1、（新高考）小题必练8：圆锥曲线1了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质3了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系1【2020全国卷理科】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴，若的斜率为，则的离心率为 2【2019全国卷理科】已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点若，则的方程为（ ）ABCD一、单选题1已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点，若，则的渐近线方程
2、是（ ）ABCD2过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，直线（是坐标原点）交的左支于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD3已知双曲线的左、右顶点分别为，是上一点，且为等腰三角形，其外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD4过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于，两点，若，为坐标原点，则（ ）ABCD5已知，分别是双曲线的上、下焦点，是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（ ）ABCD6已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点相同，过点分别作两条直线，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为（ ）ABCD7过抛物线的焦点作直线，交
3、抛物线于点，交抛物线的准线于点，若，则直线的斜率为（ ）ABCD8已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点若，则的方程为（ ）ABCD二、多选题9已知曲线（ ）A若，则是椭圆，其焦点在轴上B若，则是圆，其半径为C若，则是双曲线，其渐近线方程为D若，则是两条直线10当时，方程表示的轨迹可以是（ ）A两条直线B圆C椭圆D双曲线11已知，分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）A双曲线的渐近线方程为B以为直径的圆的方程为C到双曲线的一条渐近线的距离为D的面积为12已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结
4、论正确的是（ ）AB为等腰直角三角形C直线的斜率为D线段的长为三、填空题13过抛物线焦点的直线与该抛物线相交于，两点，点是的中点，则的值为_14已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_15已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上关于轴对称的两点，的中点恰好落在轴上，若，则椭圆的离心率的值为_16能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组，的值是_答案与解析1【答案】2【解析】由题可知点的坐标为，所以，且，代入并化简可得解得或（舍弃）【点睛】主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识点2【答案】B【解析】由椭圆的焦点为，可知，又，可设，则，根据椭圆的定义可知，得，所以，可知，根
5、据相似可得代入椭圆的标准方程，得，椭圆的方程为【点睛】利用椭圆的定义及标准方程运算求解一、单选题1【答案】A【解析】设三角形的内切圆的圆心为，在第一象限，如图所示作交于，交于，连接，则，根据双曲线的定义可知，而，所以，即，结合，得，所以双曲线的渐近线方程为，故选A2【答案】C【解析】设左焦点为因为直线交的左支于点，所以，两点关于原点对称，连接，因为，且，所以四边形为矩形因为，所以令，则，在中，即，解得，在中，即，解得，故选C3【答案】C【解析】解法一：不妨设在第一象限，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能令，则，由正弦定理可得，所以，则，则，即又点在双曲线上，所以，解得，则，则，故选C解法
6、二：不妨设在第一象限，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能令，则，由正弦定理可得，所以，则，即，则，即，根据，得，则，故选C4【答案】A【解析】解法一：由题意，知，准线，作于点，与点，过点作于点，交轴于点，设，则由抛物线的定义，知，由，得，即，解得，所以，故选A解法二：由题意，知，准线，如图，作于点，设直线的方程为，将代入抛物线方程，得，所以由，得，即，所以联立解得，代入抛物线方程，解得由抛物线的定义，知，所以，故选A5【答案】C【解析】设，不妨设点在双曲线的过一、三象限的渐近线上，因此可得，所以，以为直径的圆的方程为，又以为直径的圆经过点，所以由，得，于是，故选C6【答案】C【解析】由双
7、曲线方程知其右焦点坐标为，所以，即，所以抛物线的方程为由题意可设直线的方程为，直线的方程为，则，于是由，消去，得，所以，同理可得因为为抛物线的焦点，所以由抛物线的定义可得，当且仅当时，取得最小值，故选C7【答案】C【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于，抛物线的焦点设直线的方程为，代入抛物线的方程，得设，则，抛物线的准线方程为，则由，得，所以，即，代入，得，则，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，所以直线的斜率为解法二：如图，设点在第一象限，分别过，作抛物线准线的垂线，垂足为，由，得为的中点设，则，根据抛物线的定义得，所以，在中，所以，即直线的斜率为，当点在第一象限时可得直线的斜率
8、为综上，直线的斜率为8【答案】B【解析】由题意设椭圆的方程为，连接，令，则，由椭圆的定义知，得，故，则点为椭圆的上顶点或下顶点令（为坐标原点），则在等腰三角形中，所以，得又，所以，题意的方程为，故选B二、多选题9【答案】ACD【解析】对于选项A，方程可变形为，该方程表示焦点在轴上的椭圆，正确；对于选项B，方程可变形为，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，该方程表示双曲线，令，正确；对于选项D，方程变形为，该方程表示两条直线，正确，综上选ACD10【答案】ACD【解析】将分为，三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程化为，表示两条直线；当时，方
9、程可化为，表示焦点在轴上的双曲线，所以曲线不可能表示圆，故选ACD11【答案】ACD【解析】A代入双曲线渐近线方程得，正确；B由题意得，则以为直径的圆的方程，不是，错误；C，渐近线方程为，距离为，正确；D由题意得，设，根据，解得，则的面积为，正确，故选ACD12【答案】ACD【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点，准线方程为，由题意可得直线的斜率不为，由题意设直线的方程为，设，由题意可知，将直线与抛物线联立整理得，A中，因为，所以，即，所以A正确；B中，由A正确，不可能，更不会或为直角，所以B不正确；C中，因为，所以，即，所以，解得，所以直线的斜率为，所以C正确；D中，由题意可得弦长，所以D正确，故选ACD三、填空题13【答案】【解析】由抛物线方程知，设，则，所以由抛物线的定义知14【答案】【解析】因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为15【答案】【解析】设，因为的中点在轴上，所以，解得，所以点，三点共线因为，所以，所以垂直平分，所以又由椭圆的对称性，知，所以为等边三角形因为，所以由，得，所以由椭圆的定义，知，即，所以16【答案】(答案不唯一，满足要求即可)【解析】当且，时，方程表示的曲线为圆，取，则(答案不唯一，满足要求即可)