1、2021-2022学年山东省济南市长清区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1. 方程解是（）A. B. C. D. 无实数根2. 如图所示，圆柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明布袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球是白球的概率是（ ）A B. C. D. 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）A. B. C. D. 5. a， b，c，d 是成比例线段，若 a = 3cm， b = 2cm，c = 6cm，则线段d的长为（ ）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm6. 如图所示，某
2、校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB1.2m，AC14m，则建筑物CD的高是（）A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m7. 关于x的一元二次方程（m1）x22x10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. m0且m1B. m0C. m0且m1D. m08. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的
3、影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）A. B. C. D. 10. 在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（）A. x（x1）190B. x（x1）380C. x（x1）95D. （x1）238011. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）A. B. C. D. 12. 如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点
4、B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，）13. 已知4a3b，则_14. 如图所示，转盘被分成面积相等8份，小强随机转动转盘一次，则指针指到偶数的概率是 _15. 已知关于x的一元二次方程x2mx+60其中一个解x3，则m的值为 _16. 某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.6m，同一时刻同一地点测得旗杆的影长是3m，则该旗杆的高度是 _m17. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，则金色纸边的宽为_
5、cm18. 如图，四边形ABCD是正方形，AB6，E是BC中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N，连接EN，过E作EFEN交AB于F下列结论中，正确结论是 _（填序号）BEFCNE；MN3；BFAF；BEF的周长是12三、解答题：（本大题共9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 解方程：x24x320. 如图，l1l2l3，AB5，DE4，EF8，求AC长21. 如图，在路灯下，小明身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置（2）如果小明的身高AB1.6m，他的影子长AC1.4m，且他到
6、路灯的距离AD2.1m，求灯泡的高22. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQPQ，ADQ与QCP是否相似？并证明你的结论23. 如图，O为原点，B，C两点坐标分别为(3，1) ，(2，1)（1）以O为位似中心在y轴左侧将OBC放大两倍，并画出图形；（2）分别写出B，C两点的对应点B，C的坐标；（3）已知M(x，y)为OBC内部一点，写出M的对应点M的坐标24. 汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同.（1）求每年盈利的年增长率；（2）若
7、该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么2019年该公司盈利能否达到2500万元？25. 2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强.为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：戴口罩；勤洗手；少出门；重隔离；捂口鼻；谨慎吃某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图请你根据上面的信息，解答下列问题（1）本次共调查了_名员工，条形统计图中_；（2）若该公司共有员工1000名，
8、请你估计不了解防护措施的人数；（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工.若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，求恰好抽中一男一女的概率26. 如图，在RtABC中，AC4cm，BC3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ设运动的时间为t（s），其中0t4解答下列问题：（1）AP ，AQ ；（用含t的代数式麦示）（2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与ABC相似？（3）点P、Q在运动过程中，APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若
9、不存在，请说明理由27. （1）【问题发现】如图1，在RtABC中，ABAC4，BAC90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，当点B，E，F三点共线时，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，求线段AF的长2021-2022学年山东省济南市长清区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1. 方程的解是（）A.
10、B. C. D. 无实数根【答案】B【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可解答.【详解】解：由x(x一2)=0得：x=0或x2=0，解得、x1=0，x2=2，故选：B.【点睛】本题考查解一元二次方程，会利用因式分解法解一元二次方程是解答的关键.2. 如图所示，圆柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案【详解】解：从正面看圆柱的主视图是矩形，故选：B【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图3. 不透明布袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球是白球的概率是（ ）A.
