1、第7章 锐角三角函数一、单选题（共12题）1（2021·江苏·苏州市相城区望亭中学九年级月考）如图，在中，点D是延长线上的一点，且，则的值为（ ）ABCD2（2021·江苏·苏州高新区第二中学九年级月考）如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，又知河宽为50米现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳，则缆绳的长是（ ）A米B米C米D米3（2021·江苏·南通田家炳中学模拟预测）如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是若P，Q
2、同时开始运动，设运动时间为，的面积为已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A当时，BC当时，D当时，4（2021·江苏·常熟市第一中学九年级开学考试）如图，四边形中，把沿着翻折得到，若，线段长为（ ）ABCD5（2021·江苏·如皋市实验初中九年级期末）在中，是锐角，若，且，则面积的最大值是（ ）A4B6CD86（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）在平面直角坐标系中，一次函数 （b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线 分别交于点P、Q，则AP·BP的值是（ ）A4B8C10D与b的取值
3、有关7（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级月考）如图，的三个顶点都在边长为1的格点图上，则的值为（ ）ABCD8（2021·江苏丹阳·二模）如图1，矩形ABCD绕点A逆时针旋转，在此过程中A、B、C、D对应点依次为A、E、F、G，连接DE，设旋转角为x，y与x的函数图象如图2，当时，y的值为（ ）ABC3D49（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）如图，矩形的对角线交于点，点是上的动点，则的最小值是（ ）AB3CD610（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，四边形为矩形，点为边一点，将
4、沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，且，的正弦值为，则的值为（ ）ABCD11（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）P与y轴相切于点O，若将P沿x轴向左移动，当P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）A5B6C7D812（2021·江苏滨湖·九年级期中）如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（ ）A6BCD二、填空题（共12题）13（2021·江苏·如皋市实验初中九年级期
5、末）如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，则_14（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级月考）如图，已知ABM37°，AB20，C是射线BM上一点（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是 ；（填写所有符合条件的序号）AC13；tanACB； 连接AC，ABC的面积为126（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC（参考数据：sin37°0.6，cos37°0.8，tan37°0.75）15（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级月考）如图，半圆O的半径为1
6、，C是半圆O上一点，且AOC45°，D是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是_16（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在ABC中，ACB90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB2BD，tanBCD，则的值为_17（2021·江苏滨湖·九年级期中）如图，在中，则的面积为_，点E为边上的一个动点，连接并延长至点F，使得，以为邻边作，连接，则的最小值为_18（2021·江苏·沭阳县修远中学九年级月考）如图，矩形纸片ABCD中，AB6，AD8，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩
7、形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得RtAB'E，如图（2）所示；第三步：沿EB'折叠折痕为EF，且AF交B'N的延长线于点G，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，SAB'G为_19（2021·江苏·苏州工业园区星湾学校二模）已知抛物线（为常数，）经过点，点是x轴正半轴上的动点点在抛物线上，当的最小值为时，b的值为_20（2021·江苏工业园区·九年级月考）如图，矩形中，与相交于点E，将沿折叠，点A的对应点为F，连接交于点G，且
8、，在边上有一点H，使得的值最小，此时_21（2021·江苏·连云港市新海实验中学三模）如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tanCAB=2，则k的值为_22（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级月考）如图，O是ABC的外接圆，P是ABC的内心，若AB8，tanACB，当点C在上运动时，O、P两点之间距离的最小值为_ 23（2021·江苏·常州外国语学校九年级月考）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC
9、上，点F在CB的延长线上，EAF45°，AE交BD于点G，tanBAE，BF2，则FG_24（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，过B作于G，交DC的延长线于H，连接AG交DC的延长线于F，则_，的值为_三、解答题（共8题）25（2021·江苏滨湖·九年级期中）如图，在RtABO中，O90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D（1）若C为AB的中点，求A的度数：（2）若BO2，AO4，求BC的长26（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）
