1、第第 21 章章 数学思想方法数学思想方法 【知识衔接】 初中知识回顾 数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路。因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常见的解题方法与技巧，从而为夺得中考高分搭起灵感和智慧的平台。学！科网 初中数学中的主要数学思想有整体思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等。 高中知识链接 高中数学中的主要数学思想有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。 函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换
2、等在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题 方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质， 是一种重要的数学思想方法。 它可以使抽象的问题具体化， 复杂的问题简单化。 “数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。 分类讨论思想是将一个较复杂的数学
3、问题分解(或分割)成若干个基础性问题， 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度 转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程 【经典题型】 初中经典题型 一、一、整体思想的应用整体思想的应用 例1：若 ab=2，ac=21，则(bc)23(b
4、c)+49= 【分析】把 ac=21与 ab=2 两边分别相减得 bc 的值，然后整体代入所求代数式求值即可 【解读】 运用整体思想解题的关键是把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个(或多个)未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决 二、二、转化思想的应用转化思想的应用 例 2：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆
5、柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的 问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出 学#科网 【解读】 “转化思想”的目的是使问题化复杂为简单、化陌生为熟悉、化未知为已知，易于问题的解决，从而避免“小题大做”通过转化得到的问题，必须与原来的问题是等价的，否则转化是无效的、得到的结果是错误的 三、三、分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用 例 3：经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把
6、三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”如图，线段 CD 是 ABC 的“和谐分割线”， ACD 为等腰三角形， CBD 和 ABC 相似，A=46 ，则ACB 的度数为 【分析】由 ACD 是等腰三角形，ADCBCD，推出ADCA，即 ACCD，分两种情形讨论当 AC=AD 时，当 DA=DC 时，分别求解即可 【解答】解：BCDBAC， 【解读】某些数学问题可能存在多种情形，求解时需要对各种情形加以分类，并逐类求解，然后综合得解，分类时要做到：(1)分类时每一部分互相独立；(2)一次分类必须是同一个标准；(
7、3)分类讨论应该逐级进行，不能越级讨论 四、数形结合思想的应用四、数形结合思想的应用 例 4：已知一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图所示，则下列结论：k0；a0；关于 x 的方程kx+b=x+a 的解为 x=3；x3 时，y1y2正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【分析】根据 y1=kx+b 和 y2=x+a 的图象可知：k0，a0，所以当 x3 时，相应的 x 的值，y1图象均低于 y2的图象 【解答】解：根据图示及数据可知： k0 正确； a0，原来的说法错误； 方程 kx+b=x+a 的解是 x=3，正确； 当 x3 时，y1y2正确 故正确的个数是 3 故
8、选：C 【解读】在研究问题时把数与形结合考虑，把数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化如利用数轴研究实数和不等式(组)的解集，利用统计图获取相关统计量的信息，利用图形的剪拼验证整式的一些性质，利用函数的图象研究函数的性质等 高中经典题型 一、函数与方程思想函数与方程思想 例 1：如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( ) Ay12x312x2x By12x312x23x Cy14x3x Dy14x312x22x 【答案】A 【解析】 二、数形结合思想
9、二、数形结合思想 例 2：已知函数 f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当 x1，1时，f(x)x2，则方程 f(x)lg x 解的个数是( ) A5 个 B7 个 C9 个 D10 个 【解析】 三、三、分类讨论思想分类讨论思想 例 3：长方形 ABCD 中，|AB|4，|BC|8，在 BC 边上取一点 P，使|BP|t，线段 AP 的垂直平分线与长方形的边的交点为 Q，R 时，用 t 表示|QR|. 【解析】 四、转化与化归思想四、转化与化归思想 例 4：某厂 2015 年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1 月份投入资金建设恰好与 1 月份的利润相等
10、，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到 12 月投入建设资金又恰好与 12 月的生产利润相同，则全年总利润 M 与全年总投入 N 的大小关系是( ) AMN BM0)在区间8，8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4_ 【答案】8. 【解析】 3、在等差数列an中，a11，满足 a2n2an，n1，2， (1)求数列an的通项公式； (2)记 bnanpan(p0)，求数列bn的前 n 项和 Tn. 思路点拨：(1)由 a2n2an，n1，2，求出公差 d，即得an的通项公式 (2)先求bn的通项公式，然后用错位相减可求 Tn，但由于公比 q 不确定，故用等比数列前 n 项和公式求 Tn时要分类讨论 【解析】(1)设等差数列an的公差为 d，由 a2n2an得 a22a12，所以 da2a11. 又 a2nanndann2an，所以 ann. 4、若不等式 x2px4xp3对一切 0p4 均成立，试求实数 x 的取值范围 【解析】