1、第第 13 章章 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 【知识衔接】 初中知识回顾 正比例函数和一次函数：当0k时，y随x的增大而增大；当0k时，y随x的增大而减小； 反比例函数： 当0k时， 函数图像的两个分支分别在第一、 三象限。 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小。 当0k时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随 x 的增大而增大。 二次函数：如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当 x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性， 如果在此范围内， y
2、 随 x 的增大而增大， 则当2xx 时，cbxaxy222最大， 当1xx 时，cbxaxy121最小； 如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小， 则当1xx 时，cbxaxy121最大，当2xx 时，cbxaxy222最小。学科-网 高中知识链接 函数的单调性函数的单调性 (1)增函数：若对于定义域I内的某个区间D DI上的任意两个自变量1x、2x，当12xx时，都有 12f xf x，那么就说函数 f x在区间D上是增函数增函数； (2)减函数：若对于定义域I内的某个区间D DI上的任意两个自变量1x、2x，当12xx时，都有 12f xf x，那么就说函数 f x在区间D上是减函数
3、减函数 函数的最值函数的最值 1最大值：一般地，设函数 yf x的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的xI，都有 f xM； (2)存在0 xI，使得0f xM 那么，我们称M是函数 yf x的最大值 2最小值：一般地，设函数 yf x的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)对于任意的xI，都有 f xm； (2)存在0 xI，使得0f xm学*科网 那么，我们称m是函数 yf x的最小值 【经典题型】 初中经典题型 1下列函数中，对于任意实数， ，当时，满足的是( ) A y=3x+2 B y=2x+1 C y=2x2+1 D y= 【答案】A 当 x0 时，y随 x 的增大
4、而增大，当 x0 时，y随 x 的增大而减小，则对于任意实数 x1，x2，当 x1x2时，足 y1不一定大于 y2，故选项 C 错误， y=， y随 x 的增大而增大，则对于任意实数 x1，x2，当 x1x2时，满足 y1y2，故选项 D 错误， 故选：A 点睛：本题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数图象的变化特点 2下列函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而增大的是( ) A B C D 【答案】D 【解析】A 选项：对于一次函数 y=-x+1，k0，函数的图象在每一个象限内，y 值随 x 值的增大而减小，故本选项错误； B
5、选项：对于二次函数 y=x2-1，当 x0 时，y值随 x 值的增大而增大，当 x0 时，y值随 x 值的增大而减小，故本选项错误； C选项：对于反比例函数 y1x ，k0，函数的图象在每一个象限内，y值随 x 值的增大而减小，故本选项错误； D 选项：对于反比例函数 y1x，k0，函数的图象在每一个象限内，y 值随 x 值的增大而增大，故本选项正确 故选 D 3已知反比例函数 y=，当3x2 时，y 的取值范围是( ) A 0y1 B 1y2 C 2y3 D 3y2 【答案】C 【解析】分析： 由题意易得当3x2 时， 函数的图象位于第二象限， 且 y 随 x 的增大而增大， 再计算出当 x
6、=-3 和 x=-2时对应的函数值，即可作出判断了 4反比例函数myx的图象如图所示，以下结论： 常数 m1； 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大； 若 A(1，h)，B(2，k)在图象上，则 hk； 若 P(x，y)在图象上，则 P(x，y)也在图象上 其中正确的是( ) A B C D 【答案】C 【解析】反比例函数的图象位于一三象限， m0 故错误；学科！网 当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，故错误； 将 A(1，h)，B(2，k)代入myx得到 h=m，2k=m， m0 hk 故正确； 将 P(x，y)代入myx得到 m=xy，将 P(x，y
7、)代入myx得到 m=xy， 故 P(x，y)在图象上，则 P(x，y)也在图象上 故正确， 故选：C 5 如图， 抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的开口向上， 与 x 轴交点的横坐标分别为-1、 3， 则下列说法错误的是( ) A 对称轴是直线 x=1 B 方程 ax2+bx+c=0 的解是 x1=-1，x2=3 C 当 x1，y 随 x 的增大而增大 D 当-1x3 时，y0 【答案】C 【解析】A 抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴交点的横坐标分别为-1、3,对称轴是直线1 312x ，故正确； B抛物线 y=ax +bx+c(a0)与 x 轴交点的横坐标分别为1、3,方
8、程 ax +bx+c=0 的根是 x =1,x =3，故正确； C根据图象得抛物线对称轴为 x=1， 而抛物线开口方向向上， 当 x 416，与题意不符 当 x=1 时，由2241 mm1解得m2，此时2yx25，它在2xl 的最大值是 4，与题意相符 当 x= m 时，由224mm1m解得m3，此时2yx34 对2yx34 ，它在2xl 的最大值是 4，与题意相符；对2yx34 ，它在2xl 在 x=1 处取得，最大值小于 4，与题意不符 综上所述，实数 m 的值为 2 或3 故选 C 高中经典题型 1若函数f(x)满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”，则