10、如图，AB是的直径，点C、点D在上，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且（1）求证：AF是的切线；（2）若，求的半径27（2021·江苏·景山中学九年级期中）如图，在中，的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于 E，F （1）试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；（2）若，求阴影部分的面积（结果保留）28（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在ABC中，BC，B30°，C45°，求ABC的面积29（2021·江苏·扬州市江都区第三中学九年级
11、月考）在平面直角坐标系中，对于两个图形X，Y和直线，若在图形X上存在点A，在图形Y上存在点B，使得点A和点B关于直线对称，就称图形X和Y互为m关联图形（1）已知点P的坐标为，点P与点Q为-关联，则点Q的坐标为_；若的半径为1，点P与为m关联，则m的值为_；（2）已知点，射线与线段l：为t-关联，求t的取值范围（3）已知的半径为2，直线与x轴，y轴分别交于C，D，若关于对称的图形S与线段互为-关联，直接写出m的取值范围30（2021·江苏苏州·九年级月考）矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，设运动时间为t（单位：s）（1）如图1，若动点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿
12、ABC匀速运动到点C，图2是点P运动时，APC的面积S（cm2）随时间t（秒）变化的函数图象点P的运动速度是 cm/s，m+n= ；若PC=2PB，求t的值；（2）如图3，若点P，Q，R分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点Q到达点C（即点Q与点C重合）时，三个点随之停止运动；若点P运动速度与（1）中相同，且点P，Q，R的运动速度的比为2:4:3，是否存在t，使PBQ与QCR相似，若存在，求出所有的t的值；若不存在，请说明理由31（2021·江苏东台·九年级期中）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后
13、思考：（1）这样的点唯一吗？（2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决该弧所在圆的半径长为 ；面积的最大值为 ；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，点在直线的左侧，且线段长的最小值为 ；若，则线段长为 32（2021·江苏惠山·九年级期中）如图1，在平面
14、直角坐标系中，直线l1：ykx+b（k0）与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，6），直线l2与x轴交于点C，与直线l1交于D（m，3），OC2OA，tanBAO（1）求直线l2的解析式（2）在射线AB上是否存在点P，使PAC的周长为6？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由（3）如图2，连接OD，将ODB沿直线AB翻折得到O'DB若点M为直线AB上一动点，在平面内是否存在点N，使得以B、O、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出N的坐标，若不存在，请说明理由第7章 锐角三角函数【过关测试提优】一、单选题（共12题）1（2021·江苏·苏州市相城区望亭中学
15、九年级月考）如图，在中，点D是延长线上的一点，且，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】设AC=x，根据三角函数可得：BC=、BD=AB=2x，再表示出DC，最后根据正切的定义解答即可【详解】解：设AC=x，tanABC=,sinABC=BC=，AB=2x，BD=AB=2x，DC=BD+DC=2x+=，tanDAC=，故选A【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊角的三角函数和求三角函数值，掌握运用三角函数解直角三角形、特殊角的三角形函数值成为解答本题的关键2（2021·江苏·苏州高新区第二中学九年级月考）如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的
16、俯角为，又知河宽为50米现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳，则缆绳的长是（ ）A米B米C米D米【答案】B【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而可求出答案【详解】解：作交的延长线于点，在中，设，则，解得：，（米）缆绳的长为米故选：B【点睛】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形3（2021·江苏·南通田家炳中学模拟预测）如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的
17、面积为已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A当时，BC当时，D当时，【答案】C【分析】根据图象可以得到时，从而可以判断A；根据图象可以得到和的长度，从而可以判断B；根据函数图象可以求得在时，求得底边上的高，从而可以得到的面积，从而可以判断C；根据题意可以求得在时，点Q与点C重合，点P运动到边上，与D点相距，在中利用三角函数定义求解，从而判断D【详解】解：A、由图2可知，当时，故A正确；B、由图象可知，故B正确；C、作于点F，作于点M，如下图所示，由图象可知，三角形的最大面积为40，解得，当时，即，解得，的面积，即，故C正确；D、当时，点Q与点C重合，由图象可知，所以点P运动到边
