1、 例 1 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况， 记录了近期连续 120 天苹果的日销售量(单位：kg)，并绘制频率分布直方图如下： （1） 请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数； (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表) （2） 一次进货太多， 水果会变得不新鲜；进货太少， 又不能满足顾客的需求 店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能 80%地满足顾客的需求(在10天中， 大约有8 天可以满足顾客的需求) 请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位) 【答案】 （1）众数为 85，平均数为89.75； （2）每天应该进 98 千克苹果 【解析】 （1）如图示：
2、区间80,90频率最大，所以众数为 85， 平均数为：65 0.0025 75 0.01 85 0.04 95 0.035 105 0.01 115 0.002510 x 89.75 （2）日销售量60,90的频率为0.5250.8，日销量60,100的频率为0.8750.8， 故所求的量位于90,100， 由0.8 0.025 0.1 0.40.275，得0.27590980.035， 故每天应该进 98 千克苹果 例 2某电影制片厂从 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图所示 优优 选选 例例 题题 统计 大题优练大题优练 3 3 （1）从
3、 2011 年至 2020 年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率； （2） 从 2011 年至 2020 年中任选两年， 设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数， 求X的分布列和数学期望()E X； （3）将 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为222123,sss，试比较222123,sss的大小 （只需写出结论） 【答案】 （1）35； （2）分布列见解析，65； （3）222123sss 【解析】 （1）从 2011 年至 2020 年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是 2011 年，2015年
4、，2017 年，2018 年，2019 年和 2020 年，共 6 年 记从 2011 年至 2020 年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件A， 则63( )105P A （2）X的所有可能取值为 0，1，2 24210C2(0)C15P X ；1146210C C8(1)C15P X ；26210CC51(2)153P X ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 215 815 13 数学期望2816()012151535E X （3）科教影片所记录时长波动较大，方差最大，动画影片、纪录影片的时长需计算出方差才能确定 2180 15020024032029035026038
5、043028110 x， 222222222222( 101)( 131)( 81)( 41)39969( 21)99149744110s ； 3100270330300240380 190 130210 15023010 x， 222222222223( 130)401007010150( 40)( 100)( 20)( 80)744010s ， 所以222123sss 例 3 2017 高考特别强调了要增加对数学文化的考查， 为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷 （文、 理科试卷满分均为100分） ， 并对整个高三年级的学生进行了测试 现从这些学生中随机抽取了50名学生的
6、成绩，按照成绩为50,60，60,70，.，90,100分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分） （1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ； （2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率 【答案】 （1）74，2203； （2）1200； （3）1920 【解析】 （1）由频率分布直
7、方图可得第 4 组的频率为1 0.1 0.3 0.3 0.10.2，故0.02x 故可估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数为 (55 0.01 65 0.0375 0.03 85 0.0295 0.01) 1074（分） 由于前两组的频率之和为0.1 0.30.4，前三组的频率之和为0.1 0.3 0.30.7， 故中位数在第 3 组中 设中位数为t分，则有700.030.1t ，所以0322t ， 即所求的中位数为2203分 （2）由（1）可知，50 名学生中成绩不低于 70 分的频率为0.3 0.2 0.10.6， 由以上样本的频率，可以估计高三年级 2000 名学生中成绩不低于 70
8、分的人数为2000 0.6 1200 （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为 15，10，5， 故这三组中所抽取的人数分别为 3，2，1 记成绩在70,80这组的 3 名学生分别为a，b，c，成绩在80,90这组的 2 名学生分别为d，e， 成绩在90,100这组的 1 名学生为f， 则从中任抽取 3 人的所有可能结果为, ,a b c，, ,a b d，, ,a b e，, ,a b f，, ,a c d，, ,a c e，, ,a c f，, ,a d e，, ,a d f，, ,a e f，, ,b c d，, ,b c e，, ,b c f，, ,b d e，, ,b d f，, ,
9、b e f，, ,c d e，, ,c d f，, ,c e f，, ,d e f共 20 种， 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为, ,a b c，只有 1 种， 故后两组中至少有 1 人被抽到的概率为11912020P 12020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动现已有高一63人，高二42人，高三21人报名参加志愿活动根据活动安排， 拟采用分层抽样的方法， 从已报名的志愿者中抽取12名志愿者， 参加为期20天的
10、第一期志愿活动 （1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？ （2） 现在要从第一期志愿者中的高二、 高三学生中抽取4人去粘贴宣传标语， 设这4人中含有高二学生X人，求随机变量X的分布列； （3） 食堂每天约有400人就餐， 其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量 （单位： 公斤） ，以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下： 前10天剩菜剩饭的重量为：24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2； 后10天剩菜剩饭的重量为：23.221.520.821.320.419.420.219
