1、9.2 双曲线双曲线 典例精析典例精析 题型一 双曲线的定义与标准方程 【例 1】已知动圆 E 与圆 A：(x4)2y22 外切，与圆 B：(x4)2y22 内切，求动圆圆心 E 的轨迹方程. 【解析】设动圆 E 的半径为 r，则由已知|AE|r 2，|BE|r 2， 所以|AE|BE|2 2，又 A(4,0)，B(4,0)，所以|AB|8,2 2|AB|. 根据双曲线定义知，点 E 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支. 因为 a 2，c4，所以 b2c2a214， 故点 E 的轨迹方程是x22y2141(x 2). 【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出 E 点满足的几何条
2、件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支. 【变式训练 1】P 为双曲线x29y2161 的右支上一点，M，N 分别是圆(x5)2y24 和 (x5)2y21 上的点，则|PM|PN|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选 D. 题型二 双曲线几何性质的运用 【例 2】双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q(2a,0)，若 C 上存在一点 P，使0，求此双曲线离心率的取值范围. 【解析】设 P(x，y)，则由0，得 APPQ，则 P 在以 AQ 为直径的圆上， 即 (x3a2)2y2(a2)2， PQAPPQAP又
3、P 在双曲线上，得x2a2y2b21， 由消去 y，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20， 即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0， 当 xa 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去； 当 x2a3ab2a2b2时，满足题意的点 P 存在，需 x2a3ab2a2b2a， 化简得 a22b2，即 3a22c2，ca62， 所以离心率的取值范围是(1，62). 【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法. 【变式训练 2】设离心率为 e 的双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，且斜率为 k，则直线
4、 l 与双曲线 C的左、右两支都相交的充要条件是( ) A.k2e21 B.k2e21 C.e2k21 D.e2k21 【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率 k 只需满足bakba，即 k2b2a2c2a2a2e21，故选 C. 题型三 有关双曲线的综合问题 【例 3】(2013 广东模拟)已知双曲线x22y21 的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程； (2)若过点 H(0，h)(h1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点，且 l1l2，求
5、 h 的值. 【解析】(1)由题意知|x1| 2，A1( 2，0)，A2( 2，0)，则有 直线 A1P 的方程为 yy1x1 2(x 2)， 直线 A2Q 的方程为 yy1x1 2(x 2). 方法一：联立解得交点坐标为 x2x1，y2y1x1，即 x12x，y12yx， 则 x0，|x| 2. 而点 P(x1，y1)在双曲线x22y21 上，所以x2 12y2 11. 将代入上式，整理得所求轨迹 E 的方程为x22y21，x0 且 x 2. 方法二：设点 M(x，y)是 A1P 与 A2Q 的交点， 得 y2y2 1x2 12(x22). 又点 P(x1，y1)在双曲线上，因此x2 12y
6、2 11，即 y2 1x2 121. 代入式整理得x22y21. 因为点 P，Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点 A1，A2 均不重合.故点 A1 和 A2 均不在轨迹 E 上.过点(0,1)及 A2( 2，0)的直线 l 的方程为 x 2y 20. 解方程组得 x 2，y0.所以直线 l 与双曲线只有唯一交点 A2. 故轨迹 E 不过点(0,1).同理轨迹 E 也不过点(0，1). 综上分析，轨迹 E 的方程为x22y21，x0 且 x 2. (2)设过点 H(0，h)的直线为 ykxh(h1)， 联立x22y21 得(12k2)x24khx2h220. 令 16k2h24(12k2)(
7、2h22)0，得 h212k20， 解得 k1h212，k2h212. 由于 l1l2，则 k1k2h2121，故 h 3. 12, 02222yxyx过点 A1， A2 分别引直线 l1， l2 通过 y 轴上的点 H(0，h)，且使 l1l2，因此 A1HA2H， 由h2 (h2)1，得 h 2. 此时，l1，l2 的方程分别为 yx 2与 yx 2， 它们与轨迹 E 分别仅有一个交点(23，2 23)与(23，2 23). 所以，符合条件的 h 的值为 3或 2. 【变式训练 3】双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e，过F2 的直线与双曲线的
8、右支交于 A， B 两点， 若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2 等于( ) A.12 2 B.32 2 C.42 2 D.52 2 【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解. 据题意设|AF1|x，则|AB|x，|BF1| 2x. 由双曲线定义有|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a (|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)( 21)xx4a，即 x2 2a|AF1|. 故在 RtAF1F2 中可求得|AF2|F1F2|2|AF1|2 4c28a2. 又由定义可得|AF2|AF1|2a2 2a2a，即4c28a22 22a， 两边平方整理得 c2a2(
9、52 2)c2a2e252 2，故选 D. 总结提高 1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c 的关系、渐近线等. 2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P 的轨迹是双曲线；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P 的轨迹是以 F1 或 F2 为端点的射线；当 |PF1|PF2|2a|F1F2|时，P 无轨迹. 3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题： (1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线 ybax， 可将双曲线方程设为x2a2y2b2(0)，再利用其他条件确定 的值，求法的实质是待定系数法.