18、上，且，如下图所示，在中，故D错误；故选D【点睛】本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形函数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件4（2021·江苏·常熟市第一中学九年级开学考试）如图，四边形中，把沿着翻折得到，若，线段长为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据已知，求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，在中，根据，代入数值，即可求解【详解】解：如图，延长交于，再过点作， ， ， ，则， ，设，则， ，在中，即，解得：，故选A【点睛】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关
19、性质，正确设出未知数是顺利解题的关键5（2021·江苏·如皋市实验初中九年级期末）在中，是锐角，若，且，则面积的最大值是（ ）A4B6CD8【答案】B【分析】如图，过B作BDAC于D，根据三角函数定义和已知条件确定AD=2CD，设BD=h，CD=a，则AD=2a，找到a、h的关系，最后根据三角形的面积公式可得结论【详解】如图，过B作BDAC于D，tanC=，tanA=，tanC=2tanA，AD=2CD，AB=4，AD2+BD2=16，设BD=h，CD=a，则AD=2a，RtABD中，h2+4a2=16，h2=16-4a2，当时，a2h2取最大值为16，ah最大值为4ABC
20、面积的最大值是6，故选B【点睛】本题考查了三角函数的定义，三角形面积，勾股定理，利用配方法确定ah的取值范围是关键，有难度6（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）在平面直角坐标系中，一次函数 （b为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，直线AB与双曲线 分别交于点P、Q，则AP·BP的值是（ ）A4B8C10D与b的取值有关【答案】C【分析】如图，过向轴作垂线，垂足分别为，由于点在上，设，代入一次函数解析式，得到关系式，根据，由正切的定义可知，勾股定理求得，结合已知关系式，即可求得答案【详解】如图，过向轴作垂线，垂足分别为，点在上，设，代入得：，一次函数 （b
21、为常数）的图像与x、y轴分别交于点A、B，令，则，令，则，故选C【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，正切的定义，掌握以上知识是解题的关键7（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级月考）如图，的三个顶点都在边长为1的格点图上，则的值为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据网格的特点，找到点所在网格的顶点，连接，通过勾股定理的逆定理判断是直角三角形，进而根据正弦的定义求得 的值【详解】如图，连接，根据网格的特点可知：，是直角三角形，故选B【点睛】本题考查了求一角的正弦，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，证明是是直角三角形解
22、题的关键8（2021·江苏丹阳·二模）如图1，矩形ABCD绕点A逆时针旋转，在此过程中A、B、C、D对应点依次为A、E、F、G，连接DE，设旋转角为x，y与x的函数图象如图2，当时，y的值为（ ）ABC3D4【答案】C【分析】根据图2中的坐标可得矩形ABCD的对角线长为，利用勾股定理可求出，当时，过点E作，解直角三角形即可求解【详解】解：由图2可知当未旋转时，即矩形ABCD的对角线长为，当旋转90°时，AE落在AD上，此时，解得，当时，如图，过点E作，旋转角为30°，故选：C【点睛】本题考查从函数图象获取信息、解直角三角形，能够从图2中得到矩形ABCD的
23、对角线长为，是解题的关键9（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）如图，矩形的对角线交于点，点是上的动点，则的最小值是（ ）AB3CD6【答案】A【分析】过点B作射线BH，使得CBH30°，过点P作PEBH，垂足为点E，由此可得PEBP，再过点O作OFBH，由此可证得OPBPOEOF，根据垂线段最短可得OPBP的最小值为线段OF的长，再利用特殊角的三角函数值及矩形性质进行计算即可求得答案【详解】解：如图，过点B作射线BH，使得CBH30°，过点P作PEBH，垂足为点E，则BEP90°，在RtBPE中，sinPBE，sin30
24、6;，PEBP，过点O作OFBH，垂足为点F，则OFB90°，OPPEOEOF，垂线段最短，OPBPOEOF，OPBP的最小值为线段OF的长，在矩形ABCD中，BCD90°，CBD30°，HBDCBHCBD60°，在RtBOF中，sinOBF，sin60°，解得：，OPBP的最小值为，故选：A【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数值的应用，正确作出辅助线，证得OPBP的最小值为线段OF的长是解决本题的关键10（2021·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，四边形为矩形，点为边一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，且，
25、的正弦值为，则的值为（ ）ABCD【答案】A【分析】过点F作FPAB于点P，根据折叠的性质及BE=EF，可得AED=EBF，从而可得ADEPFB，由的正弦值为，设EF=25a，则PF=24a，由勾股定理求得PE=7a，从而可得BP，则由相似可得，再由折叠的性质可得点E是AB的中点，从而可求得结果【详解】如图，过点F作FPAB于点P由折叠的性质可得：AE=EF，AED=FEDBE=EFBE=AE=EF，EFB=EBFBEF+2AED=BEF+2EBF=180AED=EBF四边形ABCD为矩形，PFABA=FPB=90ADEPFB在中，设EF=25a，则PF=24a由勾股定理求得BP=BEPE=1
26、8a故选：A【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，关键是由正弦值出发设EF与PF的长，难点是证明ADEPFB11（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）如图，直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点，圆心P的坐标为（2，0）P与y轴相切于点O，若将P沿x轴向左移动，当P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（ ）A5B6C7D8【答案】C【分析】根据题意，P沿x轴向左移动，分别与直线相切于点M、N，且圆心分别为点、；根据一次函数的性质，求得，；根据特殊角度三角函数的性质，得，结合平移的性质，
