1、12.2 排列与组合排列与组合 典例精析典例精析 题型一 排列数与组合数的计算 【例 1】 计算：(1)8！A6 6A2 8A4 10；(2) C3 3C3 4C3 10. 【解析】(1)原式8 7 6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 18 710 9 8 757 6 5 4 3 256 (89)5 130623. (2)原式C4 4C3 4C3 5C3 10C4 5C3 5C3 10C4 6C3 6C3 10C4 11330. 【点拨】在使用排列数公式 Am n n！(nm)！进行计算时，要注意公式成立的条件：m，nN+，mn.另外，应注意组合数的性质的灵活运用. 【变式训练 1】解不
2、等式6. 【解析】原不等式即9！(9x)！69！(11x)！， 也就是1(9x)！， 化简得 x221x1040， 解得 x8 或 x13，又因为 2x9，且 xN*， 所以原不等式的解集为2,3,4,5,6,7. 题型二 有限制条件的排列问题 【例 2】 3 男 3 女共 6 个同学排成一行. (1)女生都排在一起，有多少种排法？ (2)女生与男生相间，有多少种排法？ (3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？ x9A29Ax)!9)10()11(6xxx(4)3 名男生不排在一起，有多少种排法？ (5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排 2 位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
3、【解析】(1)将 3 名女生看作一人，就是 4 个元素的全排列，有 A4 4种排法.又 3 名女生内部可有A3 3种排法，所以共有 A4 4 A3 3144 种排法. (2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有 2 种插法)，所以女生与男生相间共有2A3 3 A3 372 种排法. (3)女生先排，女生之间及首尾共有 4 个空隙，任取其中 3 个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有 A3 3 A3 4144 种. (4)直接分类较复杂，可用间接法.即从 6 个人的排列总数中，减去 3 名男生排在一起的排法种数，得 3 名男生不排在一起的排法种数为 A6 6A3 3A4 4
4、576 种. (5)先将2个女生排在男生甲、 乙之间， 有A2 3种排法.又甲、 乙之间还有A2 2种排法.这样就有A2 3 A2 2种排法.然后把他们 4 人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另 1 名男生排在首尾，有A2 2种排法.最后将余下的女生排在其间，有 1 种排法.故总排法为 A2 3A2 2A2 224 种. 【点拨】 排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题， 有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“
5、捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法. 【变式训练 2】把 1,2,3,4,5 这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列. (1)43 251 是这个数列的第几项？ (2)这个数列的第 97 项是多少？ 【解析】(1)不大于 43 251 的五位数 A5 5(A4 4A3 3A2 2)88 个，即为此数列的第88 项. (2)此数列共有 120 项，而以 5 开头的五位数恰好有 A4 424 个，所以以 5 开头的五位数中最小的一个就是该数列的第 97 项，即 51 234. 题型三 有限制条件的组合问题 【例
6、3】 要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动. (1)A，B，C 三人必须入选有多少种不同选法？ (2)A，B，C 三人都不能入选有多少种不同选法？ (3)A，B，C 三人只有一人入选有多少种不同选法？ (4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？ (5)A，B，C 三人至多二人入选有多少种不同选法？ 【解析】(1)只须从 A，B，C 之外的 9 人中选择 2 人，C2 936 种不同选法. (2)由 A，B，C 三人都不能入选只须从余下 9 人中选择 5 人，即有 C5 9C4 9126 种选法. (3)可分两步，先从 A，B，C 三人中选出 1 人，有 C1 3种选法，再从余下的
7、 9 人中选 4 人，有C4 9种选法，所以共有 C1 3 C4 9378 种选法. (4)可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C5 12种，再减去 A，B，C 三人都不入选的情况 C5 9，共有 C5 12C5 9666 种选法. (5)可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C5 12种，再减去 A，B，C 三人都入选的情况 C2 9种，所以共有 C5 12C2 9756 种选法. 【点拨】遇到至多、至少的有关计数问题，可以用间接法求解.对于有限制条件的问题，一般要根据特殊元素分类. 【变式训练 3】四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点. (1)在其中取 4 个共面的点，共有多少种不同的取法？ (2)在其中取 4 个不共面的点，共有多少种不同的取法？ 【解析】(1)四个点共面的取法可分三类.第一类：在同一个面上取，共有 4C4 6种；第二类：在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有 6种；第三类：在六条棱的六个中点中取，取两对对棱的 4 个中点，共有 C2 33 种.故有 69种. (2)用间接法.共 C4 1069141 种. 总结提高 解有条件限制的排列与组合问题的思路： (1)正确选择原理，确定分类或分步计数； (2)特殊元素、特殊位置优先考虑； (3)再考虑其余元素或其余位置.