1、 排列组合多以实际生活为背景对其应用进行考查， 在解答题中常与概率统计等知识综合命题， 主要考查逻辑推理的核心素养二项式定理主要考查运算求解能力，比如二项展开式某项的系数，注意转化与化归的思想 1排列、组合的定义 排列的定义 从个不同元素中取出( )个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 2排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定 义 从 个 不 同 元 素 中 取 出( ， ) 个 元 素的所有不同排列的个数 从个不同元素中取出( ， )个元素的所有不同组合的个数 公 式 121mnAn
2、 nnnmL!nnm 121!mmnnmmn nnnmACAmL 性 质 = !，0! = 1 0= 1，= ;，+ ;1= :1 正确理解组合数的性质 （1）= ;：从个不同元素中取出个元素的方法数等于取出剩余 个元素的方法数 （2）+ ;1= :1：从 + 1个不同元素中取出个元素可分以下两种情况：不含特殊元素有种方法；含特殊元素有;1种方法 3二项式定理 命题趋势命题趋势 考点清单考点清单 专题专题 3 3 排列组合、二项式定理排列组合、二项式定理 （1）二项式定理：( + )= 0+ 1;1 + + ;+ + ( ) ； （2）通项公式：:1= ;，它表示第 + 1项； （3）二项式系
3、数：二项展开式中各项的系数为0，1， 4二项式系数的性质 （1）项数为 + 1 各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为 字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到 （2）二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指0，1，它只与各项的项数有关，而与，的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分， 它不仅与各项的项数有关， 而且也与， 的值有关 如( + )的二项展开式中， 第 + 1项的二项式系数是，而该项的系数是; 当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的 一、选择题 1由 0，1，2，5 四个数组成没有重
4、复数字的四位数中，能被 5 整除的个数是（ ） A24 B12 C10 D6 【答案】C 【解析】当个位数是 0 时，有33= 6个；当个位数是 5 时，有21 22= 4个， 所以能被 5 整除的个数是 10，故选 C 【点评】本题主要考查了分类计数原理，以及排列的思想，属于基础题 2琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中精题集训精题集训 （70 分钟） 经典训练题 国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排
5、，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ） A1360 B16 C715 D115 【答案】B 【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为810A 从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有57A种情况， 再从排好的五种乐器形成的 6 个空中挑 3 个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有36A种情况， 故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为5376A A， 所以所求的概率537681016A APA，故选 B 【点评】排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问
6、题列举法 3 今年 3 月 10 日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”， 某省驰援湖北“抗疫”的 9 名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第 4 的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（ ） A27 B29 C514 D17 【答案】A 【解析】将身高从低到高的 9 个人依次编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9， 则9号必须排在正中间， 从其余8个人中任选4人排在9号的左边， 剩下的4个人排在9号的右边， 有84= 70种， 当排名第四的 6 号排在最高的 9 号的左边时，从 1，2，3，4，5 中任选 3 个排在 6
7、号的左边，其余四个排在 9号的右边，有3510C 种， 同理：当排名第四的 6 号排在最高的 9 号的右边时，也有 10 种， 所以身高排名第四的 6 号与最高的 9 号相邻的排法有 10+10=20 种， 所以身高排第 4 的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为202707，故选 A 【点评】本题考查了排列中的定序问题，考查了古典概型的概率公式，属于中档题 4已知某年级有 4 个班级，在一次数学学科考试中安排 4 个班级的班主任监考，则 4 个班主任都不监考本班的概率是（ ） A13 B14 C16 D38 【答案】D 【解析】由题意，4 个班级的班主任监考 4 个班级，共有44= 24种不
8、同的监考方式， 其中有 1 人在本班监考的有41 2 = 8种； 有 2 人在班监考的有246C 种； 有 4 人在班监考的有 1 种， 在不符合条件的监考安排方法有8 + 6 + 1 = 15种， 所以 4 个班主任都不监考，共有24 15 = 9种， 则 4 个班主任都不监考的概率为93248P ，故选 D 【点评】本题主要考查了组合数公式的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中若直接法比较复杂或没有思路时，可采用间接法求解，着重考查推理与运算能力 5为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类
9、由 9 位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3 位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有 2 位同学现从这 9 位同学中选派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为（ ） A27 B514 C37 D1021 【答案】D 【解析】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾 某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组， 其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学 现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数 = 95= 126， 每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为3221112
