1、 例 1在某媒体上有这样一句话：买车一时爽，一直养车一直爽，讲的是盲目买车的人最终会成为一个不折不扣的车奴；其实，买车之后的花费主要由加油费、车费、保险费、保养费、维修费等几部分构成；为了了解新车车主 5 年以来的花费，打破年轻人买车的恐惧感，研究人员在 2016 年对A地区购买新车的 400 名车主进行跟踪调查，并将他们 5 年以来的新车花费统计如下表所示： 5 年花费（万元） 3,5 5,7 7,9 9,11 11,13 13,15 人数 60 100 120 40 60 20 （1）求这 400 名车主 5 年新车花费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代） ； （2）以频率
2、估计概率，假设A地区 2016 年共有 100000 名新车车主，若所有车主 5 年内新车花费可视为服从正态分布2,N ，2分别为（1）中的平均数x以及方差2s，试估计 2016 年新车车主 5 年以来新车花费在5.2,13.6的人数； （3）以频率估计概率，若从 2016 年A地区所有的新车车主中随机抽取 4 人，记花费在9,15的人数为X，求X的分布列以及数学期望 参考数据：21.4；若随机变量服从正态分布2,N ，则0.6826P，220.9544P，330.9974P 【答案】 （1）平均数为 8，方差为 8； （2）81850 人； （3）分布列见解析，65 【解析】 （1）依题意，
3、整理表格数据如下： 5 年花费（万元） 3,5 5,7 7,9 9,11 11,13 13,15 人数 60 100 120 40 60 20 频率 0.15 0.25 0.3 0.1 0.15 0.05 依题意，4 0.15 6 0.25 8 0.3 10 0.1 12 0.15 14 0.058x ， 2222220.1540.2520.1 20.15 40.05 68s 优优 选选 例例 题题 随机变量及其分布 大题优练大题优练 4 4 （2）由（1）可知，8，28，2 22.8， 0.95440.68265.213.620.81852PP， 故所求人数为100000 0.8185818
4、50人 （3）依题意，34,10XB， 47240101010000P X；3143741161C101010000P X； 22243726462C101010000P X ；334377563C101010000P X ； 438141010000P X， X 0 1 2 3 4 P 240110000 411610000 264610000 75610000 8110000 则364105E X 例 2袋中有大小完全相同的 7 个白球，3 个黑球 （1）若甲一次性抽取 4 个球，求甲至多抽到一个黑球的概率； （2）若乙共抽取 4 次，每次抽取 1 个球，记录好球的颜色后再放回袋子中，等待
5、下次抽取，且规定抽到白球得 10 分，抽到黑球得 20 分，求乙总得分X的分布列和数学期望 【答案】 （1）23； （2）分布列见解析，52 【解析】 （1）甲是无放回地抽取，甲至多抽到一个黑球：基本事件没有抽到黑球，抽到一个黑球， 47410CC3512106P没有抽到黑球， 3173410C CC10512102P抽到一个黑球， 所以甲至多抽到一个黑球的概率为112623 （2）解法一： 乙是有放回地抽取，抽到白球得 10 分，抽到黑球得 20 分， 所以抽取 4 次4 个白球，3 个白球 1 个黑球，2 个白球 2 个黑球，1 个白球 3 个黑球，4 个黑球， 对应的X取值有40,50,
6、60,70,80，而每次抽到白球、黑球的概率分别为710，310， 设 4 次取球取得黑球次数为r，则的可能取值 0，1，2，3，4， 4473(40 10 )C1010rrrP Xr，即可得分布列如下： X 40 50 60 70 80 P 240110000 411610000 264610000 75610000 8110000 24014116()40501000010000E X26467568160708052100001000010000 解法二： 设 4 次取球取得黑球数为Y，则40 10XY，且34,10YB， 34010401045210EXEY 例 3已知 6 只小白鼠中
7、有且仅有 2 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病，现将 6 只小白鼠随机排序并化验血液，每次测 1 只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用X表示化验总次数 （1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求3X 的概率； （2）求X的分布列与数学期望 【答案】 （1）15； （2）分布列见解析，期望6415E X 【解析】 （1）iA“第i次验血结果呈阳性”，1,2,3,4,5,6i，iA表示iA的对立事件 若1A发生，则需从 2 只患病小白鼠中选择 1 只排在第一位，其他位置可随意
8、排， 故符合条件的排列顺序共有1525C A种， 若1A与3X 同时发生，则 2 只患病小白鼠一定排在第一、第三两个位置， 其他位置可随意排不患病的小白鼠，对应的排列顺序共有2424A A种， 所以概率为241324115125A A13C A5P A AP XAP A （2）随机变量X的可能取值为2,3,4,5， 可得24241266A A1(2) A15P XP A A； 242412312366A A2(3)2 A15P XP A A AP A A A； 2424123412341234123466A A4(4)4 A15P XP A A A AP A A A AP A A A AP A