11、B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据概率的公式求解即可；【详解】不透明布袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球是白球的概率是；故答案选B【点睛】本题主要考查了概率公式应用，准确计算是解题的关键4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】按照配方法的步骤和完全平方公式 即可得出答案【详解】即故选：A【点睛】本题主要考查配方法，掌握配方法和完全平方公式是解题的关键5. a， b，c，d 是成比例线段，若 a = 3cm， b = 2cm，c = 6cm，则线段d的长为（ ）A. 3cmB. 4cmC. 5cm
12、D. 6cm【答案】B【解析】【分析】根据a、b、c、d是成比例线段，得a：bc：d，再根据比例的基本性质，求出d的值即可；【详解】解：a、b、c、d是成比例线段，a：bc：d，a3cm，b2cm，c6cm，d4cm；故选：B【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解6. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB1.2m，AC14m，则建筑物CD的高是（）A. 17.5mB. 17mC. 16.5mD. 18m【答案】A【解析】【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题【详
13、解】解：EBAC，DCAC，EBDC，ABEACD， ，BE1.5m，AB1.2m，AC14m， ，解得，DC17.5（m），即建筑物CD的高是17.5m，故选：A【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质7. 关于x的一元二次方程（m1）x22x10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. m0且m1B. m0C. m0且m1D. m0【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-10且=（-2）2-4（m-1）（-1）0，然后求出两个不等式的公共部分即可【详解】根据题意得m10且（2）24（m1）（1）0，解得m0且m1故
14、选A【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义8. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得： 解得 答：袋子中红球有5个 故选：A【点睛】本题主要考查利
15、用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率9. 如图，小红居住小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随
16、S的增大而增大，用图象刻画出来应为C故选C考点：1函数的图象；2中心投影；3数形结合10. 在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（）A. x（x1）190B. x（x1）380C. x（x1）95D. （x1）2380【答案】A【解析】【分析】设共有x人参加联欢会，每人与其他人只握一次手，则每个人需要握（x1）次手，x个人一共需要握手x（x1）次，握手是在两人之间进行，所以共握x（x1）÷2次，已知共要握手95次，由此可得等量关系式：x（x1）÷295，解此方程即得多少人参加联欢会【详解】解：设共有x人参加联欢
17、会，可得方程：x（x1）÷295，x（x1）190故选：A【点睛】此题考查握手问题的一元二次方程的实际应用，正确理解握手问题的次数是解题的关键11. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，所以图1和图2中的两个三角形相
18、似，（cm），故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求12. 如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD对折，得到折痕MN后展开；连接MC，将沿CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；P是线段BN上一点，连接MP，将四边形AMPB沿MP折叠，点B的对应点为G，当AM与EM重合时FE的长是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据翻折可求出的长度、E为CG中点、，从而推出，继而求出CP的长度，再利用勾股
19、定理即可求出PG长度，又因为，所以EF为PG的一半，即可选择【详解】根据题意可知：， ，由翻折可知，即E为GC中点，即，CP= ，又，EGC中点，故选C【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质利用翻折的特点证明，从而求出CP的长度是解题的关键综合性较强二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，）13. 已知4a3b，则_【答案】【解析】【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积把4a当做比例的外项，3b当做比例的内项写出比例即可【详解】解：4a3b，故答案为：【点睛】本题主要考查了比例的性质，解题的关键在于能够熟练掌握比例的性质1
20、4. 如图所示，转盘被分成面积相等的8份，小强随机转动转盘一次，则指针指到偶数的概率是 _【答案】#0.25【解析】【分析】根据几何概率的定义，面积比即为概率图中偶数所占面积与总面积的比值就是转盘指向偶数的概率【详解】解：转盘被分成面积相等的8份，其中偶数有2份，指针指到偶数的概率是故答案为：【点睛】考查学生对简单几何概率的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性本题解题关键是掌握概率相应的面积与总面积之比，15. 已知关于x的一元二次方程x2mx+60其中一个解x3，则m的值为 _【答案】5【解析】【分析】把x3代入方
21、程x2mx+60得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可【详解】解：把x3代入方程x2mx+60得93m+60，解得m5故答案是：5【点睛】此题考查一元二次方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值是方程的解，熟记定义是解题的关键16. 某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.6m，同一时刻同一地点测得旗杆的影长是3m，则该旗杆的高度是 _m【答案】8【解析】【分析】设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.6x：3，然后解方程即可【详解】解：设该旗杆的高度为xm，根据题意，得1.6：0.6x：3，解得x8即该旗杆的高度是
