1、第第 15 章章 图象变换图象变换 【知识衔接】 初中知识回顾 一次函数bkxy的图象向左(右)平移a(0a)个单位长度，得到函数baxky)(baxky)()的图象； 一次函数bkxy的图象向上(下)平移a(0a)个单位长度，得到函数abkxy(abkxy)的图象；学！科网 反比例函数xky 的图象向左(右)平移a(0a)个单位长度，得到函数axky(axky)的图象； 反比例函数xky 的图象向上(下)平移a(0a)个单位长度，得到函数axky(axky)的图象； 二次函数khxay2)(的图象向左(右)平移a(0a)个单位长 度，得到函数khaxay2)(khaxay2)()的图象； 二
2、次函数khxay2)(的图象向上(下)平移a(0a)个单位长度，得到函数akhxay2)(akhxay2)()的图象 高中知识链接 图象变换图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换 yf(x)的图象关于x轴对称yf(x)的图象； yf(x)的图象关于y轴对称yf(x)的图象； yf(x)的图象关于原点对称yf(x)的图象； yax(a0，且 a1)的图象关于直线yx对称ylogax(a0，且 a1)的图象 (3)伸缩变换 yf(x)纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍 yf(ax) yf(x)横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A0)倍 yAf(x) (4)翻转变换 yf(x)的图象x轴
3、下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y|f(x)|的图象； yf(x)的图象y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变yf(|x|)的图象 【经典题型】 初中经典题型 1把直线 y=-x+2 向上平移 a 个单位后，与直线 y=2x+3 的交点在第二象限，则 a 的取值范围是( ) A a1 B a0 C a1 D a1 【答案】C 【解析】分析：直线 y=-x+2 向上平移 a 个单位后可得：y=-x+2+a，求出直线 y=-x+2+a 与直线 y=2x+3 的交点，再由此点在第二象限可得出 a的取值范围 点睛：本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横
4、坐标小于 0、纵坐标大于 0 2在平面直角坐标系中，若抛物线 y=2(x1)2+1 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则所得到的抛物线的解析式为( ) A y=2(x4)2+3 B y=2(x+4)2+2 C y=2(x4)2+2 D y=2(x+4)21 【答案】A 点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 3如图，将函数 y=(x-2)2+1 的图象沿 y 轴向上平移得到一条
5、新函数的图象，其中点 A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点 A、B若曲线段 AB 扫过的面积为 9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( ) Ay (x2)22 By (x2)2+7 Cy (x2)25 Dy (x2)2+4 【答案】D 【解析】 试题解析：函数 y=(x-2)2+1 的图象过点 A(1，m)，B(4，n)， m=(1-2)2+1=1，n=(4-2)2+1=3， A(1，1)，B(4，3)， 过 A 作 ACx 轴，交 BB 的延长线于点 C，则 C(4，1)， AC=4-1=3， 1212121212121212121212曲线段 AB 扫过的面积为 9(图
6、中的阴影部分)， ACAA=3AA=9， AA=3， 即将函数 y=(x-2)2+1 的图象沿 y 轴向上平移 3 个单位长度得到一条新函数的图象， 新图象的函数表达式是 y=(x-2)2+4 故选 D 4 如图， 在平面直角坐标系中， 点O为坐标原点 已知： 抛物线23yaxbx经过点1,4P和点2, 3Q (1)试判断该抛物线与x轴交点的情况 (2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点2,0A，且与y轴交于点B，同时满足以A， O， B为顶点的三角形是等腰直角三角形请你写出平移过程，并说明理由 【答案】(1)抛物线与x轴有两个交点；(2)将原抛物线向右平移12个单位，再向下平移32个单位
7、即可 【解析】试题分析：(1)把 P、Q两点的坐标代入抛物线解析式可求得 a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与 x轴的交点情况； (2)利用 A点坐标和等腰三角形的性质可求得 B点坐标， 设出平移后的抛物线的解析式， 把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程 解：(1)将1,4P， 2, 3Q代入23yaxbx中得43 3423abab 解得： 4a 5b 抛物线为2453yxx 12122425 443830bac V 12304bxxa 12304cxxa 抛物线与x轴有两个交点 一个交在x轴正