10、132332260mCCC C CC， 则每个宣传小组至少选派1人的概率为601012621mPn，故选 D 【点评】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可 6从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式： 201301482；504 204 304；201303+ 202302+ 203301 则其中正确算式的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】错，计算有重复； 对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况； 对，分类，即 1 男 3 女，2 男
11、2 女，3 男 1 女， 故选 C 【点评】求解排列、组合问题常用的解题方法： （1）元素相邻的排列问题“捆绑法”； （2）元素相间的排列问题“插空法”； （3）元素有顺序限制的排列问题“除序法”； （4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法 762223xx的展开式中3的系数为（ ） A643 B12881 C64 D128 【答案】D 【解析】62223xx展开式的通项公式为666 3166222(2 )233rrrrrrrrTCxCxx， 令6 33r，则 = 1， 所以62223xx的展开式中3的系数为156221283C ，故选 D 【点评】本题考查了二项式定理展
12、开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题 862121ayx展开式中;23项的系数为 160，则 =（ ） A2 B4 C2 D22 【答案】C 【解析】二项式(1 + )6展开式的通项为:1= 6 16;()= 6， 令 = 3可得二项式(1 + )6展开式中3y的系数为633， 62121ayx展开式中;23的系数为(1)633= 160， 可得3= 8，解得 = 2，故选 C 【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题 二、填空题 9将 5 个不同的小球全部放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_种不同的放法 【答案】5
13、35 【解析】四个盒子放球的个数如下： 1 号盒子：0，1； 2 号盒子：0，1，2； 3 号盒子：0，1，2，3； 4 号盒子：0，1，2，3，4， 结合由 5 个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法： 5 1 4 ：351种； 52 3 ：452种； 5 1 1 3 ：65321种； 5 1 2 2 ：65232种； 5 1 1 1 2 ：3523121种， 5 个相同的小球放入四个盒子方式共有 535 种，故答案为 535 【点评】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算 10 某会议有来自6个学校的代表参加， 每个学校有3名代表 会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席
14、团，不同的选取方法数为_ 【答案】540 【解析】第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有63= 20； 第二步，从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有3 3 327 ； 根据分步计数原理可知，总的方法数有20 27 = 540种， 故答案为540 【点评】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题 11一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点(2，6)的跳法共有_种 【答案】1200 【解析】分两类情况讨论： 第一类，向上跳6次，向右跳3次，向左跳1次，有10643= 840种； 第二类，向上跳7次，向下跳1次，
15、向右跳2次，有10731= 360种， 根据分类计数原理得，共有840 + 360 = 1200种方法， 故答案为1200 【点评】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题 12 如图所示， 机器人明明从A地移到B地， 每次只移动一个单位长度， 则明明从A移到B最近的走法共有_种 【答案】80 【解析】分步计算，第一步 最近走法有 2 种； 第二步 最近走法有63= 20种； 第三步DB最近走法有 2 种， 故由 最近走法有220280种， 故答案为 80 【点评】本题主要考查乘法原理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平 13 数列*+中， 1= 1， :1= 2+
16、 1 （ ） ， 则012345515253545556C aC aC aC aC aC a_ 【答案】454 【解析】因为:1+ 1 = 2+ 2 = 2(+ 1)， 所以*+ 1+以2为首项，2为公比的等比数列， 所以+ 1 = 2 2;1= 2，所以= 2 1， 则501+ 512+ 523+ 534+ 545+ 556 = 50 2 + 51 22+ 52 23+ 53 24+ 54 25+ 55 26 (50+ 51+ 52+ 53+ 54+ 55)， 又50 2 + 51 22+ 52 23+ 53 24+ 54 25+ 55 26 = 2 (50 20+ 51 21+ 52 22
17、+ 53 23+ 54 24+ 55 25) = 2 (1 + 2)5= 486， 50+ 51+ 52+ 53+ 54+ 55= 25= 32，所以原式= 486 32 = 454， 故答案为 454 【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量 14多项式22212xx展开式的常数项为_ （用数字作答） 【答案】6 【解析】2422112xxxx，通项公式44 214411rrrrrrrTCxCxx ， 当4 2 = 0时， = 2，2:1= 42= 6， 故答案为 6 【点评】本题考查多项式求常数项，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型
18、一、选择题 1新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由 3 名医生和 6 名护士组成，他们全部要分配到三家医院每家医院分到医生 1 名和护士 1 至 3 名， 其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院， 则不同的分配方法有 （ ）种 A252 B540 C792 D684 【答案】D 【解析】护士6名，可分为2，2，2或者1，2，3两类 先安排医生，再安排护士 安排医生，方法数有33= 6种， 安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”， 故方法数有223131134234343322114CCACACCAA种 其中41 33表示护士甲和护士乙共2人一组的方法数， 41 31 33表示护士
