1、9.5 锥曲线综合问题锥曲线综合问题 典例精析典例精析 题型一 求轨迹方程 【例 1】已知抛物线的方程为 x22y，F 是抛物线的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作抛物线的两条切线 l1 和 l2，记 l1 和 l2 交于点 M. (1)求证：l1l2； (2)求点 M 的轨迹方程. 【解析】(1)依题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx12. 联立消去 y 整理得 x22kx10.设 A 的坐标为(x1，y1)，B 的坐标为(x2，y2)，则有 x1x21，将抛物线方程改写为 y12x2，求导得 yx. 所以过点 A 的切线 l1
2、的斜率是 k1x1，过点 B 的切线 l2 的斜率是 k2x2. 因为 k1k2x1x21，所以 l1l2. (2)直线 l1 的方程为 yy1k1(xx1)，即 yx2 12x1(xx1). 同理直线 l2 的方程为 yx2 22x2(xx2). 联立这两个方程消去 y 得x2 12x2 22x2(xx2)x1(xx1)， 整理得(x1x2)(xx1x22)0， 注意到 x1x2，所以 xx1x22. 此时 yx2 12x1(xx1)x2 12x1(x1x22x1)x1x2212. 由(1)知 x1x22k，所以 xx1x22kR. 所以点 M 的轨迹方程是 y12. 22121xykxy【
3、点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念， “求轨迹”除了首先要求我们求出方程， 还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌. 【变式训练 1】 已知ABC 的顶点为 A(5,0)， B(5,0)， ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是( ) A.x29y2161 B.x216y291 C.x29y2161(x3) D.x216y291(x4) 【解析】如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|， 所以|CA|CB|826， 根据双曲线定义，所求轨
4、迹是以 A、B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为x29y2161(x3)，故选 C. 题型二 圆锥曲线的有关最值 【例 2】已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 x23y24 上，对角线 BD 所在直线的斜率为1.当ABC60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值. 【解析】因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD. 于是可设直线 AC 的方程为 yxn. 由得 4x26nx3n240. 因为 A，C 在椭圆上，所以 12n2640，解得4 33n4 33. 设 A，C 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x23n2，x1x23n244， y1x1n，y2
5、x2n. 所以 y1y2n2. 因为四边形 ABCD 为菱形，且ABC60 ，所以|AB|BC|CA|. nxyyx, 4322所以菱形 ABCD 的面积 S32|AC|2. 又|AC|2(x1x2)2(y1y2)23n2162，所以 S34(3n216) (4 33n4 33). 所以当 n0 时，菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3. 【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出 n 的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少. 【变式训练 2】已知抛物线 yx21 上有一定点 B(1,0)和两个动点 P、Q，若 BP
6、PQ，则点 Q 横坐标的取值范围是 . 【解析】如图，B(1,0)，设 P(xP，x2 P1)，Q(xQ，x2 Q1)， 由 kBPkPQ1，得x2 P1xP1x2 Qx2 PxQxP1. 所以 xQxP1xP1(xP1)1xP11. 因为|xP11xP1|2，所以 xQ1 或 xQ3. 题型三 求参数的取值范围及最值的综合题 【例 3】(2013 浙江模拟)已知 m1，直线 l：xmym220，椭圆 C：x2m2y21，F1，F2分别为椭圆 C 的左、右焦点. (1)当直线 l 过右焦点 F2 时，求直线 l 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，AF1F2，BF1F2
7、 的重心分别为 G，H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)因为直线 l：xmym220 经过 F2( m21，0)， 所以 m21m22，解得 m22， 又因为 m1，所以 m 2. 故直线 l 的方程为 x 2y10. (2)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去 x 得 2y2mym2410， 则由 m28(m241)m280 知 m28， 且有 y1y2m2，y1y2m2812. 由于 F1(c,0)，F2(c,0)，故 O 为 F1F2 的中点， 由2， 2，得 G(x13，y13)，H(x23，y23)， |GH|2(x1x2)2
8、9(y1y2)29. 设 M 是 GH 的中点，则 M(x1x26，y1y26)， 由题意可知，2|MO|GH|，即 4(x1x26)2(y1y26)2(x1x2)29(y1y2)29， 即 x1x2y1y20. 而 x1x2y1y2(my1m22)(my2m22)y1y2(m21)(m2812). 所以m28120，即 m24. 又因为 m1 且 0，所以 1m2. 所以 m 的取值范围是(1,2). 【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力. 【变式训练 3】若双曲线 x2ay21 的右支上存在三点 A、B、C
9、 使ABC 为正三角形，其中一个顶点 A 与双曲线右顶点重合，则 a 的取值范围为 . 【解析】设 B(m，m21a)，则 C(m，m21a)(m1)， 又 A(1,0)，由 ABBC 得(m1)2m21a(2m21a)2， 1,22222ymxmmyxAGGOBHHO所以 a3m1m13(12m1)3，即 a 的取值范围为(3，). 总结提高 1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程， 其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法. 2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与 0 的关系)确定. 3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识.