1、第八章第八章 直线和圆的方程直线和圆的方程 高考导航高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式. 3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)， 了解斜截式与一次函数的关系. 5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离. 7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 8.能根据给定直线、圆的方程
2、，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 9.能用直线和圆的方程解决简单的问题. 10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式. 本章重点： 1.倾斜角和斜率的概念； 2.根据斜率判定两条直线平行与垂直； 3.直线的点斜式方程、 一般式方程； 4.两条直线的交点坐标； 5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法； 6.圆的标准方程与一般方程； 7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题. 本章难点： 1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系； 2.根据斜率判定
3、两条直线的位置关系； 3.直线方程的应用； 4.点到直线的距离公式的推导； 5.圆的方程的应用； 6.直线与圆的方程的综合应用. 本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查. 直线和圆 的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题；如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时， 对空间直角坐标系的考查难 度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题 的能力，以及函数思想和数形结合的能力等. 知识网络知识网络 8.1 直线与方程直线与方程 典例精析典例精析 题型一 直线的倾斜角 【例 1】直线 2xcos y30，6，3的倾斜角的
4、变化范围是( ) A.6，3 B.4，3 C.4，2 D.4，23 【解析】直线 2xcos y30 的斜率 k2cos ， 由于 6，3，所以12cos 32，k2cos 1， 3. 设直线的倾斜角为 ，则有 tan 1， 3， 由于 0，)，所以 4，3，即倾斜角的变化范围是4，3，故选 B. 【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围. 【变式训练 1】已知 M(2m3，m)，N(m2,1)，当 m 时，直线 MN 的倾斜角为锐角；当 m 时，直线 MN 的倾斜角为直角；当 m 时，直线 MN 的倾斜角为钝角. 【解析】直线 MN 的倾斜角为锐角时，km12m3m2m1m50m5 或
5、 m1； 直线 MN 的倾斜角为直角时，2m3m2m5； 直线 MN 的倾斜角为钝角时，km12m3m2m1m505m1. 题型二 直线的斜率 【例 2】已知 A(1，5)，B(3，2)，直线 l 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的 2 倍，求直线l 的斜率. 【解析】由于 A(1，5)，B(3，2)，所以 kAB253134， 设直线 AB 的倾斜角为 ，则 tan 34， l 的倾斜角为 2，tan 22tan 1tan22341(34)2247. 所以直线 l 的斜率为247. 【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数
6、的有关知识联系在一起. 【变式训练 2】设 是直线 l 的倾斜角，且有 sin cos 15，则直线 l 的斜率为( ) A.34 B.43 C.43 D.34或43 【解析】选 C.sin cos 15sin cos 12250 sin 45，cos 35或 cos 45，sin 35(舍去)， 故直线 l 的斜率 ktan sin cos 43. 题型三 直线的方程 【例 3】求满足下列条件的直线方程. (1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等； (2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为 2. 【解析】(1)当截距为 0 时，直线过原点，直线方程是 2x3y0；当截距不为 0
7、 时，设方程为xaya1，把(3,2)代入，得 a5，直线方程为 xy50. 故所求直线方程为 2x3y0 或 xy50. (2)当斜率不存在时，直线方程 x20 合题意； 当斜率存在时，则设直线方程为 y1k(x2)，即 kxy12k0，所以|12k|k212，解得k34，方程为 3x4y100. 故所求直线方程为 x20 或 3x4y100. 【点拨】截距可以为 0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论. 【变式训练 3】求经过点 P(3，4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程. 【解析】当横、纵截距都是 0 时，设直线的方程为 ykx. 因为直线过点 P(3，4)，所以43k，得 k43.
8、此时直线方程为 y43x. 当横、纵截距都不是 0 时，设直线的方程为xaya1， 因为直线过点 P(3，4)，所以 a347.此时方程为 xy70. 综上，所求直线方程为 4x3y0 或 xy70. 题型四 直线方程与最值问题 【例 4】 过点 P(2,1)作直线 l 分别交 x、 y 轴的正半轴于 A、 B 两点， 点 O 为坐标原点， 当ABO的面积最小时，求直线 l 的方程. 【解析】方法一：设直线方程为xayb1(a0，b0)， 由于点 P 在直线上，所以2a1b1. 2a1b(2a1b2)214， 当2a1b12时，即 a4，b2 时，1a1b取最大值18， 即 SAOB12ab
9、取最小值 4， 所求的直线方程为x4y21，即 x2y40. 方法二：设直线方程为 y1k(x2)(k0)， 直线与 x 轴的交点为 A(2k1k，0)，直线与 y 轴的交点为 B(0，2k1)， 由题意知 2k10，k0,12k0. SAOB12(12k) 2k1k12(1k)(4k)4122(1k) (4k)44. 当1k4k，即 k12时，SAOB 有最小值， 所求的直线方程为 y112(x2)，即 x2y40. 【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式. 【变
10、式训练 4】已知直线 l：mx(m21)y4m(mR).求直线 l 的斜率的取值范围. 【解析】由直线 l 的方程得其斜率 kmm21. 若 m0，则 k0； 若 m0，则 k1m1m12m1m12，所以 0k12； 若 m0，则 k1m1m1m1m12(m)(1m)12，所以12k0. 综上，12k12. 总结提高总结提高 1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据 ky2y1x2x1求斜率；其二，已知倾斜角 或 的三角函数值，根据 ktan 求斜率，但要注意斜率不存在时的情形. 2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是0，). 3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.