. 所以阴影部分的面积为 S(4x3x2)dx(2x23x43. 题型三 定积分在物理中的应用 【例 3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为 v (t)1t2，初始位置为 x01，求它在前 2 秒内所走过的路程及 2 秒末所
5、在的位置； (2)一物体按规律 xbt3 作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由 x0 运动到 xa 时阻力所做的功. 【解析】(1)当 0t1 时，v(t)0，当 1t2 时，v(t)0，所以前 2 秒内所走过的路程为 sv(t)dt(v(t)dt (1t2)dt(t21)dt =2. 2 秒末所在的位置为 x1x0v(t)dt1(1t2)dt13. 所以它在前 2 秒内所走过的路程为 2,2 秒末所在的位置为 x113. (2) 物体的速度为 v(bt3)3bt2. 媒质阻力 F 阻kv2k(3bt2)29kb2t4，其中 k 为比例常数，且
6、 k0. 当 x0 时，t0； 当 xa 时，tt1(ab) ， 又 dsvdt，故阻力所做的功为 34,2xyxy1313)313x0112011201)31(3tt 12)31(3tt 020231W 阻ds kv2vdtkv3dt k(3bt2)3dt277kb3t7 1 277k3a7b2. 【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)a(t)dt，s(t)v(t)dt 和 WF(x)dx 这三个公式. 【变式训练 3】定义 F(x，y)(1x)y，x，y(0，).令函数 f(x)F1，log2(x24x9)的图象为曲线 C1，曲线 C1 与 y 轴交于点 A(0，m)，过坐标原点
7、O 向曲线 C1 作切线，切点为B(n，t)(n0)，设曲线 C1 在点 A，B 之间的曲线段与线段 OA，OB 所围成图形的面积为 S，求 S 的值. 【解析】因为 F(x，y)(1x)y，所以 f(x)F(1，log2(x24x9)x24x9，故 A(0,9)，又过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线，切点为 B(n，t)(n0)，f(x)2x4. 所以解得 B(3,6)， 所以 S(x24x92x)dx(x333x29x) =9. 总结提高 1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数. 2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理. 3.利用定积分求平面图形面积的步骤： （1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； （2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； （4）计算定积分，写出答案. 阻F01t01t01tababab)94log(22 xx, 42, 942nntnnt0303