22、8m故答案为：8【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等17. 如图，在一幅长80cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，则金色纸边的宽为_cm【答案】5【解析】【分析】利用等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程，解方程即可求解【详解】解：设金色纸边的宽为xcm，由题意得（80+2x）（50+2x）=5400，解得：x1=5，x2=-70（舍去）答：金色纸边的宽为5cm 故答案为：5【点睛】此题考查一
23、元二次方程的实际运用，利用矩形的面积计算方法建立方程是解决问题的关键18. 如图，四边形ABCD是正方形，AB6，E是BC中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N，连接EN，过E作EFEN交AB于F下列结论中，正确结论是 _（填序号）BEFCNE；MN3；BFAF；BEF的周长是12【答案】【解析】【分析】由BFECEN，BC即可证得BEFCNE，即可判断正确；根据三角形面积公式即可判断正确；求得BF4，即可得到BF2AF，即可判断错误；根据勾股定理求得EF，即可求BEF的周长是12，即可判断正确；即可求解【详解】解：EFEN，FEN=90°，BEF+CEN
24、90°，四边形ABCD是正方形，ABC=DCB=90°，BEF+BFE90°，BFECEN，BC，BEFCNE，故正确；四边形ABCD是正方形，AB6，E是BC中点，CD=AB=BC6，CE=BE3，MN垂直平分BE，ENDN，设DNx，则ENx，CN6x，连接MD，解得，即，故正确；BEFCNE，BECE3，BF4，AF642，BF2AF，故错误；BE3，BF4，EF5，BEF的周长3+4+512，故正确；故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件三、
25、解答题：（本大题共9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 解方程：x24x3【答案】；【解析】【分析】在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，进行配方，然后开方求解即可【详解】解：由原方程，得x24x+43+4，则（x2）27，开方，得x2±，解得x12+，x22【点睛】此题考查了，解题的关键是熟练掌握本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法配方法的步骤：配方法的一般步骤为：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数
26、一半的平方20. 如图，l1l2l3，AB5，DE4，EF8，求AC的长【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案【详解】解：l1l2l3，即 ，BC10，ACAB+BC5+1015【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式.21. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置（2）如果小明的身高AB1.6m，他的影子长AC1.4m，且他到路灯的距离AD2.1m，求灯泡的高【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接CB延
27、长CB交DE于O，点O即为所求；（2）根据，构建方程，可得结论【详解】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子；（2）解：由已知可得，OD4m灯泡的高为4m【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形性质与判定，掌握中心投影是解题的关键22. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQPQ，ADQ与QCP是否相似？并证明你的结论【答案】相似，见解析【解析】【分析】在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：DC90°，若证明两三角形相似，再得出DAQPQC即可【详解】解：相似，证明如下：四边形ABCD是正方形，DC90°，
28、DAQ+AQD90°AQPQ，AQP90°，AQD+PQC90°，DAQPQC，ADQQCP【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件23. 如图，O为原点，B，C两点坐标分别为(3，1) ，(2，1)（1）以O为位似中心在y轴左侧将OBC放大两倍，并画出图形；（2）分别写出B，C两点的对应点B，C的坐标；（3）已知M(x，y)为OBC内部一点，写出M的对应点M的坐标【答案】（1）见解析；（2）B（-6，2），C（-4，-2）；（3）M（-2x，-2y）【解析】【分析】（1）利用位似变换的性质分
29、别作出B，C的对应点B，C即可；（2）根据B，C的位置，写出坐标即可；（3）探究规律，利用规律解决问题即可【详解】解：（1）如图，OBC即为所求；（2）如图所示：B（-6，2），C（-4，-2）；（3）从坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M的坐标为（x，y），则M的对应点M的坐标为M（-2x，-2y）【点睛】本题考查了作图-位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，学会探究规律，利用规律解决问题24. 汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2016年盈利1500万元，到2018年盈利2160万元，且从2016年到2018年，每年盈利的年增长率相同.（
