1、（新高考）2021届高考考前冲刺数学试卷（三）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2已知命题，则是（ ）
2、A，B，C，D，3若，则的值为（ ）ABCD4已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD5若存在复数同时满足，则实数的取值范围是（ ）ABCD6如图，在等边中，向量在向量上的投影向量为（ ）ABCD7设数列为等差数列，为数列的前项和，若，则的最大值为（ ）ABCD8若，则的最小值是（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9设，则下列结论错误的是（ ）ABCD10已知的内角所对边的长分别为，若满足条件的有两个，则的值可以是（ ）ABCD11为响应政府部门疫情防控号召某红十字会安排甲乙丙
3、丁4名志愿者分别奔赴，三地参加防控工作，下列选项正确的是（ ）A若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法B共有64种不同的安排方法C若甲乙两人不能去地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法D若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法12已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）ABCD第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为_14设的展开式中项的系数为_
4、15已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B，则线段的中点M的轨迹长度为_16已知等边三角形的边长为2，点，分别在边，上，且，将沿折起，则四棱锥的体积的最大值为_，此时四棱锥的外接球的表面积为_四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的各项均为正数，且，求数列的前项和18（12分）已知锐角的内角所对的边分别，角（1）若是的平分线，交于，且，求的最小值；（2）若的外接圆的圆心是，半径是1，求的取值范围19（12分）已知平面四边形中，现将沿折起，使得点移至点的位置(如图)，且（1）求证：
5、；（2）若满足，且二面角的余弦值为，求20（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行每一列每一个粗线宫()内的数字均含19，不重复数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛（1）赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如表的数据：(天)1234567(秒)990990450320300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过100天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？参考数据(其中)参考公式：对于一组数
6、据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率21（12分）已知函数（1）若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（2）若，证明：22（12分）已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，右顶点为，过点的直线与轴正半轴交于点，与椭圆交于点，且轴，过点的另一直线与椭圆交于，两点，若，求直线的方程（新高考）2021届高考考前冲刺数学试卷（三
7、）答 案注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】A【解析】，因此，故选A2【答案】C【解析】由特称命题的否定可知为：，故选C3
8、【答案】A【解析】因为，所以，故选A4【答案】B【解析】当，即时，即，又，无解；当，即时，又，故选B5【答案】C【解析】由题意可设，则有，又因为，即，所以，可设，（为任意角），则，当时取到最大值；当时取到最小值，所以实数的取值范围是，故选C6【答案】D【解析】由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，则，则向量在向量上的投影向量为：，故选D7【答案】D【解析】可将此题看成关于和的线性规划问题，根据题意可知化简为，求的最大值，将其转化为，求的最大值问题，作图，由，得，平移直线，由图可知，当直线过点时，有最大值，即的最大值为，故选D8【答案】D【解析】由，得，则表示曲线上的点与直线上的点之间距
9、离的平方，令，得，又，在处的切线方程为，曲线上的点与直线上的点之间距离的最小值即为直线与之间的距离，故选D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9【答案】BD【解析】对于A，（当且仅当，即时取等号），A正确；对于B，当时，令，在上单调递增，即，B错误；对于C，当时，则，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，当时，此时，D错误，故选BD10【答案】BC【解析】在中，由余弦定理，得，即，依题意，关于c的一元二次方程有两个不等的正根，所以，并且，而，则，取或，选项B，C符合条件，故选BC11【答案】
10、AD【解析】对于A，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有种选取方法，A正确；对于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，B错误；对于C，根据题意，需要将4人分为3组，若甲乙在同一组，有1种分组方法，则甲乙所在的组不能去地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有种情况，此时有种安排方法；若甲乙不在同一组，有种分组方法，若甲乙两人不能去地，只能安排没有甲乙的1组去地，甲乙所在的两组安排到、两地，有种情况，此时有种安排方法，则一共有种安排方法，C错误；对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就
11、可以将20辆救护车分为3组，依次对应，三地即可，有种安排方法，故选AD12【答案】ABC【解析】因为偶函数对于任意的满足，所以构造函数，则，为偶函数且在上单调递增，由函数单调性可知，即，对于AB，故AB错误；对于C，故C错误；对于D，即，故D正确，故选ABC第卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【解析】3个班分5个名额，每班至少一个有2种情况：一个班分3个，其余各分1个；2个班各分2个，另一个班分一个，则分配的总数为，甲班恰好分配到两个名额，则余下的3个名额要分配给乙、丙两班，有2种分配方法，所以甲班恰好分配到两个名额的概率为，故答案为14【答案】800【解析】由题
12、意，因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，所以的展开式中的项的系数是，故答案为80015【答案】【解析】当直线的斜率不存在时，当直线的斜率存在时，设，联立，消去并整理得，设、，则，设，则，即，所以，即，代入，得，化简得，点也满足此方程，所以线段的中点M的轨迹方程为，轨迹为圆心为，半径为的圆，其长度为，故答案为16【答案】，【解析】（1）设，分别为，的中点，则，其中记，则，令，得，此时，所以四棱锥的体积的最大值为（2）设，分别为，等腰梯形的外接圆的圆心，则为的三等分点（靠），在直线上设过，分别与，等腰梯形垂直的直线交于点（四棱锥的外接球的球心），连接，由（1）知，等腰梯形中，则在线段的
13、延长线上，设，由，得，即，解得，则所以四棱锥的外接球的表面积故答案为，四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，；当时，满足，综上所述，（2）设等差数列的公差为，因为，所以，则，故，故18【答案】（1）；（2）【解析】（1）由是的平分线，得，又，即，化简得，当且仅当，即，时，取（2），锐角，19【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：由题意知，即，即，平面，平面，平面，（2）解：过点作交于，以为原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，平面轴，平面
14、的一个法向量为，二面角的余弦值为，化简得，解得或，20【答案】（1）回归方程为，经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒；（2）【解析】（1）由题意，令，设关于的线性回归方程为，则，则，又，关于的回归方程为，故时，经过100天训练后，每天解题的平均速度约为140秒（2）设比赛再继续进行局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负当时，小明胜，；当时，小明胜，；当时，小明胜，小明最终赢得比赛的概率为21【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），若在区间上为单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立令函数，则，当时，在上为单调递减函数，即的取值范围为（2）当时，欲证，即证明令，则，设，则为增函数，又，存在，使得，当时，；当时，在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数，则，；，则22【答案】（1）；（2），【解析】（1）根据题意可得，解得，所以椭圆的方程为（2）由（1）知，因为轴，所以，因为在轴的正半轴，所以在轴上方，因为点在椭圆上，所以，解得，所以，即，因为，即，解得，所以，所以，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，即，由，解得，所以直线的方程为，；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不合题意，综上可得，直线的方程为，