8、半轴，一个交在x轴负半轴，且正半轴交点离原点更远 (2)AOBV是等腰直角三角形， 2,0A，点B在y轴上， B点坐标为0,2或0, 2 可设平移后的抛物线解析式为24yxmxn 当抛物线过点2,0A， 0, 2B时，代入可得 2 1620nmn ，解得9 2mn 平移后的抛物线为2492yxx 该抛物线的顶点坐标为9 49,8 16，而原抛物线顶点坐标为5 73,8 16 将原抛物线向右平移12个单位，再向下平移32个单位即可 高中经典题型 1函数 f x的图象向右平移一个单位，所得图象与2xy 的图象关于y轴对称，则 f x ( ) A 12x B 12x C 12x D 12x 【答案】
9、C 【解析】函数2xy 关于y轴对称的函数为122xxy， 将2xy向左平移1个单位对应的解析式为： 12xy， 12xf x ，选择C 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 2一次函数 y=x1 的图象经过平移后经过点(4，2)，此时函数图象不经过( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设平移后所得直线的解析式为 y=x-1-m，由该直线过点(-4，2)即可得出关于 m的一元一次方程，解方程求出 m 的值，由此可得出平移后所得直线的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系可得出该直线经过第一、二、三象限，由此即可得出结论 【详解】设
10、平移后所得直线的解析式为 y=x-1-m， 点(-4，2)在直线 y=x-1-m上， 2=-4-1-m，解得：m=-7， 平移后所得直线的解析式为 y=x+6， k=10，b=60， 直线 y=x+6的图象经过第一、二、三象限， 故选 D 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出平移后所得直线的解析式，解决该题型题目时，根据一次函数图象上点的坐标特征求出平移后所得直线的解析式是关键 3直线 y=2x1 沿 y 轴平移 3 个单位，则平移后直线与 y 轴的交点坐标为_ 【答案】(0，2)或(0，4) 【解析】 分析： 由直
11、线 y=2x-1 沿 y 轴平移 3 个单位可得 y=2x-1+3 或 y=2x-1-3， 然后再根据一次函数 y=kx+b与 y 轴交点为(0，b)可得答案 详解： 直线 y=2x-1 沿 y 轴平移 3 个单位可得 y=2x-1+3 或 y=2x-1-3， 即 y=2x+2 或 y=2x-4， 则平移后直线与 y 轴的交点坐标为：(0，2)或(0，-4) 故答案为：(0，2)或(0，-4) 点睛：考查了一次函数图象的几何变换，关键是掌握直线平移后，函数解析式的 b 值上移加，下移减 4一次函数 y=2x 的图象沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为_ 【答
12、案】y=2x6 【解析】分析： 由函数 y=2x 的图象过原点可知，平移后的直线必过点(3，0)，设平移后的直线的解析式为：y=2x+b，将点(3，0)代入其中，解得对应的 b 的值即可得到平移后的直线的解析式 详解： 直线 y=2x 必过原点， 将直线向右平移 3 个单位长度后的新直线必过点(3，0)， 设平移后的直线的解析式为：y=2x+b， 则 2 3+b=0，解得：b=-6， 平移后的直线的解析式为：y=2x-6 故答案为：y=2x-6 点睛：本题解题有两个要点：(1)由直线 y=2x 必过原点可得平移后的直线必过点(3，0)；(2)将直线 y=kx+b平移后所得的新直线的解析式与原直
13、线的解析式中，k 的值相等 5如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线的表达式是_ 【答案】来源:学.科.网 点睛：本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式会利用方程求抛物线与坐标轴的交点 6如图，抛物线的顶点为，与 y 轴交于点若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点，点 A 的对应点为，则抛物线上 PA 段扫过的区域阴影部分的面积为_ 【答案】12 【解析】分析：根据平移的性质得出四边形 APPA是平行四边形，进而得出 AD，PP的长，求出面积即可 详解：连接 AP，AP，过点 A 作 ADPP于点 D，由题意可得出：APAP，A
14、P=AP，四边形 APPA是平行四边形抛物线的顶点为 P(2，2)，与 y 轴交于点 A(0，3)，平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P(2，2)，PO=2，AOP=45 又ADOP，ADO 是等腰直角三角形，PP=2 2=4，AD=DO=sin45OA= 3=，抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为：4 =12 故答案为：12 点睛：本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出 AD，PP是解题的关键 7已知抛物线 y=x2-2mx-4(m 0)的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 M，若点 M在这条抛物线上，则点 M 的坐标
