1、 例 1已知函数 122lnxef xaxaxxR （1）若1a ，求 f x的单调区间； （2）若 f x在0,2上有两个极值点1x，2x 12xx （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：121x x 【答案】 （1）递减区间0,2，递增区间为2,； （2） （i）12ea， （ii）证明见解析 【解析】 （1） 1320 xxexfxxx， 令 10 xg xex x， 11xgxe， 因为0 x，11xee， 所以当0,1x时， 0gx， g x单调递减； 所以当1,x时， 0g x， g x单调递增， 所以 0110g xge ， 所以当0,2x时， 0fx；当2,x时， 0fx，
2、 f x的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2, （2） （i） 1320 xxeaxfxxx， 要使 f x在0,2上有两个极值点1x，2x， 则 1xg xeax在0,2上有两个不同的零点， 1a 时，由（1）知， 11xxg xeaxex， 令 1xS xex，故 110 xSxe ，所以 S x在0,2上为增函数， 优优 选选 例例 题题 导数极值点偏移 大题优练大题优练 1 13 3 所以 00S xS，故 0g x ，故 g x在0,2上无零点，舍去； 当ae时，0,2xQ，11,xeee， 10 xg xea， 则 g x在0,2上单调递减 ，故 g x最多只有一个零点，不合题
3、意，舍去； 当1ae时，由（1）知所以 g x在0,ln1a上单调递减，在ln1,2a上单调递增， 所以 minln1lng xgaaa， 即要使 100ln1ln0220gegaaagea ，解得12ea， 综上所述，a的取值范围为12ea （ii）由（i）知， 120g xg x，120ln12xax ， 即121112xxeaxeax，故11221lnln1lnlnxaxxax ， 所以121 222lnlnxxax x ， 要证121x x ，只要证1222ln0 xxa ，就要证2122lnxax， 由上可知 g x在ln1,a 上单调递增， 所以只要证2122lng xgax，而
4、21g xg x， 所以只要证 1122lng xgax， （*） 令 22ln0ln1h xg xgaxxa， 即 2 2ln1221lnxa xh xeeaxaae， 所以 2 2ln2 2ln112220 xa xxa xh xeeaeeaee， 故 h x在0,ln1a上单调递增， 所以当0,ln1xa时， 1 ln0h xha， 即 22ln0g xgax， 1122ln0g xgax，即（*）式成立， 所以121x x 得证 例 2已知函数 2ln4f xxaxa，aR （1）讨论函数 f x的单调性； （2）令 sing xf xx，若存在12,0,x x ，且12xx时， 12
5、g xg x，证明：212x xa 【答案】 （1）答案见解析； （2）证明见解析 【解析】 （1） f x的定义域为0,， 22axafxxx， 当0a时， 0fx， 当0a 时，由 0fx，得2ax ；由 0fx，得02ax， 当0a时， f x在0,上单调递增； 当0a 时， f x在0,2a上单调递减，在,2a单调递增 （2） 2lnsin4g xxaxxa， 12g xg x，由题意知1112222lnsin2lnsinxaxxxaxx， 121212lnln2sinsinaxxxxxx， 令 sinh xxx，则 1 cos0h xx ， h x在0,上单调递增， 不妨设120 x
6、x， 12h xh x，1122sinsinxxxx，1221sinsinxxxx， 12121221122sinsin2xxxxxxxxxx， 1212lnlnaxxxx，1212lnlnxxaxx， 令121xtxt，只需证t1lntt，只需证t 1ln0tt， 设 1ln1tm tt tt，则 2102tm tt t， m t在1,递增， 10m tm，即121212lnlnxxx xxx成立， 12ax x，即212x xa 1已知函数21( )ln2f xxxkxx，( )lng xxkx （1）当1k 时，求( )g x的最大值； （2）当10ke时， （i）判断函数( )g x的
7、零点个数； （ii）求证：( )f x有两个极值点12,x x，且 12121f xf xxx 【答案】 （1）1； （2）两个；证明见解析 【解析】( )g x定义域为(0,)，11( )kxg xkxx 当0k 时，令( )0g x，得10 xk；令( )0g x，得1xk， 故( )g x在10,k上单调递增，在1,k上单调递减 （1）当1k 时，( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 所以max( )(1)1g xg （2） （i）( )g xQ在10,k上单调递增，在1,k上单调递减， ( )g x至多有两个零点 11ln10gkk Q，(1)0gk ，( )g