11、.320.618.3， 借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可） 【答案】 （1）6 人，4 人，2 人； （2）答案见解析； （3）答案见解析 【解析】 （1）报名的学生共有 126 人，抽取的比例为12212621， 所以高一抽取263621人，高二抽取242421人，高三抽取221221人 （2）随机变量X的取值为 2，3，4， 224246C C62(2)C155P X ，314246C C8(3)C15P X ，404246C C1(4)C15P X 所以随机变量X的分布列为 X 2 3 4 P 25 815 115 （3）法一、 （
12、数字特征）前 10 天的平均值为23.5，后 10 天的平均值为20.5， 因为20.523.5， 所以宣传节约粮食活动的效果很好 法二： （茎叶图）画出茎叶图 模 拟模 拟 优 练优 练 因为前 10 天的重量集中在 23，24 附近，而后 10 天的重量集中在 20 附近， 所以节约宣传后剩饭剩菜明显减少，宣传效果很好 2为了推进分级诊疗，实现“基层首诊双向转诊急慢分治上下联动”的诊疗模式，某城市自 2020 年起全面推行家庭医生签约服务已知该城市居民约为 1000 万，从 0 岁到 100 岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图 1 所示为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了 10
13、00 名年满 18 周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图 2 所示 （1）估计该城市年龄在 50 岁以上且已签约家庭医生的居民人数； （2）据统计，该城市被访者的签约率约为 44%，为把该城市年满 18 周岁居民的签约率提高到 55%以上， 应着重提高图 2 中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由 【答案】 （1）195.99万； （2）应着重提高 30-50 这个年龄段的签约率，理由见解析 【解析】 （1）该城市年龄在 50-60 岁的签约人数为1000 0.015 10 55.7%83.55万； 在 60-70 岁的签约人数为1000 0.010 10 61.7%61.7万； 在 7
14、0-80 岁的签约人数为1000 0.004 10 70.0%28万； 在 80 岁以上的签约人数为1000 0.003 10 75.8%22.74万； 故该城市年龄在 50 岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：83.55 61.728 22.74195.99万 （2）年龄在 10-20 岁的人数为：1000 0.005 1050万； 年龄在 20-30 岁的人数为：1000 0.018 10180万 所以，年龄在 18-30 岁的人数大于 180 万，小于 230 万，签约率为30.3%； 年龄在 30-50 岁的人数为1000 0.037 10370万，签约率为37.1% 年龄在 50 岁
15、以上的人数为1000 0.032 10320万，签约率超过 55%，上升空间不大 故由以上数据可知这个城市在 30-50 岁这个年龄段的人数为 370 万， 基数较其他年龄段是最大的， 且签约率非常低，所以为把该地区满 18 周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高 30-50 这个年龄段的签约率 3习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者
16、”，其他为“一般生活方式者”某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示： （1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数） ； （2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布2,N ，其中为样本平均数，标准差的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）2,4.5的人数（结果四舍五入保留整数） ； （3）用样本估计总体，将频率视为概率若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”
17、奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望 附：若随机变量服从正态分布2,N ， 则()0.6826P，(22 )0.9544P 【答案】 （1）见解析； （2）54 人； （3）分布列见解析，200 【解析】 （1）0.04 1 0.08 3 0.16 5 0.44 7 0.16 9 0.1 11 0.02 13x 6.967 （2）7,2.5N，(4.59.5)0.6826P，(212)0.9544P， 1(24.5)( (212)(4.59.5)0.13592PPP， 走路步数2,4.5的总人数为400 0.135954人 （3）
18、由题意知X的可能取值为400，300，200，100，0， 222400C0.120.0144P X ，12300C0.12 0.760.1824P X ， 12222200C0.12 0.12C0.760.6064P X ， 12100C0.12 0.760.1824P X ，200.120.0144P X 则X的分布列为： X 0 100 200 300 400 P 0.0144 0.1824 0.6064 0.1824 0.0144 400 0.0144 300 0.1824 200 0.6064 100 0.1824 0 0.0144200EX 4随着经济模式的改变，微商和电商已成为当
19、今城乡一种新型的购销平台已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元根据往年的销售经验， 得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示 已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品现以x（单位：吨，100150 x）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润 （1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T不少于 57 万元的概率； （3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位） 【答案】
20、 （1）0.839, 10013065,130150 xxTx； （2）0.7； （3）平均数为126.5（吨） ，估计中位数应为126.7（吨） 【解析】 （1）当100,130 x时，0.50.3 1300.839Txxx； 当130,150 x时，0.5 13065T ， 所以，0.839, 10013065,130150 xxTx （2）根据频率分布直方图及（1）知， 当100,130 x时，由0.83957Tx，得120130 x， 当130,150 x时，由6557T ， 所以，利润T不少于 57 万元当且仅当120150 x， 于是由频率分布直方图可知市场需求量120,150 x
