1、6.2 等差数列等差数列 典例精析典例精析 题型一 等差数列的判定与基本运算 【例 1】已知数列an前 n 项和 Snn29n. (1)求证：an为等差数列；(2)记数列|an|的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的表达式. 【解析】(1)证明：n1 时，a1S18， 当 n2 时，anSnSn1n29n(n1)29(n1)2n10， 当 n1 时，也适合该式，所以 an2n10 (nN*). 当 n2 时，anan12，所以an为等差数列. (2)因为 n5 时，an0，n6 时，an0. 所以当 n5 时，TnSn9nn2， 当 n6 时，Tn| |a1 | |a2 |a5 |a6 |an
2、a1a2a5a6a7an Sn2S5n29n2 (20)n29n40， 所以， 【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式. 【变式训练 1】已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S2142，若记 bn，则数列bn( ) A.是等差数列，但不是等比数列 B.是等比数列，但不是等差数列 C.既是等差数列，又是等比数列 D.既不是等差数列，又不是等比数列 【解析】本题考查了两类常见数列，特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列an的首项与公差之间的关系从而确定数列bn的通项是解决问题的突破口.an是等差数列，则 S211391122aaa21a121 202d42. 所以 a1
3、10d2，即 a112.所以 bn22(2a11)201，即数列bn是非 0 常数列，既是等差数列又是等比数列.答案为 C. 题型二 公式的应用 【例 2】设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a312，S120，S130. (1)求公差d 的取值范围； (2)指出 S1，S2，S12 中哪一个值最大，并说明理由. 【解析】(1)依题意，有 S1212a112 (121)d20，S1313a113 (131)d20， 即 由 a312，得 a1122d. 将分别代入式，得 所以247d3. (2)方法一：由 d0 可知 a1a2a3a12a13， 因此，若在 1n12 中存在自然数 n，
4、使得 an0，an10， 则 Sn 就是 S1，S2，S12 中的最大值. 由于 S126(a6a7)0，S1313a70， 即 a6a70，a70，因此 a60，a70， 故在 S1，S2，S12 中，S6 的值最大. 方法二：由 d0 可知 a1a2a3a12a13， 因此，若在 1n12 中存在自然数 n，使得 an0，an10， 1391122aaa 06 011211dada03, 0724dd则 Sn 就是 S1，S2，S12 中的最大值. 故在 S1，S2，S12 中，S6 的值最大. 【变式训练 2】 在等差数列an中， 公差 d0， a2 008， a2 009 是方程 x2
5、3x50 的两个根，Sn 是数列an的前 n 项的和，那么满足条件 Sn0 的最大自然数 n . 【解析】由题意知又因为公差 d0，所以 a2 0080，a2 0090. 当 n4 015 时， S4 015a1a4 0152 4 015a2 008 4 0150； 当 n4 016 时， S4 016a1a4 0162 4 016a2 008a2 0092 4 0160.所以满足条件 Sn0 的最大自然数 n4 015. 题型三 性质的应用 【例 3】某地区 2010 年 9 月份曾发生流感，据统计，9 月 1 日该地区流感病毒的新感染者有40 人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加 40
6、 人；但从 9 月 11 日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少 10 人. (1)分别求出该地区在 9 月 10 日和 9 月 11 日这两天的流感病毒的新感染者人数； (2)该地区 9 月份(共 30 天)该病毒新感染者共有多少人？ 【解析】(1)由题意知，该地区 9 月份前 10 天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为 40，公差为 40 的等差数列. 所以 9 月 10 日的新感染者人数为 40(101) 40400(人). 所以 9 月 11 日的新感染者人数为 40010390(人). (2)9 月份前 10 天的新感染者人数和为
7、S1010(40400)22 200(人)， , 05, 03009 2008 2009 2008 2aaaa9 月份后 20 天流感病毒的新感染者的人数，构成一个首项为 390，公差为10 的等差数列. 所以后 20 天新感染者的人数和为 T2020 39020(201)2 (10)5 900(人). 所以该地区 9 月份流感病毒的新感染者共有 2 2005 9008 100(人). 【变式训练 3】设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S410，S515，则 a4 的最大值为 【解析】因为等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S410，S515， 所以53d2a43d，即 53d62d，所以 d1， 所以 a43d314，故 a4 的最大值为 4. 总结提高 1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，aman(mn)d. 2.在五个量 a1、d、n、an、Sn 中，知其中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的. 3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设 a，ad，a2d 外，还可设 ad，a，ad；四个数成等差数列时，可设为 a3m，am，am，a3m. 4.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.