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(新高考)2021届高三大题优练13:导数极值点偏移(教师版)

1、 例 1已知函数 122lnxef xaxaxxR (1)若1a ,求 f x的单调区间; (2)若 f x在0,2上有两个极值点1x,2x 12xx (i)求实数a的取值范围; (ii)求证:121x x 【答案】 (1)递减区间0,2,递增区间为2,; (2) (i)12ea, (ii)证明见解析 【解析】 (1) 1320 xxexfxxx, 令 10 xg xex x, 11xgxe, 因为0 x,11xee, 所以当0,1x时, 0gx, g x单调递减; 所以当1,x时, 0g x, g x单调递增, 所以 0110g xge , 所以当0,2x时, 0fx;当2,x时, 0fx,

2、 f x的单调递减区间为0,2,单调递增区间为2, (2) (i) 1320 xxeaxfxxx, 要使 f x在0,2上有两个极值点1x,2x, 则 1xg xeax在0,2上有两个不同的零点, 1a 时,由(1)知, 11xxg xeaxex, 令 1xS xex,故 110 xSxe ,所以 S x在0,2上为增函数, 优优 选选 例例 题题 导数极值点偏移 大题优练大题优练 1 13 3 所以 00S xS,故 0g x ,故 g x在0,2上无零点,舍去; 当ae时,0,2xQ,11,xeee, 10 xg xea, 则 g x在0,2上单调递减 ,故 g x最多只有一个零点,不合题

3、意,舍去; 当1ae时,由(1)知所以 g x在0,ln1a上单调递减,在ln1,2a上单调递增, 所以 minln1lng xgaaa, 即要使 100ln1ln0220gegaaagea ,解得12ea, 综上所述,a的取值范围为12ea (ii)由(i)知, 120g xg x,120ln12xax , 即121112xxeaxeax,故11221lnln1lnlnxaxxax , 所以121 222lnlnxxax x , 要证121x x ,只要证1222ln0 xxa ,就要证2122lnxax, 由上可知 g x在ln1,a 上单调递增, 所以只要证2122lng xgax,而

4、21g xg x, 所以只要证 1122lng xgax, (*) 令 22ln0ln1h xg xgaxxa, 即 2 2ln1221lnxa xh xeeaxaae, 所以 2 2ln2 2ln112220 xa xxa xh xeeaeeaee, 故 h x在0,ln1a上单调递增, 所以当0,ln1xa时, 1 ln0h xha, 即 22ln0g xgax, 1122ln0g xgax,即(*)式成立, 所以121x x 得证 例 2已知函数 2ln4f xxaxa,aR (1)讨论函数 f x的单调性; (2)令 sing xf xx,若存在12,0,x x ,且12xx时, 12

5、g xg x,证明:212x xa 【答案】 (1)答案见解析; (2)证明见解析 【解析】 (1) f x的定义域为0,, 22axafxxx, 当0a时, 0fx, 当0a 时,由 0fx,得2ax ;由 0fx,得02ax, 当0a时, f x在0,上单调递增; 当0a 时, f x在0,2a上单调递减,在,2a单调递增 (2) 2lnsin4g xxaxxa, 12g xg x,由题意知1112222lnsin2lnsinxaxxxaxx, 121212lnln2sinsinaxxxxxx, 令 sinh xxx,则 1 cos0h xx , h x在0,上单调递增, 不妨设120 x

6、x, 12h xh x,1122sinsinxxxx,1221sinsinxxxx, 12121221122sinsin2xxxxxxxxxx, 1212lnlnaxxxx,1212lnlnxxaxx, 令121xtxt,只需证t1lntt,只需证t 1ln0tt, 设 1ln1tm tt tt,则 2102tm tt t, m t在1,递增, 10m tm,即121212lnlnxxx xxx成立, 12ax x,即212x xa 1已知函数21( )ln2f xxxkxx,( )lng xxkx (1)当1k 时,求( )g x的最大值; (2)当10ke时, (i)判断函数( )g x的

7、零点个数; (ii)求证:( )f x有两个极值点12,x x,且 12121f xf xxx 【答案】 (1)1; (2)两个;证明见解析 【解析】( )g x定义域为(0,),11( )kxg xkxx 当0k 时,令( )0g x,得10 xk;令( )0g x,得1xk, 故( )g x在10,k上单调递增,在1,k上单调递减 (1)当1k 时,( )g x在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减, 所以max( )(1)1g xg (2) (i)( )g xQ在10,k上单调递增,在1,k上单调递减, ( )g x至多有两个零点 11ln10gkk Q,(1)0gk ,( )g