9、 A A A， 故8(5)1(2)(3)(4)15P XP XP XP X ， 故X的分布列是 X 2 3 4 5 P 115 215 415 815 数学期望124864()23451515151515E X 1某地发现 6 名疑似病人中有 1 人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染拟采用两种方案检测：方案甲：将这 6 名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这 6 名疑似病人随机分成 2 组，每组 3 人先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感
10、染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止， （1）求这两种方案检测次数相同的概率； （2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由 【答案】 （1）19； （2）乙方案，理由见解析 【解析】由题意可设甲方案检测的次数是X，则1,2,3,4,5X ， 记乙方案检测的次数是Y，则2,3Y （1）记两种方案检测的次数相同为事件A， 则111211( )(2,2)(3,3)636329P AP XYP XY， 所以两种方案检测的次数相同的概率为19 （2）由1(1)(2)(3)(4)6P XP XP XP X，1(5)3P X ， 所以11
11、11110()12345666633E X ； 1(2)3P Y ，22(3)133P Y ，则128( )23333E Y ， 因为 E XE Y，所以采用乙方案 2某商场举行有奖促销活动，凡 10 月 13 日当天消费每超过 400 元（含 400 元） ，均可抽奖一次，抽奖箱里有6 个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有 3 个，白球有 3 个） ，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出 2 个球，若摸出 2 个红球，则打 6 折；若摸出 1 个红球，则打 8 折；若没摸出红球，则不打折 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取 1 个球，连摸 2
12、 次，每摸到 1 次红球，立减 100 元 （1）若小方、小红均分别消费了 400 元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受 6 折优惠的概率； （2）若小勇消费恰好满 600 元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算 【答案】 （1）825； （2）选择方案一更划算 模 拟模 拟 优 练优 练 【解析】 （1）由题意，设顾客享受到 6 折优惠为事件A，则 2326C1C5P A 小方、小红两人其中有一人享受 6 折优惠的概率为 22118C1215525PP AP A （2）若小勇选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为 360，480，600 则2326C1360C5P X ，11
13、3326C C3480C5P X ，2326C1600C5P X 故X的分布列为 X 360 480 600 P 15 35 15 131360480600480555E X （元） ； 若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则600 100ZY 由已知，可得12,2YB，故 1212E Y ， 600 100600 100600 100500E ZEYE Y（元） ， 由上知： E XE Z，故小勇选择方案一更划算 3受新冠肺炎疫情的影响，2020 年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审笔试面试这三个环
14、节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立现有甲乙丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘，并均已通过了资料初审环节假设甲通过笔试、面试的概率分别为12，13；乙通过笔试、面试的概率分别为23，12；丙通过笔试、面试的概率与乙相同 （1）求甲乙丙三人中恰有一人被企业M正式录取的概率； （2）求甲乙丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率； （3）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 面试 补贴(元) 100 200 记甲乙丙三人获得的所
15、有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望 【答案】 （1）49； （2）1727； （3）分布列见解析，数学期望20003 【解析】 （1）设事件A表示“甲被企业M正式录取”，事件B表示“乙被企业M正式录取”，事件C表示“丙被企业M正式录取”， 则 111236P A ， 211323P BP C， 所以甲乙丙三人中恰有一人被企业M正式录取的概率 1PP ABCABCABCP A P B P CP A P BP CP A P B P C1111111121169363343 （2）设事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被企业M正式录取”， 则 1111011163327P DP ABCP A P
16、B P C ， 所以甲乙丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率21017112727PP D （3）X的所有可能取值为 300，500，700，900， 111130023318P X ，1111215500223323318P X ， 121122470022332339P X ，12229002339P X 所以X的分布列为 X 300 500 700 900 P 118 518 49 29 154220003005007009001818993E X 4雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分，近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读