8、x在11,k上有一个零点； 由（1）可证ln1 0 xx ，lnxx， 从而224442424ln2ln20gkkkkkkk， 又10gkQ，( )g x在214,k k上有一个零点， 综上，函数( )g x有两个零点 模 拟模 拟 优 练优 练 （ii）( )f x的定义域为(0,)，( )ln11ln( )fxxkxxkxg x 由（i）知( )g x有两个零点， 设为12,x x，且1210 xxk，且11lnxkx，22lnxkx， 又( )g xQ在10,k上单调递增，在1,k上单调递减 当10 xx或2xx时，( )0g x；当12xxx时，( )0g x， ( )f x在10,x
9、上单调递减，在12,x x上单调递增，在2,x 上单调递减， 故12,x x为( )f x的两个极值点 1111111111ln1lnln1ln1222f xxkxxxxx ，同理2221ln12f xxx， 欲证 121212lnln212f xf xxxxx ，即证12lnln2xx 11ln xkxQ，22lnxkx，21212121lnlnlnlnxxk xxxxk xx， 21212121lnlnlnlnxxxxxxxx，221122121221111lnlnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxx， 令211xtx，即证1ln21ttt，即证21ln01ttt 记2(1)( )l
10、n1th ttt，22214(1)( )0(1)(1)th tttt t， ( )h t在(1,)上单调递增，故( )(1)0h th， 命题得证 2已知函数 211ln ,2f xxa xax aR （1）若 f x存在极值点 1，求a的值； （2）若 f x存在两个不同的零点12,x x，求证：122xx 【答案】 （1）1a ； （2）证明见解析 【解析】 （1） 1afxxax ， 因为 f x存在极值点为 1，所以 10f ，即2 20a，1a ， 经检验符合题意，所以1a （2） 111(0)aafxxaxxxx ， 当0a时， 0fx恒成立，所以 f x在0,上为增函数，不符合题
11、意； 当0a 时，由 0fx，得xa 当xa时， 0fx，所以 f x为增函数； 当0 xa时， 0fx，所 f x为减函数， 所以当xa时， f x取得极小值 f a， 又因为 f x存在两个不同零点12,x x，所以 0f a ， 即211ln02aa aa a，整理得1ln12aa ， 作 yf x关于直线xa的对称曲线 2g xfax， 令 2222lnaxh xg xf xfaxf xaxax， 2222222202aah xax xxaa ， 所以 h x在0,2a上单调递增， 不妨设122xaxa，则 20h xh a， 即 22212g xfaxf xf x， 又因为220,a
12、xa，10,xa，且 f x在0,a上为减函数， 故212axx，即122xxa， 又1ln12aa ，易知1a 成立，故122xx 3设函数( )xxf xe， xg xaex，其中a为实数 （1）求 f x的单调区间； （2）若 g x有两个零点1x，212()x xx，证明：1201x x 【答案】 （1）( )f x的单调递增区间为(,1)，单调递减区间为(1,)； （2）证明见解析 【解析】 （1）由题设可知，( )f x的定义域为R，1( )xxfxe， 令( )0fx，解得1x 当1x时，( )0fx，( )f x单调递增；当1x 时，( )0fx，( )f x单调递减， 所以(
13、 )f x的单调递增区间为(,1)，( )f x的单调递减区间为(1,) （2）函数( )g x有两个零点12,x x等价于方程xxae有两个不等实根12,x x， 也等价于函数ya与( )yf x的图象有两个交点 由（1）可知，( )f x在(,1)递增，在(1,)递减 且当0 x时，( )0f x ；当0 x时，( )0f x ， 故1201xx ，所以120 x x 欲证121x x ，只需证121xx， 因为121,(0,1)xx，故只需证121()()f xfx， 又12( )()f xf x，故只需证明221()()f xfx，即证222211xxxxee，即221221xxxee
