1、7.4 基本不等式及应用基本不等式及应用 典例精析典例精析 题型一 利用基本不等式比较大小 【例 1】(1)设 x，yR，且 xy(xy)1，则( ) A.xy2( 21) B.xy2( 21) C.xy2( 21)2 D.xy( 21)2 (2)已知 a，bR，则 ab，ab2，a2b22，2abab的大小顺序是 . 【解析】(1)选 A.由已知得 xy1(xy)，又xy(xy2)2，所以(xy2)21(xy). 解得 xy2( 21)或 xy2(1 2). 因为 xy0，所以 xy2( 21). (2)由ab2 ab有 ab2 ab，即 ab2abab，所以 ab2abab. 又ab2a2
2、2abb242(a2b2)4，所以a2b22ab2， 所以a2b22ab2 ab2abab. 【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用. 【变式训练 1】设 abc，不等式1ab1bcac恒成立，则 的取值范围是 . 【解析】(，4).因为 abc，所以 ab0，bc0，ac0. 而(ac)(1ab1bc)(ab)(bc)(1ab1bc)4，所以 4. 题型二 利用基本不等式求最值 【例 2】(1)已知 x54，则函数 y4x214x5的最大值为 ； (2)已知二次函数 f(x)ax2bxc 的导数 f(x)，f(0)0，对任意实数 x，有 f(x)0，则f(1)f(
3、0)的最小值为( ) A.3 B.52 C.2 D.32 【解析】(1)因为 x54，所以 54x0. 所以 y4x214x5(54x154x)3231. 当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立. 所以 x1 时，ymax1. (2)选 C.因为 f(x)0，所以 所以 cb24a.又 f(x)2axb，所以 f(0)b0， f(1)f(0)abcb1acb14a2b24ab12 4a2b24ab2， 当且仅当 cb24a且 4a2b2 时等号成立. 【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误. 【变式训练 2】已知
4、 x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，求(ab)2cd的取值范围. 【解析】由等差数列、等比数列的性质得 abxy， cdxy，所以(ab)2cd(xy)2xy2xyyx， 当yx0 时，(ab)2cd4；当yx0 时，(ab)2cd0， 故(ab)2cd的取值范围是(，04，). 题型三 应用基本不等式解实际应用问题 【例 3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购面粉每次需支付运费 900 元. (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才
5、能使. 0402acba用)； (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210 吨时，其价格可享受 9 折优惠(即原价的 90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由. 【解析】(1)设该厂 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨，面粉的保管等其他费用为 36x6(x1)6 26 19x(x1). 设平均每天所支付的总费用为 y1，则 y11x9x(x1)9006 1 800900 x9x10 809210 80910 989， 当且仅当 9x900 x，即 x10 时，取等号. 即该厂应 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)若厂家利用此优惠条件，
6、 则至少应 35 天购买一次面粉， 设该厂利用此优惠条件后， 每 x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为 y2，则 y21x9x(x1)9006 1 800 0.9900 x9x9 729(x35). 因为 y29900 x2，当 x35 时，y20. 所以 y2900 x9x9 729 在35，)上是增函数. 所以 x35 时，y2 取最小值70 4887. 由70 488710 989 知，该厂可以利用此优惠条件. 【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.
7、 【变式训练 3】已知 a0，b0，且 2ab1，求 S2 ab4a2b2 的最大值. 【解析】因为 a0，b0,2ab1， 所以 4a2b2(2ab)24ab14ab， xx9900且 12ab2 2ab，即 ab24，ab18. 所以 S2 ab4a2b22 ab(14ab)2 ab4ab1212， 当且仅当 a14，b12时，等号成立. 总结提高总结提高 1.基本不等式的几种常见变形公式： ab(ab2)2a2b22(a，bR)； 2abab abab2a2b22(a0，b0). 注意不等式成立的条件及等号成立的条件. 2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立. 3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.