17、国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀，该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加过经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了 1000 份试卷，根据这 1000 份试卷的成绩(单位：分，满分 100 分)得到如下频数分布表 成绩/分 65,70 70,75 75,80 80,85 85,90 90,95 95,100 频数 40 90 200 400 150 80 40 （1）求这 1000 份试卷成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； （2）假设此次测试的成绩X服从正态分布2,N ，
18、其中近似为样本平均数，2近似为样本方差2s，已知s的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少(结果保留一位小数)？ （3）该市教育局准备从成绩在90,100内的 120 份试卷中用分层抽样的方法抽取 6 份，再从这 6 份试卷中随机抽取 3 份进行进一步分析，记Y为抽取的 3 份试卷中测试成绩在95,100内的份数，求Y的分布列和数学期望 参考数据：若2,XN :，则0.6827PX，220.9545PX，330.9973PX 【答案】 （1）82.15x ； （2）75.5分； （3）分布列见解析，数学
19、期望为1 【解析】 （1）由频数分布表 67.5 0.04 72.5.09 77.5 0.2 82.5 0.4 87.5 0.15 92.5 0.08 97.5 0.0482.150 x （2）由题意得2(82.15,6.61 )XN:，且10.68270.841422P X， 又82.156.6175.5475.5， 故市教育局预期的平均成绩大约为75.5分 （3）利用分层抽样的方法抽取的 6 份试卷中成绩在90,95内的有 4 份，成绩在95,100内的有 2 份， 故Y的所有可能取值为 0，1，2， 且032436C C105CP Y ，122436C C315CP Y ，212436C
20、 C125CP Y ， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 15 35 15 数学期望 1310121555E Y 5某工厂生产一种航天仪器零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.6，得到的不合格零件可以进行一次技术处理，技术处理费用为 100 元/件，技术处理后得到合格零件的概率为0.5，得到的不合格零件成为废品 （1）求得到一件合格零件的概率； （2）合格零件以 1500 元/件的价格销售，废品以 100 元/件的价格被回收零件的生产成本为 800 元/件， 假如每件产品是否合格相互独立，记X为生产一件零件获得的利润，求X的分布列和数学期望 【答案】 （1）0.8； （2）分布
21、列见解析，380（元） 【解析】 （1）设事件A：“一次性成型即合格”，设事件B：“经过技术处理后合格”， 则( )0.6P A ，( )(1 0.6) 0.50.2P B ， 所以得到一件合格零件的概率为( )( )0.8PP AP B （2）若一件零件一次成型即合格，则1500 800700X ， 若一件零件经过技术处理后合格，则1500 800 100600X ， 若一件零件成为废品，则800 100 100800X ， 所以X可取700，600，800，则(700)0.6P X ， (600)(1 0.6) 0.50.2P X ， (800)(1 0.6) (1 0.5)0.2P X
22、X的分布列为 X 700 600 800 P 0.6 0.2 0.2 X的数学期望为()700 0.6600 0.2( 800) 0.2380E X （元） 6为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛规定每一局比赛中获胜方记 2 分，失败方记 0 分，没有平局，谁先获得 10 分就获胜，比赛结束假设每局比赛小明获胜的概率都是23 （1）求比赛结束时恰好打了 7 局的概率； （2）若现在是小明 6：2 的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望 【答案】 （1）2081； （2）分布列见解析，2368
23、1E X 【解析】 （1）恰好打了 7 局小明获胜的概率是52541672115 2C333P ， 恰好打了 7 局小亮获胜的概率为25242672115 2C333P ， 比赛结束时恰好打了 7 局的概率为5212715 215 220381PPP （2）X的可能取值为 2，3，4，5， 224239P X，2312321283C33327P X， 2241434421113134CC333381P X， 2341344521212485CC3333381P X， 或334421885C33381P X X的分布列如下： X 2 3 4 5 P 49 827 1381 881 4813823
24、62345927818181E X 72020 年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取 500 名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图： （1）求这 500 名考生的本次数学竞赛的平均成绩x(精确到整数)； （2） 由频率分布直方图可认为： 这次竞赛成绩X服从正态分布2,N ， 其中近似等于样本的平均数x，近似等于样本的标准差s，并已求得18s 用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取 10 名学生，记这次数学竞赛成绩在(86,140之外的人数为Y，求(2)P Y 的值(精确到0.001) 附： （1）当2,XN :时，()0.6827
