1、 例 1 设椭圆2222:1(0)xyCabab，O为原点， 点(4,0)A是x轴上一定点， 已知椭圆的长轴长等于|OA，离心率为32 （1）求椭圆的方程； （2）直线: l ykxt与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为M，N关于原点O的对称点为N，若点,A M N三点共线，求证：直线l经过定点 【答案】 （1）2214xy； （2）证明见解析 【解析】 （1）由题意得2a，3c ，所以2221bac， 所以椭圆C的方程为2214xy （2）证明：设11,M x y，22,N xy，则11,Mx y ，22,Nxy ， 直线:MNykxt，与椭圆方程联立2214ykxtxy，
2、 得222148440kxktxt， 则122814ktxxk ，2122441 4tx xk，114AMykx，224ANykx 因为点,A M N三点共线，所以AMANkk，即121244yyxx， 所以12211212124404444yxyxyyxxxx， 即 1221440kxtxkxtx， 整理得1 2122(4 )80kx xtkxxt 优优 选选 例例 题题 圆锥曲线定值定点问题 大题优练大题优练 8 8 由122814ktxxk ，2122441 4tx xk，代入 22244824801 41 4tktktktkk，整理得tk， 所以直线l的方程为1ykxkk x，即直线l
3、恒过定点( 1,0) 例 2已知12,F F分别是椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点，A为椭圆的上顶点，12AFF是面积为4的直角三角形 （1）求椭圆C的方程； （2）设圆228:3O xy上任意一点P处的切线l交椭圆C于点,M N，问：PM PNuuuu r uuu r是否为定值？ 若是，求出此定值；若不是，说明理由 【答案】 （1）22184xy； （2）是定值，定值为83 【解析】 （1）由12AFF为直角三角形，故bc， 又1 21242AF FSc b，可得4bc ，解得2bc， 所以28a ， 所以椭圆C的方程为22184xy （2）当切线l的斜率不存在时，其方程为2 6
4、3x ， 将2 63x 代入22184xy，得2 63y ， 不妨设2 62 6,33M，2 6 2 6,33N， 又2 6,03P，所以83PM PN uuuu r uuu r； 同理当2 63x 时，也有83PM PN uuuu r uuu r 当切线l的斜率存在时，设方程为ykxm，11,M x y，22,N x y， 因为l与圆22:184xyO相切，所以22 631mk，即22388mk， 将ykxm代入22184xy，得222214280kxkmxm， 所以122421kmxxk，21222821mx xk， 又 2PM PNPOOMPOONPOOP ONOP OMON OMuuu
5、u r uuu ruuu ruuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuuu ruuu r uuuu r， 2222POPOPOON OMON OMPOuuu ruuu ruuu ruuu r uuuu ruuu r uuuu ruuu r， 又1 2121 212OM ONx xy yx xkxmkxmuuuu r uuu r 22222221212221 28412121kmk mkx xkm xxmmkk 22238821mkk， 将22388mk代入上式，得0OM ONuuuu r uuu r， 综上，83PM PN uuuu r uuu r 1 已
6、知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、 右焦点分别为12FF、， 点(0 ,2)M是椭圆的一个顶点，12FMF是等腰直角三角形 （1）求椭圆C的方程； （2）过点M分别作直线MA、MB交椭圆于AB、两点，设两直线MA、MB的斜率分别为12kk、， 且128kk，探究：直线AB是否过定点，并说明理由 【答案】 （1）22184xy； （2）直线AB过定点1, 22，理由见解析 【解析】 （1）由点(0,2)M是椭圆的一个顶点，可知2b， 又12FMF是等腰直角三角形，可得2ab，即2 2a ， 所以28a ，24b ， 所以椭圆的标准方程为22184xy （2）若直线AB的斜率存在，设AB
7、方程为ykxm，依题意2m ， 联立22184ykxmxy，得222(1 2)4280kxkmxm ， 由已知0，设11( ,)A x y，22(,)B xy， 由韦达定理得122412kmxxk，2122281 2mx xk， 128kkQ，12221211212222yykxmkkkxmxxxx 12212121142(2)()2(2)2(2)828xxkmkmkmkmxxx xm， 42kmkm ，整理得122mk， 故直线AB方程为122ykxk，即122yk x， 模 拟模 拟 优 练优 练 所以直线AB过定点1, 22； 若直线AB的斜率不存在，设AB方程为0 xx，设00(,)A