8、x在11,k上有一个零点; 由(1)可证ln1 0 xx ,lnxx, 从而224442424ln2ln20gkkkkkkk, 又10gkQ,( )g x在214,k k上有一个零点, 综上,函数( )g x有两个零点 模 拟模 拟 优 练优 练 (ii)( )f x的定义域为(0,),( )ln11ln( )fxxkxxkxg x 由(i)知( )g x有两个零点, 设为12,x x,且1210 xxk,且11lnxkx,22lnxkx, 又( )g xQ在10,k上单调递增,在1,k上单调递减 当10 xx或2xx时,( )0g x;当12xxx时,( )0g x, ( )f x在10,x

9、上单调递减,在12,x x上单调递增,在2,x 上单调递减, 故12,x x为( )f x的两个极值点 1111111111ln1lnln1ln1222f xxkxxxxx ,同理2221ln12f xxx, 欲证 121212lnln212f xf xxxxx ,即证12lnln2xx 11ln xkxQ,22lnxkx,21212121lnlnlnlnxxk xxxxk xx, 21212121lnlnlnlnxxxxxxxx,221122121221111lnlnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxx, 令211xtx,即证1ln21ttt,即证21ln01ttt 记2(1)( )l

10、n1th ttt,22214(1)( )0(1)(1)th tttt t, ( )h t在(1,)上单调递增,故( )(1)0h th, 命题得证 2已知函数 211ln ,2f xxa xax aR (1)若 f x存在极值点 1,求a的值; (2)若 f x存在两个不同的零点12,x x,求证:122xx 【答案】 (1)1a ; (2)证明见解析 【解析】 (1) 1afxxax , 因为 f x存在极值点为 1,所以 10f ,即2 20a,1a , 经检验符合题意,所以1a (2) 111(0)aafxxaxxxx , 当0a时, 0fx恒成立,所以 f x在0,上为增函数,不符合题

11、意; 当0a 时,由 0fx,得xa 当xa时, 0fx,所以 f x为增函数; 当0 xa时, 0fx,所 f x为减函数, 所以当xa时, f x取得极小值 f a, 又因为 f x存在两个不同零点12,x x,所以 0f a , 即211ln02aa aa a,整理得1ln12aa , 作 yf x关于直线xa的对称曲线 2g xfax, 令 2222lnaxh xg xf xfaxf xaxax, 2222222202aah xax xxaa , 所以 h x在0,2a上单调递增, 不妨设122xaxa,则 20h xh a, 即 22212g xfaxf xf x, 又因为220,a

12、xa,10,xa,且 f x在0,a上为减函数, 故212axx,即122xxa, 又1ln12aa ,易知1a 成立,故122xx 3设函数( )xxf xe, xg xaex,其中a为实数 (1)求 f x的单调区间; (2)若 g x有两个零点1x,212()x xx,证明:1201x x 【答案】 (1)( )f x的单调递增区间为(,1),单调递减区间为(1,); (2)证明见解析 【解析】 (1)由题设可知,( )f x的定义域为R,1( )xxfxe, 令( )0fx,解得1x 当1x时,( )0fx,( )f x单调递增;当1x 时,( )0fx,( )f x单调递减, 所以(

13、 )f x的单调递增区间为(,1),( )f x的单调递减区间为(1,) (2)函数( )g x有两个零点12,x x等价于方程xxae有两个不等实根12,x x, 也等价于函数ya与( )yf x的图象有两个交点 由(1)可知,( )f x在(,1)递增,在(1,)递减 且当0 x时,( )0f x ;当0 x时,( )0f x , 故1201xx ,所以120 x x 欲证121x x ,只需证121xx, 因为121,(0,1)xx,故只需证121()()f xfx, 又12( )()f xf x,故只需证明221()()f xfx,即证222211xxxxee,即221221xxxee

14、x, 两边取对数可得22221lnlnxxxx ,即只需证明22212ln0 xxx 设1( )2lnh xxxx,其中1x ,则22221(1)( )10 xh xxxx , 所以( )h x在(1,)递减, 又(1)0h,所以( )0h x ,所以1201x x 4已知函数( )ln ( ,)mxnf xx m nxR (1)若函数( )f x在(1, (1)f处的切线与直线0 xy平行,求实数n的值; (2)若1n 时,函数 f x恰有两个零点1212,0 x xxx,证明:122xx 【答案】 (1)2n; (2)证明见解析 【解析】 (1)因为21( )nfxxx, 111fn ,所

