1、12.5 古典概型古典概型 典例精析典例精析 题型一 古典概率模型的计算问题 【例 1】一汽车厂生产 A、B、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)， 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类 10 辆. (1)求 z 的值； (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本视为一个总体，从中任取 2 辆，求至少有 1 辆舒适型轿车的概率； (3)用随机抽样方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分
2、如下：9.4,8.6,9.2, 9.6,8.7,9.3,9.0,8.2 把这 8 辆车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 【解析】(1)依题意知，从每层抽取的比率为140，从而轿车的总数为 50 402 000 辆，所以 z2 000100150300450600400. (2)由(1)知 C 类轿车共 1 000 辆，又样本容量为 5，故抽取的比率为1200，即 5 辆轿车中有 2 辆舒适型、3 辆标准型，任取 2 辆，一共有 n10 种不同取法，记事件 A：至少有 1 辆舒适型轿车，则事件表示抽取到 2 辆标准型轿车，有 m3 种不同
3、取法，从而事件 A 包含：基本事件数为 m7 种，所以 P(A)710. A(3)样本平均数 18 (9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.0，记事件 B：从样本中任取一数，该数与样本平均数的绝对值不超过 0.5，则事件 B 包含的基本事件有 6 种，所以 P(B)6834. 【点拨】利用古典概型求事件的概率时，主要弄清基本事件的总数，及所求事件所含的基本事件的个数. 【变式训练 1】已知ABC 的三边是 10 以内(不包含 10)的三个连续的正整数，求任取一个ABC 是锐角三角形的概率. 【解析】依题意不妨设 an1，bn，cn1(n1，nN)，从而有 abc，即 n2，所以
4、ABC 的最小边为 2，要使ABC 是锐角三角形，只需ABC 的最大角 C 是锐角，cos C(n1)2n2(n1)22(n1)nn42(n1)0，所以 n4， 所以，要使ABC 是锐角三角形，ABC 的最小边为 4.另一方面，从2,3,4，9中，“任取三个连续正整数”共有 6 种基本情况，“ABC 是锐角三角形”包含 4 种情况，故所求的概率为4623. 题型二 有放回抽样与不放回抽样 【例 2】 现有一批产品共有 10 件，其中 8 件为正品，2 件为次品. (1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续 3 次取出的都是正品的概率； (2)如果从中一次取 3 件，求 3 件都是正品的
5、概率. 【解析】(1)有放回地抽取 3 次，按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则 x，y，z 都有 10 种可能，所以试验结果有 10 10 10103 种；设事件 A 为“连续 3 次都取正品”，则包含的基本事件共有 8 8 883 种，因此，P(A)0.512. (2)方法一：可以看作不放回抽样 3 次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x，y，z)，x33108则 x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，z 有8 种可能，所以试验的所有结果为 10 9 8720 种.设事件 B 为“3 件都是正品”，则事件 B 包含的基本事件总数为 8 7 6336， 所以 P(B)336720
6、0.467. 方法二：可以看作不放回 3 次无顺序抽样，先按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则 x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，z 有 8 种可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)是相同的，所以试验的所有结果有 10 9 8 6120.按同样的方法，事件 B 包含的基本事件个数为 8 7 6 656，因此 P(B)561200.467. 【点拨】关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误. 【变式训练 2】有 5
7、 张卡片，上面分别写有 0,1,2,3,4 中的 1 个数.求： (1)从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于 4 的概率； (2)从中任取两次卡片，每次取一张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率. 【解析】(1)两张卡片上的数字之和等于 4的情形共有 4 种，任取两张卡片共有 10 种，所以概率为 P41025； (2)两张卡片上的数字之和等于 4 的情形共有 5 种， 任取两张卡片共有 25 种， 所以概率为 P52515. 题型三 古典概型问题的综合应用 【例 3】 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 2 个红球，2
8、个白球；乙袋装有 2个红球，n 个白球.从甲、乙两袋中各任取 2 个球. (1)若 n3，求取到的 4 个球全是红球的概率； (2)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为34，求 n. 【解析】(1)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A， P(A)C2 2C2 4C2 2C2 516110160. (2)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B，“取到的 4 个球只有 1 个红球”为事件 B1，“取到的 4 个球全是白球”为事件 B2. 由题意，得 P(B)13414. P(B1)C1 2C1 2C2 4C2 nC2 n2C2 2C2 4C1 2C1 nC2 n22n23
9、(n2)(n1)， P(B2)C2 2C2 4C2 nC2 n2n(n1)6(n2)(n1). 所以 P(B)P(B1)P(B2)2n23(n2)(n1)n(n1)6(n2)(n1)14， 化简得 7n211n60， 解得 n2 或 n37(舍去)，故 n2. 【变式训练 3】甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有 10 道不同的题目，其中选择题 6 道，判断题 4 道，甲、乙二人一次各抽取一题. (1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？ 【解析】(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果有 C1 6个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是 C1 4
10、，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为 C1 6 C1 424.又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有 C1 10 C1 990， 所以概率为2490415. (2)甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是 10 990. 方法一：(分类计数原理) 只有甲抽到了选择题的事件数是：6 424； 只有乙抽到了选择题的事件数是：6 424； 甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6 530. 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是242430901315. 方法二：(利用对立事件) 事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件. 事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基
11、本事件个数是 4 312. 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是 1129012151315. 总结提高总结提高 1.对古典概型首先必须使学生明确判断两点：对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数 n 必须是有限个；出现的各个不同的试验结果数 m 其可能性大小必须是相同的.只有在同时满足、的条件下，运用的古典概型计算公式 P(A)mn得出的结果才是正确的.使用公式 P(A)mn计算时，确定 m、n 的数值是关键所在. 2.对于 n 个互斥事件 A1， A2， ， An， 其加法公式为 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). 3.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想. 4.在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决问题的能力的重要环节.