1、8.2 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 典例精析典例精析 题型一 两直线的交点 【例 1】若三条直线 l1：2xy30，l2：3xy20 和 l3：axy0 不能构成三角形，求a 的值. 【解析】l3l1 时，a2a2； l3l2 时，a3a3； 由023, 032yxyx, 1, 1yx将(1，1)代入 axy0a1. 综上，a1 或 a2 或 a3 时，l1、l2、l3 不能构成三角形. 【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形. 【变式训练 1】已知两条直线 l1：a1xb1y10 和 l2：a2xb2y10 的交点为 P(2,3)，则过 A(a1，b1
2、)，B(a2，b2)的直线方程是 . 【解析】由 P(2,3)为 l1 和 l2 的交点得, 0132, 01322211baba 故 A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐标满足方程 2x3y10， 即直线 2x3y10 必过 A(a1，b1)，B(a2，b2)两点. 题型二 两直线位置关系的判断 【例 2】已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b的值. (1)l1l2，且 l1 过点(3，1)； (2)l1l2，且坐标原点到两条直线的距离相等. 【解析】(1)由已知可得 l2 的斜率存在， 所以 k21a，若 k20，则 1a0，即 a1. 因
3、为 l1l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b0， 又 l1 过点(3，1)，所以3ab40， 而 a1，b0 代入上式不成立，所以 k20. 因为 k20，即 k1，k2 都存在， 因为 k21a，k1ab，l1l2， 所以 k1k21，即ab(1a)1， 又 l1 过点(3，1)，所以3ab40， 联立上述两个方程可解得 a2，b2. (2)因为 l2 的斜率存在，又 l1l2，所以 k1k2，即ab(1a)， 因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1l2， 所以 l1，l2 在 y 轴的截距互为相反数，即4bb， 联立上述方程解得 a2，b2 或 a23，b2， 所以 a，
4、b 的值分别为 2 和2 或23和 2. 【点拨】运用直线的斜截式 ykxb 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”. 【变式训练 2】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).点 P(0，p)是线段 AO 上的一点(异于端点)，这里 a，b，c，p 均为非零实数，设直线 BP，CP 分别与边 AC，AB 交于点 E，F，某同学已正确求得直线 OE 的方程为(1b1c)x(1p1a)y0，则直线 OF 的方程为 . 【解
5、析】由截距式可得直线 AB：xbya1，直线 CP：xcyp1，两式相减得(1c1b)x(1p1a)y0，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故所求直线 OF 的方程为(1c1b)x(1p1a)y0. 题型三 点到直线的距离 【例 3】已知ABC 中，A(1,1)，B(4,2)，C(m， m)(1m4)，当ABC 的面积 S 最大时，求 m 的值. 【解析】因为 A(1,1)，B(4,2)，所以|AB|(41)2(21)2 10， 又因为直线 AB 的方程为 x3y20， 则点 C(m， m)到直线 AB 的距离即为ABC 的高， 设高为 h，则 h|m
6、3 m2|12(3)2，S12|AB|h12|m3 m2|， 令 mt，则 1t2，所以 S12|m3 m2|12|t23t2|12|(t32)214|， 由图象可知，当 t32时，S 有最大值18，此时 m32，所以 m94. 【点拨】 运用点到直线的距离时， 直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题， 用处理代数问题的方法解决. 【变式训练 3】若动点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)分别在直线 l1：xy50，l2：xy150 上移动，求 P1P2 的中点 P 到原点的距离的最小值. 【解析】方法一：因为 P1、P2 分别在直线 l1 和 l2 上， 所以. 015 , 0
7、52211yxyx () 2，得x1x22y1y22100，所以 P1P2 的中点 P(x1x22，y1y22)在直线 xy100 上，点 P 到原点的最小距离就是原点到直线 xy100 的距离 d1025 2.所以，点P 到原点的最小距离为 5 2. 方法二：设 l 为夹在直线 l1 和 l2 之间且和 l1 与 l2 的距离相等的直线. 令 l：xyc0，则 5c15，且|c5|2|c15|2， 解得 c10.所以 l 的方程为 xy100. 由题意知，P1P2 的中点 P 在直线 l 上，点 P 到原点的最小距离就是原点到直线 l 的距离 d1025 2，所以点 P 到原点的最小距离为 5 2. 总结提高 1.求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究. 2.学会用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.特别是注意数形结合思想方法，根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可以避免漏解和增解，同时还可以充分利用图形的性质，挖掘出某些隐含条件，找到简捷解法. 3.运用公式 d|C1C2|A2B2求两平行直线之间的距离时，要注意把两直线方程中 x、y 的系数化成分别对应相等.