19、甲和护士乙与另一人共3人一组的方法数 所以总的方法数有6 114 = 684种，故选 D 【点评】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于中档题 2市教体局选派 5 名专家到，三所学校视导高三工作，要求每个学校至少派一名专家，则不同的派法种数是（ ） A90 B150 C240 D300 【答案】B 【解析】由题可知：每个学校去的人数可以是：1，1，3 或 2，2，1， 高频易错题 所以不同的派法种数是2233535322150C CCAA（种） ，故选 B 【点评】本题考查排列组合的应用，尤其对平均分组的情况，要除以平均分组的组数的全排列，属基础题 二、填空题 3 某宾馆安排、 、 、
20、 、 五人入住3个房间， 每个房间至少住1人， 则共有_种不同的安排方法（用数字作答） 【答案】150 【解析】将五人分成三组，则三组人数分别为3、1、1或2、2、1， 则分组方法种数为2235352225C CCA， 再将三组分配给三个房间，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为3325150A， 故答案为150 【点评】本题考查人员的安排问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题 一、选择题 1在(1 )5+ (1 )6+ + (1 )18+ (1 )19的展开式中，含3的项的系数是（ ） A4840 B4840 C3871 D3871 【答案】B 【解析】由题意得含
21、3的项的系数为53 63 183 193 = (54+ 53+ 63+ + 183+ 193 54) = (64+ 63+ + 183+ 193 54) = = (204 54) = 4840， 故选 B 【点评】本题考查二项式定理，利用组合数的性质简化运算是解题的关键 2从正方体的 8 个顶点中选取 4 个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ） A84 12 B84 8 C84 6 D84 4 【答案】A 【解析】从正方体的 8 个顶点中选取 4 个顶点有84种， 正方体表面四点共面不能构成四面体有6种， 正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种， 精准预测题 所以可得到的四面体的个数为
22、84 6 6 = 84 12种，故选 A 【点评】本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键 3式子25yxxyx的展开式中，33的系数为（ ） A3 B5 C15 D20 【答案】B 【解析】22555yyxxyx xyxyxxQ， ( + )5的展开式通项为= 5 5; = 5 6; ， 25yxyx的展开式通项为=25 5; = 5 4; :2， 由6343kr，可得31kr， 因此，式子25yxxyx的展开式中，33的系数为53 51= 5， 故选 B 【点评】求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有
23、关指数的运算性质对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解 4(22 1)5的展开式中2x的系数为（ ） A400 B120 C80 D0 【答案】D 【解析】(22 1)5= ( 1)5(2 + 1)5， 二项展开式( 1)5的通项为55;(1)， 二项展开式5(21)x的通项式为5(2)5;， 故55(1) (21)xx的通项为(1)25;5510;(:)，所以 + = 8， 所以展开式中2x的系数为(1)5225553+ (1)425454+ (1)35355= 0，故选 D 【点评】本题考查二项式中制定项系数的求解，涉及通项公式的使用，属基础题
24、 二、填空题 5 一排11个座位， 现安排2人就座， 规定中间的3个座位不能坐， 且2人不相邻， 则不同排法的种数是_ 【答案】44 【解析】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类， 当两人在三个空位左侧时：共3 22= 6（种） ， 同理，当两人在三个空位右侧时：共3 22= 6（种） ， 当两人在三个空位异侧时：共4 4 22= 32（种） ， 即共6 + 6 + 32 = 44（种） ，故答案为44 【点评】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步 具体地说， 解排列组合问题常以元素(或位置)为主体， 即先满足特殊元素(或位置)， 再考
25、虑其他元素(或位置) 6高三年级毕业成人礼活动中，要求，三个班级各出三人，组成3 3小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为_ 【答案】1140 【解析】根据题意，三个班级各出三人，组成3 3小方阵，有99A种安排方法， 若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有33= 6种， 第二行队伍的排法有 2 种；第三行队伍的排法有 1 种； 第一行的每个位置的人员安排方法有3 3 327 种， 第二行的每个位置的人员安排有2 2 2 = 8种， 第三行的每个位置的人员安排有1 1 1 = 1种， 则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率996
26、 2 27 81140PA ， 故答案为1140 【点评】 本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用， 还考查了分析求解问题的能力， 属于中档题 7某班要从甲、乙、丙、丁、戊 5 人中选出 4 人参加 4100 米的接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，丙丁两人如果都参加，他们必须是相邻的两棒，则不同的选派方式有_种 【答案】50 【解析】根据题意可分两种情况： 1甲乙都参加若四人为甲乙丙丁， 根据计数原理，则有22(22+ 1) = 6种选派方式； 若四人为甲乙丙戊或甲乙丁戊， 根据计数原理则有2 (44 233+ 22) = 28种选派方式 2甲乙只有一人参加若四人为甲丙丁戊
27、， 根据计数原理则有222122= 8种选派方式； 若四人为乙丙丁戊，根据计数原理则有222122= 8种选派方式 根据分类加法计数原理不同的选派方式共有6 + 28 + 8 + 8 = 50， 故答案为 50 【点评】本题考查分类加法计数原理和排列的综合应用，重点是分类要不重不漏，属于中档题 8已知(2 2)(1 + )3的展开式的所有项系数之和为 27，则展开式中含2x的项的系数是_ 【答案】23 【解析】已知(2 2)(1 + )3的展开式的所有项系数之和为 27， 将 = 1代入表达式得到(1 + )3= 27 = 2 展开式中含2x的项的系数是2 31 22+ (1) 33= 23， 故答案为 23 【点评】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，及求指定项的系数，掌握二项式通项公式是解题基础 9(1 2)5展开式中3的系数为_；所有项的系数和为_ 【答案】80，1 【解析】因为:1= 5(2)，令 = 3，4= 803， 所以3的系数为80， 设(1 2)5= 0+ 1 + + 55， 令 = 1，则0151aaa L，所以所有项的系数和为1 【点评】本题主要考查了二项展开式的通项公式，二项式所有项的系数和，属于中档题