1、 1函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f x的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值12,x x 当12xx时， 都有 12f xf x，那么就说函数 f x在区间D上是增函数 当12xx时， 都有 12f xf x，那么就说函数 f x在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数 yf x在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数 yf x在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做 yf x的单调区间 2函数的最值 前提 设函数 yf x的定义域为I，如果存在实数M
2、满足 条件 （1）对于任意的xI，都有 f xM； （2） 存在0 xI， 使得0f xM （3）对于任意的xI，都有 f xM； （4） 存在0 xI， 使得0f xM 结论 M为最大值 M为最小值 3函数单调性的常用结论 （1）对 12121212,0f xf xx xD xxf xxx在D上是增函数； 12120f xf xf xxx在D上是减函数 （2）对勾函数(0)ayxax的增区间为,a 和,a，减区间为,0a和0, a （新高考）小题必练（新高考）小题必练 1 12 2：基本初等函数：基本初等函数 （3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数 （4）函数(
3、 )f g x的单调性与函数 yf u和 ug x的单调性的关系是“同增异减” 4函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数 f x的定义域内任意一个x，都有 fxf x，那么函数 f x就叫做偶函数 关于 y 对称 奇函数 一般地，如果对于函数 f x的定义域内任意一个x，都有 fxf x ，那么函数 f x就叫做奇函数 关于原点对称 5周期性 （1）周期函数：对于函数 yf x，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f x Tf x，那么就称函数 yf x为周期函数，称T为这个函数的周期 （2）最小正周期：如果在周期函数 f x的所有周期中存在
4、一个最小的正数，那么这个正数就叫做 f x的最小正周期 6函数奇偶性常用结论 （1）如果函数 f x是偶函数，那么 f xfx （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 （3）在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇 7函数周期性常用结论 对 f x定义域内任一自变量的值x： （1）若 f xaf x，则2 (0)Ta a （2）若 1f xaf x，则2 (0)Ta a （3）若 1f xaf x ，则2 (0)Ta a 1 【2020 天津 9】已知函数 3,0,0 xxf xx x，若函数 22g xf xkxx kR恰有4
5、个零点，则k的取值范围是（ ） A1,2 2,2 U B1,0,2 22 U C,00,2 2U D,02 2,U 2 【2020 北京卷 14】若函数 sincosf xxx的最大值为2，则常数的一个取值为 一、单选题 1函数 22log23f xxx的定义域是（ ） A3,1 B3,1 C , 31, U D , 31, U 2设3log 2a ，ln2b，12c ，则（ ） Aabc Bbca Ccab Dcba 3当1a 时，函数logayx和1ya x的图象只能是（ ） A B C D 4已知0 312a，12log 0.3b ，21log2c ，则a，b，c的大小关系是（ ） Aa
6、bc Bcab Cacb Dbca 5已知函数 yf x与xye互为反函数，函数 yg x的图象与 yf x的图象关于x轴对称， 若 1g a ，则实数a的值为（ ） Ae B1e Ce D1e 6若2510ab，则11ab（ ） A12 B1 C32 D2 7已知 f x是定义在R上的奇函数，且 2fxfx，若 13f，则 123fffL2018f（ ） A3 B0 C3 D2018 8已知ln22a ，ln33b ，lnc ，则a，b，c的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cacb Dbca 9函数 11ln11xexf xxx，若函数 g xf xxa 只一个零点，则a的取值范围是（
7、 ） A ,02U B0,)2U C,0 D0,) 二、多选题 10设函数 331f xxx，则 f x（ ） A是奇函数，且在0,单调递增 B是奇函数，且在,0单调递增 C是偶函数，且在0,单调递增 D是偶函数，且在0,单调递减 11已知函数 1sinsinf xxx，则（ ） A f x的最小值为2 B f x的图像关于0,0中心对称 C f x的图像关于直线x对称 D f x的图像关于直线2x 对称 三、填空题 12已知0a ，且1a ，函数log232ayx的图象恒过点P，若P在幂函数图像上， 则 8f_ 13 【2018 北京卷理 13】能说明“若 0f xf对任意的0,2x都成立，