25、PX，(22 )0.9545PX； （2）820.81860.18140.0066 【答案】 （1）104(分)； （2）0.298 【解析】 （1）10(65 0.002875 0.01 85 0.01 95 0.018 105 0.02x 115 0.018 125 0.012 135 0.008145 0.0012) 10 10.416104.16104（分） （2）由题意知2,XN ，且104，18， 所以86104 18，140104 18 22， 所以0.68270.9545(86140)(2 )0.81862PXPX， 所以(P X或2 )1 0.81860.1814X ， 所以
26、10,0.1814YB， 所以228102C0.18140.818645 0.006630.298P Y 8中国悠久文化之一“石头，尖刀，布”游戏，留传至今，仍然是人们喜爱的一种比胜负的游戏方式“石头”即拳头， “尖刀”即食指和中指， “布”即手掌， “石头”胜“尖刀”， “尖刀”胜“布”， “布”胜“石头”现在有甲、乙、丙三人玩“石头、尖刀、布”游戏比胜负、假定每个人每次伸出什么手势是随机的并且是均等的（一次游戏，可以仅一人获胜或两人同时获胜或不分胜负不分胜负即三人手势均相同或互不相同） （1）若进行一次“石头，尖刀，布”游戏，求仅甲获胜的概率和有两人同时获胜的概率； （2）若进行一次“石头
27、、尖刀、布”游戏，仅一人获胜时，获胜者得 5 分，失败者各得分2 分；有 2 人同时获胜时，获胜者各得 3 分，失败者得2 分；不分胜负时，各得 0 分现在进行两次“石头、尖刀，布”游戏，用X表示甲所得的总分数，求X的分布列和期望 【答案】 （1）19，13（2）分布列见解析，109 【解析】 （1）设甲获胜的为事件A，两人同时获胜为事件B 313 3 39P A ， 23C313 3 33P B （2）X的可能取值为10,8,6,5,3,1,0, 2, 4， 331103 3 33 3 381P X ；124829981P X ； 22469981P X ；13 2 1 325293 3 3
28、27P X ； 2111232293939P X ；214129327P X ； 1110339P X ；11222339P X ； 1114339P X ， X的分布列如下： X 10 8 6 5 3 1 0 2 4 P 181 481 481 227 29 427 19 29 19 144224121101086531024818181279279999E X 9高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层
29、小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图 1 所示的高尔顿板有 7 层小木块，小球从通道口落下，第一次与第 2 层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过 6 次与小木块碰撞，最后掉入编号为 1，2，7 的球槽内例如小球要掉入 3 号球槽，则在 6 次碰撞中有 2 次向右 4 次向左滚下 （1）如图 1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入 5 号球槽的概率； （2）小红小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小红使用图1所示的高尔顿板， 付费6元可以玩一次游戏， 小球掉入m号球槽得到的奖金为元， 其中|164|m
30、 小明改进了高尔顿板(如图 2)，首先将小木块减少成 5 层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有13的概率向左，23的概率向右滚下，最后掉入编号为 1，2，5 的球槽内，改进高尔顿板后只需付费 4 元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中2(4)n两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由 【答案】 （1）1564； （2）小明的盈利多，详见解析 【解析】 （1）设这个小球掉入 5 号球槽为事件A，掉入 5 号球槽，需要向右 4 次向左 2 次， 所以24261115( )C2264P A ， 所以这个小球掉入 5 号
31、球槽的概率为1564 （2）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为 0，4，8，12 3336115(0)(4)C ( ) ( )2216PP m； 22444266111115(4)(3)(5)C ( ) ( )C ( ) ( )222232PP mP m； 15556611113(8)(2)(6)C ( )( )C ( ) ( )222216PP mP m； 066666111(12)(1)(7)C ( )C ( )2232PP mP m， 0 4 8 12 P 516 1532 316 132 一次游戏付出的奖金515311504812163214632E ， 则小红的收益为159644； 小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为 0，1，4，9 4331(0)2323(4)C ( )( )381PP n； 22244441(1)(3)(5)C ( ) ( )C2240331)38(PP nP n； 4131(4)(228338C ( )1)PP n； 411(9)(138)(1)PP n， 0 1 4 9 P 3281 4081 881 181 一次游戏付出的奖金3240881818181101491E ， 则小明的收益为4 13 ， 显然，934，所以小明的盈利多