8、 xy，00(,)B xy， 由已知得0000228yyxx，解得012x ， 此时直线AB方程为12x ，显然过点1, 22， 综上，直线AB过定点1, 22 2已知椭圆222210:xyababC的离心率为32，且过点31,2P （1）求椭圆C的方程； （2） 若直线32yxm (0m且 3m )交椭圆C于A，B两点， 记直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，探究：12k k是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由 【答案】 （1）2214xy； （2）是定值，定值为14 【解析】 （1）由题意得22222321314caababc，解得21ab， 椭圆C的方程为2214xy （2）
9、联立223214yxmxy ，解得22310 xmxm ， 其中22234140mmm ，解得22m ， 又0m且 3m ， 23m 或30m或02m 设11,A x y，22,B x y，则123xxm，2121x xm， 2121212121212123333333342222222111x xmxxmxmxmk kxxx xxx 2222233331313422214441313mmmmmmmmmm ， 即12k k是定值，且定值是14 3已知椭圆2222:10 xyEabab的焦距为2 2，点0,2P关于直线yx的对称点在椭圆E上 （1）求椭圆E的方程； （2）如图，椭圆E的上、下顶点
10、分别为A，B，过点P的直线l与椭圆E相交于两个不同的点C，D 求COD面积的最大值； 当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由 【答案】 （1）22142xy； （2）2；是，1 【解析】 （1）因为点0,2P关于直线yx的对称点为2,0， 且2,0在椭圆E上，所以2a， 又22 2c ，2c ，则222422bac， 所以椭圆E的方程为22142xy （2）设直线l的方程为2ykx，11,C x y，22,D xy， 点O到直线l的距离为d， 222142ykxxy，消去y整理得2212840kxkx， 由0，可得212k ， 且122812
11、kxxk ，122412x xk， 2212221124 211221 21CODkSCD dkxxkk， 设2210tkt，则24442222 2CODtSttt， 当且仅当2t ，即62k 时等号成立， COD的面积的最大值为2 由题意得222:2yAD yxx，112:2yBC yxx， 联立方程组，消去x得12122121122 22 2222kx xxxxxyxxxx， 又122812kxxk ，122412x xk，解得2122128 221=18221kxxkykxxk， 故点Q的纵坐标为定值 1 4 已知椭圆2222C:1(0)xyabab的离心率为12， 直线1:22l yx
12、 与椭圆C有且仅有一个公共点A （1）求椭圆C的方程及A点坐标； （2）设直线l与x轴交于点B过点B的直线与C交于E，F两点，记点A在x轴上的投影为G，T为BG的中点，直线AE，AF与x轴分别交于M，N两点试探究| |TMTN是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由 【答案】 （1）22143xy，31,2A； （2）| |TMTN为定值94 【解析】 （1）设椭圆C的半焦距为c，则12ca， 则224ac，22223bacc， 所以椭圆C的方程为2222143xycc， 将椭圆C的方程与直线l的方程联立得222430 xxc， 所以244 (43)0c ，解得21c ， 所以24a
13、 ，23b ， 故椭圆C的方程为22143xy， 此时将21c 代入222430 xxc，得2210 xx ， 所以1x ，此时32y ， 所以A点坐标为3(1, )2 （2）将0y 直线122yx 联立，得到4x，所以(4,0)B， 因为31,2A，(4,0)B，所以5( ,0)2T 当斜率0EFk时，( 2,0)M ，(2,0)N或( 2,0)N ，(2,0)M， 9|2TM ，1|2TN 或9|2TN ，1|2TM ， 此时有9| |4TMTN； 当斜率0EFk时，设4:EFxlny， 代入22143xy，得22(34)24360nyny， 设11( ,)E x y，22(,)F xy，
14、所以1222434nyyn，1223634y yn， 所以11332:(1)21AEylyxx，则113(1)(1,0)23xMy， 111111113(1)3(1)(66)9(22)3533|12232232(23)223xxnynyTMyyyy ， 同理22(22)33|223nyTNy， 所以1212(22)3 (22)39| |42323nynyTMTNyy， 对分子：2121212(22)3 (22)3(22)3(22)()9nynyny ynyy 229(31620)34nnn， 对分母：212121229(31620)(23)(23)46()934nnyyy yyyn， 所以9| |4TMTN， 综上，9| |4TMTN为定值