8、则 f x在0,2上是增函数” 为假命题的一个函数是 14 【2020 全国 3 卷理 16】关于函数 1sinsinf xxx有如下四个命题： f x的图像关于y轴对称； f x的图像关于原点对称； f x的图像关于直线2x 对称； f x的最小值为2 其中所有真命题的序号是_ 1 【答案】D 【解析】根据题意，转化题意为22)(2kxxxkxxxf的交点， 2,0( )1,0 xxf xxx在)0 , 0(有一个交点，如图所示： 在0k与右侧相切是为临界值，此时经过计算22k；当0k时，根据图像翻折都可以 【点睛】通过分离，再数形结合 2 【答案】2（答案不唯一，满足2 ,2mmZ即可）
9、【解析】法一：( )sin()cosf xxx取最大值 2 时，sin()x与cosx同时取最大值 1， 此时2 ,2xkkZ，且2 ,xnnZ，易知2 ,2mmZ， 答案答案与解析与解析 答案不唯一，可取2 法二： ( )sin()cossin coscos sincossin coscossin1f xxxxxxxx22cossin1sin x， 取最大值 2 时，22cossin12，化简得sin1，则2 ,2mmZ， 答案不唯一，可取2 【点睛】由( )sin()cosf xxx最大值为 2，只可能sin()x与cosx同时取 1， 则可以求出满足的要求 一、单选题 1 【答案】D 【
10、解析】函数 22log23f xxx，2230 xx， 即310 xx，解得3x或1x ， 函数 f x的定义域为31x xx 或，故选 D 2 【答案】C 【解析】由题意，3lg2lg2log 2ln2lg3lgeab， 又由331log 2log32a ，cab，故选 C 3 【答案】B 【解析】由于0a 且1a ，可得：当1a 时，logayx为过点1,0的增函数， 10a，函数1ya x为减函数，故选 B 4 【答案】B 【解析】0 310,12a，11221log 0.3log12b ，21log12c ， cab，故选 B 5 【答案】D 【解析】函数 yf x与xye互为反函数，
11、函数 lnf xx， 函数 yg x的图象与 yf x的图象关于x轴对称，函数 lng xx， 1g a ，即ln1a，1ae，故选 D 6 【答案】B 【解析】2510ab，2log 10a ，5log 10b ， 101010251111log2log 5log2 51log 10log 10ab，故选 B 7 【答案】C 【解析】 f x为, 的奇函数， fxf x 且 00f， 又由 2fxf x， 244f xf xf xf x ， f x是周期为 4 的函数， 又 13f， 22200fff， 33 4113ffff， 400ff， 12340ffff， 1232018123fff
12、fffL， 故选 C 8 【答案】C 【解析】 ln xf xx， 21 ln xfxx， 当0 xe， 0fx；当xe， 0fx， 函数在0,e上增函数，在, e 上减函数，cb，ab，故选 C 9 【答案】A 【解析】 g xf xxa 只有一个零点， yf x与yxa只有一个交点， 作出函数 yf x与yxa的图像，yxa与11xyex只有一个交点， 则0a ，即0a，ln11yxx与yxa只有一个交点，它们则相切， 11yx ，令111x，则2x，故切点为2,0， 02a，即2a ， 综上所述，a的取值范围为 ,02U，故选 A 二、多选题 10 【答案】AB 【解析】3yx在0,上为
13、单调递增函数，则31yx在0,上为单调递减函数， 结论：增函数-减函数=增函数，所以331( )f xxx在0,上为单调递增函数 11 【答案】BD 【解析】由于)22(f ，A 错误； 11(sin)( )sin()si(n)sin()xfxxxxfx 为奇函数，B 正确； )()fxfx不成立，C 错误； )()22(fxfx在定义域上恒成立，则 D 正确 三、填空题 12 【答案】2 2 【解析】log 10a，23 1x ，即2x时，2y ， 点P的坐标是2, 2P 由题意令 ayf xx，由于图象过点2, 2P，得22a，12a ， 12yf xx， 12882 2f，故答案为2 2 13 【答案】 2 , 01,12xxf xxx 【解析】函数的单调性，答案不唯一 14 【答案】 【解析】对于，由sin0 x 知函数定义域为 |,x xkkZ，定义域关于原点对称， 11sinsinsinsinfxxxf xxx Q，该函数为奇函数关于原点对称， 故错，为正确； 对于，由 11sin sinsin sinfxxxf xxx，所以 f x关于2x 对称， 正确； 对于，令sintx，则 1,00,1t U， 由 1g ttt 可知 , 11,g t U，所以 f x无最小值，错误， 综上所述，真命题的序号是