1、2.7 幂函数与函数的图象幂函数与函数的图象 典例精析典例精析 题型一 幂函数的图象与性质 【例 1】点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点(2，14)在幂函数 g(x)的图象上. (1)求 f(x)、g(x)的解析式； (2)问当 x 为何值时，有：g(x)f(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x). 【解析】(1)设 f(x)xa，因为点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，将( 2，2)代入 f(x)xa 中，得 2( 2)a，解得 a2，即 f(x)x2. 设 g(x)xb，因为点(2，14)在幂函数 g(x)的图象上，将(2，14)代入 g(x)xb 中，得14(2)b，解
2、得 b2，即 g(x)x2. (2)在同一坐标系中作出 f(x)和 g(x)的图象，如图所示，由图象可知： 当 x1 或 x1 时，g(x)f(x)； 当 x 1 时，f(x)g(x)； 当1x1 且 x0 时，f(x)g(x). 【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤： 设出幂函数的一般形式 yxa(a 为常数)； 根据已知条件求出 a 的值； 写出幂函数的解析式. 本题的第(2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x21x2，即 x41，x 1，以 x1，1 为分界点分 x1，1x1，x1，x 1 五种情况进行讨论
3、，也能得到同样的结果. 【变式训练 1】函数 f(x)(m2m1) 是幂函数，且当 x(0，)时是减函数，求实数 m. 【解析】因为 f(x)为幂函数， 所以 m2m11，解得 m2 或 m1. 当 m2 时，f(x)x3 在(0，)上是减函数； 当 m1 时，f(x)x0 在(0，)上不是减函数. 所以 m2. 题型二 作函数图象 【例 2】作下列函数图象： (1)y1log2x； (2)y2|x|1； (3)y|x24|. 【解析】(1)y1log2x 的图象是： (2)y2|x|1 的图象是： 322 mmx(3)y|x24|的图象是： 【变式训练 2】 在下列图象中， 二次函数 yax
4、2bx 与指数函数 y(ba)x 的图象只可能是( ) 【解析】A. 题型三 用数形结合思想解题 【例 3】已知 f(x)|x24x3|. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求 m 的取值范围，使方程 f(x)mx 有 4 个不同实根. 【解析】 递增区间为1,2，3，)； 递减区间为(，1)，(2,3). (2)设 ymx 与 yf(x)有四个公共点，过原点的直线 l 与 yf(x)有三个公共点，如图所示.令它的斜率为 k，则 0mk. 由 x2(k4)x30. 令 (k4)2120k4 2 3. 342xxykxy当 k42 3时，方程的根 x1x2 3(1,3)，舍去；当 k42 3
5、时，方程的根 x1x2 3(1,3)，符合题意.故 0m42 3. 【点拨】(1)作出 f(x)的图象；(2)利用(1)的图象，研究函数 ymx 与 yf(x)的交点情况. 【变式训练 3】若不等式 x2logax0 对 x(0，12)恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A.0a1 B.116a1 C.a1 D.0a116 【解析】原不等式为 x2logax，设 f(x)x2，g(x)logax，因为 0 x121，而 logaxx20，所以 0a1，作出 f(x)在 x(0，12)内的图象，如图所示. 因为 f(12)14，所以 A(12，14)，当 g(x)图象经过点 A 时，14lo
6、ga12a116，因为当 x(0，12)时，logaxx2，g(x)图象按如图虚线位置变化，所以116a1，故答案为 B. 题型四 有关图象的对称问题 【例 4】设函数 f(x)x1x，x(，0)(0，)的图象为 C1，C1 关于点 A(2,1)对称的图象为 C2，C2 对应的函数为 g(x). (1)求函数 yg(x)的解析式，并确定其定义域； (2)若直线 yb 与 C2 只有一个交点，求 b 的值，并求出交点的坐标. 【解析】(1)设 P(u，v)是 yx1x上任意一点，所以 vu1u. 设 P 关于 A(2,1)对称的点为 Q(x，y)， 所以 代入得 2y4x14xyx21x4. 所
7、以 g(x)x21x4，其定义域为(，4)(4，). (2)联立方程得 2, 4yvxu.2,4yvxux2(b6)x4b90， 所以 (b6)24 (4b9)b24b0b0 或 b4.所以，当 b0 时，交点为(3,0)；当 b4 时，交点为(5,4). 【变式训练 4】函数 f(x)的定义域为 R，且满足：f(x)是偶函数，f(x1)是奇函数.若 f(0.5)9，则 f(8.5)等于( ) A.9 B.9 C.3 D.0 【解析】因为 f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，所以 f(2x)f(x)f(x)，则 f(4x)f(x2)f(x)，即 4 是函数 f(x)的一个周期，所以 f(8.5)f(0.5)9，故应选 B.本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键. 总结提高 掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法.函数图象为研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法，用数形结合思想、分类讨论思想和转化变换的思想分析解决数学问题.函数的图象是沟通“数”与“形”的一个重要桥梁.应用函数图象法解数学问题往往具有直观易懂、运算量小的优点，但用图象法 求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情况. 412,xxyby