14、x， 两边取对数可得22221lnlnxxxx ，即只需证明22212ln0 xxx 设1( )2lnh xxxx，其中1x ，则22221(1)( )10 xh xxxx ， 所以( )h x在(1,)递减， 又(1)0h，所以( )0h x ，所以1201x x 4已知函数( )ln ( ,)mxnf xx m nxR （1）若函数( )f x在(1, (1)f处的切线与直线0 xy平行，求实数n的值； （2）若1n 时，函数 f x恰有两个零点1212,0 x xxx，证明：122xx 【答案】 （1）2n； （2）证明见解析 【解析】 （1）因为21( )nfxxx， 111fn ，所
15、以2n （2）当1n 时，l(n1)mxfxxx， 由题意知1112221ln01ln0mxxxmxxx ，得212112lnlnxxx xxx，即222121lnxxxxx， 令21xtx，则21xtx，且1t ， 又因为12111(1)xxxtxt x，由知11lntttx， 所以1ln1(1)ttxtt， 要证122xx，只需证1(ln1)2tttt， 即证22 n1lttt，即12ln0ttt， 令1( )2(ln1)h ttttt ，则22(1)( )0th tt， 所以 h t在1,上单调递增且 10h， 所以当(1,)t时， 0h t ，即122xx 5已知 lnf xxmmx
16、（1）求 f x的单调区间； （2）设1m，1x，2x为函数 f x的两个零点，求证：120 xx 【答案】 （1）见解析； （2）证明见解析 【解析】 （1） lnf xxmmxQ， 1fxmxm， 当0m时， 10fxmxm， 即 f x的单调递增区间为,m，无减区间； 当0m时， 11m xmmfxmxmxm， 由 0fx，得1,xmmm ， 1,xmmm 时， 0fx；1,xmm 时， 0fx， 0m时，易知 f x的单调递增区间为1,mmm，单调递减区间为1,mm （2）由（1）知 f x的单调递增区间为1,mmm，单调递减区间为1,mm 不妨设12mxx，由条件知1122lnlnx
17、mmxxmmx，即1212mxmxxmexme， 构造函数 mxg xex， mxg xex与ym图象两交点的横坐标为1x，2x， 由 10mxg xe ，可得ln0mxm， 而2ln (1)mm m，ln,mmm ， 知 mxg xex在区间ln,mmm上单调递减，在区间ln,mm上单调递增 可知12lnmmxxm， 欲证120 xx，只需证122lnmxxm，即证212lnln,mmxxmm ， 考虑到 g x在ln,mm上递增，只需证212lnmg xgxm， 由 21g xg x知，只需证112lnmg xgxm， 令 2ln2ln2ln2mxm mxmmh xg xgxexemm，
18、则 2ln2 ln2ln22222220mmxm m mxmxmmxeh xmem em em em me ， 即 h x单增， 又ln0mhm， 结合1lnmmxm，知 10h x，即112lnmg xgxm成立， 即120 xx成立 6已知函数 lnf xx， g xxm （1）若 f xg x恒成立，求m的取值范围； （2）已知1x，2x是函数 F xf xg x的两个零点，且12xx，求证：121x x 【答案】 （1）1m； （2）证明见解析 【解析】 （1）令 ln(0)F xf xg xxxm x ，有 111xFxxx ， 当1x 时， 0Fx；当01x时， 0Fx， 所以 F
19、 x在1,上单调递减，在0,1上单调递增， F x在1x 处取得最大值，为1 m ， 若 f xg x恒成立，则10m ，即1m （2）方法一：120 xxQ，211xx， 1122ln0ln0 xxmxxmQ，2211lnlnxxxx， 即2121lnlnxxxx，21211lnlnxxxx， 欲证：121x x ，只需证明2112211lnlnxxx xxx ，只需证明212112lnlnxxxxx x， 只需证明221112lnxxxxxx 设211xtx，则只需证明12ln,(1)tttt ， 即证：12ln0,(1)tttt 设 12ln(1)H ttttt ， 22212110tH
20、tttt ， H t在1,单调递减， 12ln1 1 10H tH ， 12ln0ttt ，所以原不等式成立 方法二：由（1）可知，若函数 F xf xg x有两个零点，有 10F， 则1m，且1201xx ， 要证121x x ，只需证211xx， 由于 F x在1,上单调递减，从而只需证211F xFx， 由 120F xF x，只需证111111ln0Fmxxx， 又 111ln0F xxxm，11lnmxx， 即证1111111111lnlnln0mxxxxxx， 即证11112ln0 xxx，1(01)x 令 12ln (01)h xxxxx ， 222122110 xxh xxxx ， 有 h x在0,1上单调递增， 10h xh，111112ln0h xxxx ， 所以原不等式121x x 成立