30、1）求每年盈利的年增长率；（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么2019年该公司盈利能否达到2500万元？【答案】（1）每年盈利的年增长率为20%；（2）2019年该公司盈利能达到2500万元.【解析】【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意列出方程求解即可；（2）利用2019年盈利=2160×（1+x），由此计算即可；【详解】解：（1）设每年盈利的年增长率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去） 答：每年盈利的年增长率为20% . （2），. 答：2019年该公司盈利能达到2500万元.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设
31、出未知数，找出合适的等量关系，列方程25. 2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强.为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：戴口罩；勤洗手；少出门；重隔离；捂口鼻；谨慎吃某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图请你根据上面的信息，解答下列问题（1）本次共调查了_名员工，条形统计图中_；（2）若该公司共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；（3）在调查中
32、，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工.若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，求恰好抽中一男一女的概率【答案】（1）60 ，18；（2）估计不了解防护措施的人数为200名；（3）恰好抽中一男一女的概率为【解析】【分析】（1）用“了解很少”的人数除以它所占的比例即可得到调查的总人数，再用总人数减去“不了解”的人数、“了解很少”的人数及“很了解”的人数即可得到m；（2）用1000乘以样本中“不了解”人数所占的比例即可；（3）列表展示出所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式即可求解【详解】（1）由统计图可知，“了解很少”的
33、员工有24名，其所占的百分比为40%，故本次调查的员工人数为（名），故答案为：60 ，18；（2）（名）.答：估计不了解防护措施的人数为200名.（3）根据题意，列表如下：第1名第2名女女由上表可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中恰好抽中一男一女的结果有6种，故所求概率为.【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法，解题（1）、（2）的关键是掌握根据条形图和扇形图发现部分数量和总体数量关系的方法，解题（3）的关键是列出所有等可能的结果和恰好抽中一男一女的结果26. 如图，在RtABC中，AC4cm，BC3cm，点P由点B出发沿BA的方向向点A匀速运动，速度为1c
34、m/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ设运动的时间为t（s），其中0t4解答下列问题：（1）AP ，AQ ；（用含t的代数式麦示）（2）当t为何值时，以P、Q、A为顶点的三角形与ABC相似？（3）点P、Q在运动过程中，APQ能否成为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）（5t）cm，tcm；（2）t的值为或时，以P、Q、A为顶点的三角形与ABC相似；（3）当t的值为或或时，APQ能成为等腰三角形【解析】【分析】（1）由勾股定理得，再由题意得，则；（2）分两种情况：，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；（3）分三种情况
35、：，和，根据等腰三角形性质，运用相似三角形的性质解答即可【详解】解：（1）在中，由勾股定理得：，由题意得：，故答案为：，；（2）分两种情况：如图1，当时，则，即，解得：；如图2，当时，则，即，解得：；综上所述，的值为或时，以、为顶点的三角形与相似；（3）能成为等腰三角形，理由如下：分三种情况：如图3，当时，解得：；如图4，当时，过点作于，则，解得：；如图5，当时，过点作于，则，解得：，综上所述，当的值为或或时，能成为等腰三角形【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似2
36、7. （1）【问题发现】如图1，在RtABC中，ABAC4，BAC90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，当点B，E，F三点共线时，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，求线段AF的长【答案】（1）【问题发现】；（2）【拓展研究】无变化，见解析；（3）【问题发现】线段AF的长为22或2+2【解析】【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD，再
37、得出BEAB4，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACFBCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EFCFAD2，BF2，即可得出BE22，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论【详解】解：（1）在中，ABAC4，根据勾股定理得，点D为BC的中点，ADBC2，四边形CDEF是正方形，BEAB4，BEAF，故答案为：BEAF；（2）无变化；如图2，在中，ABAC4，ABCACB45°，在正方形CDEF中，FECFED45°，在中，由（1）知，根据勾股定理得
38、，FCEACB45°，FCEACEACBACE，FCAECB，ACFBCE，BEAF，线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点E在线段BF上时，如图2，由（1）知，CFEFCD2，在中，CF2，BC4，根据勾股定理得，BF2，BEBFEF22，由（2）知，BEAF，AF22，当点E在线段BF的延长线上时，如图3，在中，ABAC4，ABCACB45°，在正方形CDEF中，FECFED45°，在中，FCEACB45°，FCB+ACBFCB+FCE，FCAECB，ACFBCE，BEAF，由（1）知，CFEFCD2，在中，CF2，BC4，根据勾股定理得，BF2，BEBF+EF2+2，由（2）知，BEAF，AF2+2即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为22或2+2【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，解（2）（3）的关键是判断出ACFBCE第三问要分情况讨论