15、以2n (2)当1n 时,l(n1)mxfxxx, 由题意知1112221ln01ln0mxxxmxxx ,得212112lnlnxxx xxx,即222121lnxxxxx, 令21xtx,则21xtx,且1t , 又因为12111(1)xxxtxt x,由知11lntttx, 所以1ln1(1)ttxtt, 要证122xx,只需证1(ln1)2tttt, 即证22 n1lttt,即12ln0ttt, 令1( )2(ln1)h ttttt ,则22(1)( )0th tt, 所以 h t在1,上单调递增且 10h, 所以当(1,)t时, 0h t ,即122xx 5已知 lnf xxmmx

16、(1)求 f x的单调区间; (2)设1m,1x,2x为函数 f x的两个零点,求证:120 xx 【答案】 (1)见解析; (2)证明见解析 【解析】 (1) lnf xxmmxQ, 1fxmxm, 当0m时, 10fxmxm, 即 f x的单调递增区间为,m,无减区间; 当0m时, 11m xmmfxmxmxm, 由 0fx,得1,xmmm , 1,xmmm 时, 0fx;1,xmm 时, 0fx, 0m时,易知 f x的单调递增区间为1,mmm,单调递减区间为1,mm (2)由(1)知 f x的单调递增区间为1,mmm,单调递减区间为1,mm 不妨设12mxx,由条件知1122lnlnx

17、mmxxmmx,即1212mxmxxmexme, 构造函数 mxg xex, mxg xex与ym图象两交点的横坐标为1x,2x, 由 10mxg xe ,可得ln0mxm, 而2ln (1)mm m,ln,mmm , 知 mxg xex在区间ln,mmm上单调递减,在区间ln,mm上单调递增 可知12lnmmxxm, 欲证120 xx,只需证122lnmxxm,即证212lnln,mmxxmm , 考虑到 g x在ln,mm上递增,只需证212lnmg xgxm, 由 21g xg x知,只需证112lnmg xgxm, 令 2ln2ln2ln2mxm mxmmh xg xgxexemm,

18、则 2ln2 ln2ln22222220mmxm m mxmxmmxeh xmem em em em me , 即 h x单增, 又ln0mhm, 结合1lnmmxm,知 10h x,即112lnmg xgxm成立, 即120 xx成立 6已知函数 lnf xx, g xxm (1)若 f xg x恒成立,求m的取值范围; (2)已知1x,2x是函数 F xf xg x的两个零点,且12xx,求证:121x x 【答案】 (1)1m; (2)证明见解析 【解析】 (1)令 ln(0)F xf xg xxxm x ,有 111xFxxx , 当1x 时, 0Fx;当01x时, 0Fx, 所以 F

19、 x在1,上单调递减,在0,1上单调递增, F x在1x 处取得最大值,为1 m , 若 f xg x恒成立,则10m ,即1m (2)方法一:120 xxQ,211xx, 1122ln0ln0 xxmxxmQ,2211lnlnxxxx, 即2121lnlnxxxx,21211lnlnxxxx, 欲证:121x x ,只需证明2112211lnlnxxx xxx ,只需证明212112lnlnxxxxx x, 只需证明221112lnxxxxxx 设211xtx,则只需证明12ln,(1)tttt , 即证:12ln0,(1)tttt 设 12ln(1)H ttttt , 22212110tH

20、tttt , H t在1,单调递减, 12ln1 1 10H tH , 12ln0ttt ,所以原不等式成立 方法二:由(1)可知,若函数 F xf xg x有两个零点,有 10F, 则1m,且1201xx , 要证121x x ,只需证211xx, 由于 F x在1,上单调递减,从而只需证211F xFx, 由 120F xF x,只需证111111ln0Fmxxx, 又 111ln0F xxxm,11lnmxx, 即证1111111111lnlnln0mxxxxxx, 即证11112ln0 xxx,1(01)x 令 12ln (01)h xxxxx , 222122110 xxh xxxx , 有 h x在0,1上单调递增, 10h xh,111112ln0h xxxx , 所以原不等式121x x 成立