27、推导得；同理，推导得；根据直线与圆位置关系的性质，得符合题意要求的点P坐标，即可得到答案【详解】根据题意，P沿x轴向左移动，分别与直线相切于点M、N，且圆心分别为点、，如下图：，且将P沿x轴向左移动，当P与该直线相交时，横坐标为整数的点P，再点和之间直线与x轴、y 轴分别相交于点A、B两点， ， ，即 ，即符合题意要求的点P坐标为：，当P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是：7故选：C【点睛】本题考查了平移、一次函数、圆、三角函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握平移、直线与圆位置关系、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解12（2021·江苏滨湖·九年级期
28、中）如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（ ）A6BCD【答案】B【分析】如图，过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得，从而求得线段，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度【详解】如图，过点作于，在等边中，在中，又A=B=60°， ，在中，即，已知， ，在中，而,，在中，即故选：B【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找到相似三角形是解题的关键二、填空题（共12题）13（2021·江苏·如皋市实验初中九年级期末）如图，在矩形中
29、，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，则_【答案】【分析】过作于，由折叠的性质得，由点是的中点，得到，得到是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，推出，再根据勾股定理求得，由此即可求得答案【详解】解：过作于，由折叠的性质得：，点是的中点，又，故答案为：【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等也考查了矩形的性质、勾股定理以及锐角三角函数14（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级月考）如图，已知ABM37°，AB20，C是射线BM上一点（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是 ；（填写所有符合条件的序号）AC13
30、；tanACB； 连接AC，ABC的面积为126（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC（参考数据：sin37°0.6，cos37°0.8，tan37°0.75）【答案】（1）；（2）见解析，BC21【分析】（1）根据三角形的已知条件及三角函数的特点即可判断求解；（2）根据给出的条件作出辅助线，根据锐角三角函数的概念和勾股定理求出BC的长【详解】（1）已知ABM37°，AB20，当AC13时，如图，BC长可能有两种；当tanACB时，可以唯一确定BC长；当连接AC，ABC的面积为126可以唯一确定BC长；故答案为：；（2）方案一：选作A
31、DBC于D，则ADBADC90°在RtABD中，ADB90°，ADABsinB12，BDABcosB16，在RtACD中，ADC90°，CD5，BCBD+CD21方案二：选作CEAB于E，则BEC90°，由SABCABCE得CE12.6，在RtBEC中，BEC90°，BC21【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值的应用，能求出各个角的度数和求出各个边的长是解此题的关键，难度适中15（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级月考）如图，半圆O的半径为1，C是半圆O上一点，且AOC45°，D
32、是上的一动点，则四边形AODC的面积S的取值范围是_【答案】【分析】根据题意首先得出AOC的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC面积最大，则要使COD面积最大以CO为底DE为高要使COD面积最大，则DE最长，进而得出答案【详解】如图，过点C作CF垂直AO于点F，过点D作DE垂直CO于点E，COAO1，COA45°，CFFO，SAOC×1×，则面积最小的四边形面积为D无限接近点C，所以最小面积无限接近但是不能取到，AOC面积确定，要使四边形AODC面积最大，则要使COD面积最大以CO为底DE为高要使COD面积最大，则DE最长当COD90°时DE最
33、长为半径，S四边形AODCSAOC+SCOE+×1×1S，故答案为：S【点睛】此题主要考查了圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，正确得出四边形的最大值是解题关键16（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在ABC中，ACB90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB2BD，tanBCD，则的值为_【答案】2【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出，再根据，设参数表示AC、BC即可求出答案【详解】解：过点D作，交CB的延长线于点M，ABCDBM，ABCDBM，AB2BD，在中，由于，设DM2k，则CM3k，
34、又，BC2k，AC4k，故答案为：2【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法17（2021·江苏滨湖·九年级期中）如图，在中，则的面积为_，点E为边上的一个动点，连接并延长至点F，使得，以为邻边作，连接，则的最小值为_【答案】 【分析】过点作交于点，由锐角三角函数公式求出，再由平行四边形面积公式求出，根据四边形是平行四边形，证明，由相似三角形的性质得出，即可得出比值，当取得最小值时，即可取得最小值，有垂线段最短即可得出的最小值，从而得出的值，计算即可得出答案【详
