1、立体几何大题优练6优选例题例1已知四边形，现将沿边折起，使得平面平面，点在线段上，平面将三棱锥分成两部分，（1）求证：平面；（2）若为的中点，求到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1），即为等边三角形，由，知为中点，取中点连接，则，平面平面，平面平面，平面，面，又，平面，平面，又，平面（2）为的中点，的边长为，由（1）知平面，又为的中点，到平面的距离为，连接，由（1）知：，由（1）知，平面，面，则，设到平面的距离为，由，得，即，到平面的距离为例2如图，四边形是边长为的正方形，将三角形沿折起使平面平面（1）若为上一点，且满足，求证：；（2）若二面角的余弦值为，求的长【答案】（1
2、）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为面面，面面，面，所以面，又面，所以，又，所以面，又面，所以（2）取中点，连接OP，因为，所以又平面平面，所以平面以为坐标原点，分别以方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有，可得，设为平面的一个法向量，则有，即，不妨令，则；设为平面的一个法向量，则有，即，不妨令，则，因为，可得，解得，所以例3如图，在三棱锥中，（1）证明：；（2）有三个条件；直线与平面所成的角为；二面角的余弦值为请你从中选择一个作为条件，求直线与平面所成的角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）选任何一个，结果均为【解析】（1）取中点，连接，则，又，所以，所以，所以，
3、平面，所以平面，又平面，所以（2）在上取点，使得，连接，由于与是平面内相交直线，所以平面，以为轴建立空间直角坐标系，如图，因此，同理选，则是等边三角形，则，设平面的一个法向量是，则，取，则，即，记直线与平面（即平面）所成的角为，则选，由平面，得是（即）与平面所成的角，所以，以下同选选，作，垂足为，连接，由平面，平面，所以，又，平面，而平面，所以，所以是二面角，即二面角的平面角，已知，则，所以，以下同选模拟优练1在三棱柱中，平面平面，点，分别为、的中点（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题意，为等边三角形且分别为的中点，面面，面，面面，面，而面
4、，即，又，即，又，平面（2）为中点，连接、，则为中位线，由（1）知：面，在中，则，而，若到平面的距离为h，则，即到平面的距离为2如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面，且，所以平面，又因为平面，所以，因为，平面，平面，所以平面（2）如图，取中点，连接，因为平面平面，为等腰直角三角形，所以平面易知三条直线两两垂直，分别以为轴建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为，则，所以，令，得，由（1）知平面，所以平面的法向量为，由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为3如图，在等腰
5、三角形中，满足，将沿直线折起到的位置，连接，得到如图所示的四棱锥，点满足（1）证明：平面；（2）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，在棱上取点满足，连接，且由题意，知且，且，即四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）如图，分别取，的中点，连接，由题意，知，在中，在中，而，又，平面，平面以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则，设平面的一个法向量为，由，得，令，得；设平面的一个法向量为，由，得，令，得，平面与平面所成锐二面角的余弦值为4如图，在四棱锥中，（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值
6、【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，取的中点，连接，四边形为等腰梯形，且，平面，平面，又平面，（2）由（1）知平面，又平面，平面平面平面平面，过点作于点，则平面，为直线与平面所成的角在等边三角形中，易得在中，又，在中，即直线与平面所成角的正弦值为5如图所示的多面体中，平面，平面，且，（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）由平面，知为直线与平面所成角的平面角，即可得（2）在中，即，则，所以，又平面，平面，又，面（3）由（2），以为原点，分别以，为，轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系，在中
7、，知，则，即，设面的一个法向量，则，取，得；设面的一个法向量，则，取，得，又二面角为锐角，二面角的余弦值为6如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，点是的中点（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值；不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）证明：连接，在中，因为，所以因为点是的中点，所以在中，由余弦定理，有，所以，所以在中，满足，所以，又，所以平面（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设，在中，而，得，所以平面的一个法向量为，直线与平面所成角为因为，所以，因为，所以，得，所以或(舍)，所以7如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面，为棱上一点（1）在平面内能否作一条直线与平面垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；（2）若时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）过作，交棱于，为所求作的直线，因为平面平面，且，所以平面，又因为，所以平面（如证明平面、或寻找上任意一点作平行线、垂线都可）（2）取中点，中点，连接，则平面，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系则可得，则，设平面的法向量为，易得，不妨取，因为，所以，所以，设与平面所成角为，则所以与平面所成角的正弦值为