15、为( ) A (1，-5) B (3，-13) C (2，-8) D (4，-20) 【答案】C 【解析】试题分析：=，点 M(m，m24)，点 M(m，m2+4)，m2+2m24=m2+4解得 m= 2m0，m=2，M(2，8)故选 C 8将函数 y=2x+3 的图象平移,使它经过点(2,-1)求平移后得到的直线的解析式 【答案】y=2x-5 【解析】 【分析】设平移后得到的直线的解析式为 y=2x+b，将点(2，-1)代入求出 b即可得 【详解】设平移后得到的直线的解析式为 y=2x+b， 因为直线 y=2x+b 经过(2，-1)，来源:Z xx k.Com 则有：-1=2 2+b， 解得
16、 b=-5，来源:学科网 ZXXK 所以解析式为 y=2x-5 9已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过原点 O 及点 A(4，0)和点 C(2，3) (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)如图 1，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，将直线 y=2x 沿 y 轴向下平移 n 个单位后得到直线 l，若直线l 经过 C 点，与 y 轴交于点 D，且与抛物线的对称轴交于点 F若 P 是抛物线上一点，且 PC=PF，求点 P 的坐标； (3)如图 2，将(1)中所求抛物线向上平移 4 个单位得到新抛物线，求新抛物线上到直线 CD 距离最短的点的坐标(直接写出结果，不要解答过程) 【答案】(1)
17、 y=x2+x, 顶点坐标为(2，1)；(2) (3+，)或(3，)； (3) (2，7) 【解析】分析：(1)根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点极坐标； (2)根据待定系数法，可得直线 l的解析式，根据中点坐标公式，可得 D是 CF的中点，根据勾股定理，可得EF，EC，根据线段垂直平分线的性质，可得 ED 是线段 CF直平分线，根据解方程组，可得 P 点坐标； (3)根据平移，可得新抛物线，根据平行于直线与抛物线相切的点到直线的距离最短，可得切线，根据解方程组，可得答案 详解：(1)抛物线 y=ax2+bx+c 经过原点 O及点 A(-4，0)和点 C(2，3)， ，解得
18、， 抛物线的解析式为 y=x2+x； y=x2+x=(x+2)2-1， 抛物线的顶点坐标为(-2，-1)； (2)如图 1：来源:学*科*网 直线 l的解析式为 y=2x-n， 直线 l过点 C(2，3)， n=1， 直线 l的解析式为 y=2x-1，当 x=0 时，y=-1，即 D(0，-1) 抛物线的对称轴为 x=-2， E(-2，0) 当 x=-2 时，y=2x-1=-5，即 F(-2，-5)， CD=DF=2， 点 D是线段 CF的中点， C(2，3)， EF=EC=5， ED垂直平分 CF PC=PF， 点 P 在 CF的垂直平分线上， 点 P 是抛物线与直线 ED的交点 ED 的解
19、析式为 y=-x-1 联立抛物线与 ED，得 ， 解得， 点 P 的坐标(-3+，)或(-3-，)； (3)如图 2：学！科网 移后的抛物线为 y=x2+x+4 平行于 CD与物线相切的直线为 y=2x+b， 联立，得 x2+x+4=2x+b 方程有相等二实根，得 =b2-4ac=(-1)2-4 (4-b)=0 解得 b=3 x2-x+1=0， 解得 x=2，y=2x+3=7， 新抛物线上到直线 CD 距离最短的点的坐标是(2，7) 点睛：本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用线段垂直平分线的性质得出 P 是线段 CD的垂直平分线与抛物线的交点是解题关键； 利用平行于直线与
20、抛物线相切的点到直线的距离最短得出抛物线的切线是解题关键 再战高中题 能力提升 B 组组 1要得到函数 y212x的图像，只需将指数函数 y的图像( ) A 向左平移 1 个单位 B 向右平移 1 个单位 C 向左平移个单位 D 向右平移个单位 【答案】D 【解析】112121221 21112244xxxxy，所以可以由14xy图象右移12个单位， 故选 D。 点睛：函数图象移动问题掌握“左加右减，上加下减”，本题中由于两个指数型函数的底数不一样，则先把底数化成一样，得到121 2124xxy，由移动的方法可以得到答案。当然，本题中也可以将14xy转化为以 2 为底，再得到答案。 2函数3(
21、 )f xxx的图象关于( ) A x轴对称 B y轴对称 C 原点对称 D直线yx对称 【答案】C 【解析】3( )f xxx的定义域为 R，且33()()()()( )fxxxxxf x ，所以( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，故选 C 3已知函数 12mxf xxn的图象关于点1,2对称，则( ) A 42mn， B 42mn， C 42mn， D 423mmn， 【答案】B 【解析】因为 21112222222mmnmnxnmxmf xxnxnxn，所以函数得定义域为2nx ，值域为2my ，所以函数图象两渐近线方程为2nx ， 2my ，对称中心为,2 2n m，所以1222nm， 42mn ，故选 B 4把函数3xy 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的函数解析式为_ 【答案】132xy 【解析】函数3xy 的图象向左平移 1 个单位，得到13xy， 再向上平移 2 个单位得到的函数132xy 答案为： 132xy