35、解】如图所示，过点作交于点，；四边形是平行四边形，当取得最小值时，即可取得最小值，当时，取得最小值，四边形是平行四边形，解得：，的最小值为故答案为：，【点睛】本题考查了锐角三角函数、平行四边形的面积与性质、相似三角形的判定与性质，根据题目所给条件做出辅助线找等量关系是解题的关键18（2021·江苏·沭阳县修远中学九年级月考）如图，矩形纸片ABCD中，AB6，AD8，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得RtAB'E，如图（2）
36、所示；第三步：沿EB'折叠折痕为EF，且AF交B'N的延长线于点G，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，SAB'G为_【答案】3【分析如图2中，延长EB交AD于F求出ABF的面积即可解决问题【详解】解：如图2中，延长EB交AD于F由题意AM=AB，M=90°，ABM=30°，MBAF，ABM=BAF=30°，BF=ABtan30°=2，SAFB=ABFB= ，AG=GF，SAGB=SABF=3故答案为：3【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题19（2021
37、83;江苏·苏州工业园区星湾学校二模）已知抛物线（为常数，）经过点，点是x轴正半轴上的动点点在抛物线上，当的最小值为时，b的值为_【答案】4【分析】将点A（1，0）代入yx2bx+c，求出cb1，将点Q（，yQ）代入抛物线yx2bxb1，求出Q纵坐标为，可知点Q（，）在第四象限，且在直线xb的右侧，点N（0，1），过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QHx轴于点H，则点H（b+，0），在RtMQH中，可知QMHMQH45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM，所以（）（1）+2 （b+）（），解方程即可【详解】解：抛物线
38、yx2bx+c经过点A（1，0），1+b+c0，即cb1，yx2bxb1，点在抛物线上，点Q（，）在第四象限，且在直线xb的右侧，AM+2QM2（AM+QM），点，可取点N（0，1），则AOON1，又AON90°，OAN45°，如图，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由GAM45°，得AMGM，则此时点M满足的值取得最小值，符合题意，过点Q作QHx轴于点H，则点H（b+，0），在RtMQH中，可知QMHMQH45°，QHMH，QMMH，点M（m，0），0（）（b+）m，解得，m，AM+2QM， （）（1）+2 （b+）（），b4，故
39、答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求函数关系式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程，解直角三角形等相关知识，解题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解20（2021·江苏工业园区·九年级月考）如图，矩形中，与相交于点E，将沿折叠，点A的对应点为F，连接交于点G，且，在边上有一点H，使得的值最小，此时_【答案】【分析】首先证明，从而得到，再证明ADF为等边三角形得到CDFBAF从而求出FC的长，E点关于AD的对称点E´，连接B E´与AD交于H，求出BH的长即可得到答案.【详解】解：设BD与AF交于M，AB=a，
40、则AD=四边形ADCD是矩形DAB=90°，ABD=60°ABE，CDE都是等边三角形BE=DE=AE=CE=AB=CD=a将ABD沿BD折叠，A的对应点为FBM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=BMG=90°，GBM=30°，BG=2，在矩形ABCD中，BCAB即，GBM+ABM=90°=BAM+ABMBAM=GBM=30°又ADF=90°-BAM=60°ADF为等边三角形FD=FA，ADF=60°CDF=30°CDFBAFFC=BF=如图作E点关于AD的对称点E´，连接B
41、E´与AD交于H，连接EH，此时EH+BH的值最小EN= E´NBAD=END=90°，E为BD的中点ABEE´EN为三角形ABD的中位线，故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.21（2021·江苏·连云港市新海实验中学三模）如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan
42、CAB=2，则k的值为_【答案】12【分析】连接OC，过点A作AEx轴于点E，过点C作CFy轴于点F，通过角的计算找出AOE=COF，结合“AEO=90°，CFO=90°”可得出AOECOF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tanCAB=2，可得出CFOF的值，进而得到k的值【详解】如图，连接OC，过点A作AEx轴于点E，过点C作CFy轴于点F由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称，AO=BO又AC=BC，COABAOE+AOF=90°，AOF+COF=90°，AOE=COF又AEO=90°，CFO=90°，AOE
43、COF，tanCAB2，CF=2AE，OF=2OE又AEOE=3，CFOF=|k|，|k|=CFOF=2AE×2OE=4AE×OE=12，k=±12点C在第二象限，k=12故答案为：12【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，解答本题的关键是求出CFOF=12解答该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论22（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级月考）如图，O是ABC的外接圆，P是ABC的内心，若AB8，tanACB，当点C在上运动时，O、P两点之间距离的最小值为_ 【答案】【分析】连接CP并延长交O 于点D，连接AD，AP，根据三角形的内心、外角及圆的性质可得APDPAD，则推出ADAP，连接AO并延长交O于E，则利用圆的性质得ABE90°，并根据三角形函数的定义及已知可求出AB10，BE6，再根据三角形的性质及勾股定理求出AF、AD、DF、PD，最后由OP+PDOD即可求得结果【详解】解：如图，连接CP并延长交O 于点D，连接AD，AP，APDPCA+PAC，PADPAB