1、8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 典例精析典例精析 题型一 直线与圆的位置关系的判断 【例 1】已知圆的方程 x2y22，直线 yxb，当 b 为何值时， (1)直线与圆有两个公共点； (2)直线与圆只有一个公共点. 【解析】方法一：(几何法) 设圆心 O(0,0)到直线 yxb 的距离为 d，d|b|1212|b|2，半径 r 2. 当 dr 时，直线与圆相交，|b|2 2，2b2， 所以当2b2 时，直线与圆有两个公共点. 当 dr 时，直线与圆相切， |b|2 2，b 2， 所以当 b 2 时，直线与圆只有一个公共点. 方法二：(代数法) 联立两个方程得方程组
2、, 222bxyyx 消去 y 得 2x22bxb220，164b2. 当 0，即2b2 时，有两个公共点； 当 0，即 b 2 时，有一个公共点. 【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯. 【变式训练 1】圆 2x22y21 与直线 xsin y10(R，k2，kZ)的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 【解析】选 A.易知圆的半径 r22，设圆心到直线的距离为 d，则 d1sin21. 因为 2k，kZ.所以 0sin21， 所以22d1，即
3、dr，所以直线与圆相离. 题型二 圆与圆的位置关系的应用 【例 2】如果圆 C：(xa)2(ya)24 上总存在两个点到原点的距离为 1，求实数 a 的取值范围. 【解析】 到原点的距离等于 1 的点在单位圆 O： x2y21 上.当圆 C 与圆 O 有两个公共点时，符合题意，故应满足 21|OC|21， 所以 1 a2a23，即22|a|3 22， 所以3 22a22或22a3 22为所求 a 的范围. 【变式训练 2】两圆(x1)2(y1)2r2 和(x2)2(y2)2R2 相交于 P，Q 两点，若点 P的坐标为(1,2)，则点 Q 的坐标为 . 【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别
4、为(1,1)，(2，2)，则过它们圆心的直线方程为x(1)2(1)y121，即 yx. 根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称. 故由 P(1,2)可得它关于直线 yx 的对称点，即点 Q 的坐标为(2，1). 题型三 圆的弦长、中点弦的问题 【例 3】已知点 P(0,5)及圆 C：x2y24x12y240. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3，求 l 的方程； (2)求圆 C 内过点 P 的弦的中点的轨迹方程. 【解析】(1)如图，AB4 3，D 是 AB 的中点，则 AD2 3，AC4， 在 RtADC 中，可得 CD2. 设所求直线的斜率为
5、k，则直线的方程为 y5kx，即 kxy50.由点 C 到直线的距离公式|2k65|k212， 得 k34，此时直线 l 的方程为3x4y200. 又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为 x0. 所以所求直线为 x0 或 3x4y200. (也可以用弦长公式求解) (2)设圆 C 上过点 P 的弦的中点为 D(x，y)， 因为 CDPD，所以PDCD0，即(x2，y6)(x，y5)0， 化简得轨迹方程 x2y22x11y300. 【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦 AB 两端点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，
6、由,2222222121ryxryx得 ky1y2x1x2x1x2y1y2x0y0. 该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题. 【变式训练 3】已知圆的方程为 x2y26x8y0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( ) A.10 6 B.20 6 C.30 6 D.40 6 【解析】选 B.圆的方程化成标准方程(x3)2(y4)225，过点(3,5)的最长弦为 AC10，最短弦为 BD2 52124 6，S12ACBD20 6. 总结提高 1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用 l2R2d2(R表示圆的半径，d 表示弦心距)求弦长比代数法要简便. 2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况. 3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.