21、的频率为 0.0300.0250.015100.7， 所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 万元的概率的估计值为0.7 （3）估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为 105 0.1 115 0.2 125 0.3x 135 0.25 145 0.15 126.5（吨） ， 由频率分布直方图易知， 由于100,120 x时，对应的频率为0.01 0.02100.30.5， 而100,130 x时，对应的频率为0.01 0.020.03100.60.5， 因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间120,130，于是估计中位数应为1200.5 0.1 0.20.03126.7（吨） 5
22、某微商对某种产品每天的销售量x件进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量的直方图 （一个月按 30 天计算）如图所示假设用直方图中所得的频率来估计相应的事件发生的概率 （1）求频率分布直方图中的a的值； （2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； （3）若微商在一天的销售量不低于 25 件，则上级商企会给微商赠送 100 元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数 【答案】 （1）0.02； （2）22.5； （3）10800（元） 【解析】 （1）由题意可得11(0.010.060.070.04)50.025a （2）根据已知的频率分布直方图，日销售量的平均值
23、为： (12.5 0.01 17.5 0.0622.5 0.0727.5 0.0432.5 0.02)522.5 （3）根据频率分布直方图，日销售量不低于 25 件的天数为：(0.040.02) 5 309 ， 可获得的奖励为 900 元， 依此可以估计一年内获得的礼金数为900 1210800元 6某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件， 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数
24、， 得下面柱状图： 记x表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用 （单位：元） ，n表示购机的同时购买的易损零件数 （1）若19n，求y与x的函数解析式； （2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； （3）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是20 个易损零件？ 【答案】 （1）3800,195005700,19xyxxxN； （2）
25、19； （3）购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件 【解析】 （1）当19x时，3800y ； 当19x 时，3800500(19)5005700yxx， 所以与的函数解析式为3800,195005700,19xyxxxN （2）由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为0.46，不大于 19 的频率为0.7， 故的最小值为 19 （3）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件， 则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800， 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(3800 7
26、04300 204800 10)4000100； 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件， 则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4000，10 台的费用为 4500， 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(4000 904500 10)4050100， 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件 7某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：0.486,0.536、0.536,0.586、L、0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布
27、直方图企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级” （1）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率； （2）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”、“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望； （3）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后
28、发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明） 【答案】 （1）0.8； （2）分布列见解析，数学期望为31； （3）方差变大了 【解析】 （1）设事件M为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C级”种子”， 由图表，得0.4 1.24.06.04.4 1.20.40.051a，解得2.4a， 由图表，知“C级”种子的频率为0.4 1.22.40.050.2， 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为0.2 因为事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C级”种子”为对立事件， 所以事件M的概率1 0.20.
29、8P M （2）由题意，任取一颗种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为4.4 1.20.40.050.3， 恰好是“B级”康乃馨的概率为4.06.00.050.5， 恰好是“C级”的概率为0.4 1.22.40.050.2 随机变量X的可能取值有20、25、30、35、40， 且2200.20.04P X ，252 0.5 0.20.2P X ， 2300.52 0.3 0.20.37P X ，350.3 0.5 20.3P X ， 2400.30.09P X 所以X的分布列为： X 20 25 30 35 40 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 故X的数学期望20 0.0425 0.2 30 0.3735 0.3 40 0.0931E X （3）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了