9、f(x)的解析式可以是( ) A 21()f xx B xf xe C 1f xx D (1)f xln x 【答案】C 【解析】根据条件知，f(x)在(0，)上单调递减 对于 A， 21()f xx 在(1，)上单调递增，排除 A； 对于 B， xf xe在(0，)上单调递增，排除 B； 对于 C， 1f xx在(0，)上单调递减，C 正确； 对于 D， (1)f xln x在(0，)上单调递增，排除 D 2若函数 f(x)x22ax 与 g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数，则 a 的取值范围是( ) A(1,0) B(1,0)(0,1 C(0,1) D(0,1 【答案】D 3函数
10、 f(x)13xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_ 【答案】3 【解析】 由于13xy()在 R 上单调递减，2(2)ylogx在1,1上递增，所以 f(x)在1,1上单调递减，故 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)3 4求函数的单调区间 【解析】 其图象如图所示，所以函数的单调递增区间为和； 单调递减区间为和。 5的递增区间是( ) A B C D 【答案】A 【解析】解不等式得或，因此函数的定义域为 ，令，由于内层函数在上单调递增， 外层函数为单调递减函数， 由复合函数得单调性可知， 函数的递增区间是，故选 A 6函数的单调递增区是( ) A B C和 D 【答案】D 【实战演
11、练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1正比例函数 y(2k1)x，若 y 随 x 增大而减小，则 k 的取值范围是( ) A k12 B k12 C k12 D k0 223f xxx 2223,023,0 xxxf xxxx yf x( 1 ，0,11,01)，212log32yxx,12,3,23,22320 xx1x2x212log32yxx ,12,U232uxx12logyu232uxx,112logyu212log32yxx,123xyxe,00, 3 1,3,1【答案】B 【解析】由题意得， 210k ， 12k 故选 B 2已知二次函数 y=(xh)2(h 为常数)，当自变量
12、 x 的值满足 2x5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为1，则 h 的值为( ) A 3或 6 B 1 或 6 C 1 或 3 D 4 或 6 【答案】B 【解析】 【分析】分 h2、2h5 和 h5三种情况考虑：当 h2 时，根据二次函数的性质可得出关于 h的一元二次方程，解之即可得出结论；当 2h5 时，由此时函数的最大值为 0 与题意不符，可得出该情况不存在；当 h5 时，根据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论综上即可得出结论 【详解】如图，当 h2 时，有(2h)2=1， 解得：h1=1，h2=3(舍去)； 当 2h5 时，y=(xh)2的最大值为 0，
13、不符合题意； 当 h5时，有(5h)2=1， 解得：h3=4(舍去)，h4=6， 综上所述：h的值为 1或 6， 故选 B 3一次函数与二次函数 交于 x 轴上一点，则当时，二次函数 的最小值为( ) A 15 B -15 C 16 D -16 【答案】D 4一次函数若随的增大而增大，则的取值范围是_ 【答案】m2 【解析】 【分析】根据图象的增减性来确定(m+2)的取值范围，从而求解 【详解】一次函数 y=(m+2)x+1，若 y随 x的增大而增大， m+20，解得，m2，故答案为：m2 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性质是解题的关键 函数值 y随 x 的增大而减小
14、 k0；函数值 y随 x 的增大而增大 k0 5在一次函数中，如果的值随自变量的值增大而增大，那么的取值范围是_ 【答案】k1 【解析】 分析： 先根据一次函数的性质： y随着 x 增大而增大得出关于 k的不等式， 求出 k的取值范围即可 详解：在一次函数中， 的值随自变量的值增大而增大， ，解得 k1 故答案为：k1 6已知反比例函数kyx的图像经过点(-2017，2018)，当0 x时，函数值 y 随自变量 x 的值增大而_(填“增大”或“减小”) 【答案】增大 【解析】反比例函数kyx的图像经过点(-2017，2018)， k=-2017 20180 时，y 随 x 的增大而增大 故答案
15、为：增大 7二次函数 yx22x3，当 m2xm 时函数有最大值 5，则 m 的值可能为_ 【答案】0 或 4 【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量 x 的值，然后根据 m 的范围求出 m 的值即可 详解：令 y=5，可得 x22x3=5， 解得 x=-2 或 x=4 所以 m-2=-2，m=4 即 m=0或 4 故答案为：0或 4 点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解 8下列关于函数2610yxx的四个命题：当0 x时，y有最小值 10；
16、n为任意实数，3xn 时的函数值大于3xn 时的函数值； 若3n， 且n是整数， 当1nxn时，y的整数值有(24)n个；若函数图象过点0( ,)a y和0( ,1)b y ，其中0a，0b，则ab其中真命题的序号是( ) A B C D 【答案】C 【解析】 试题解析：y=x2-6x+10=(x-3)2+1， 当 x=3 时，y 有最小值 1，故错误； 当 x=3+n 时，y=(3+n)2-6(3+n)+10， 当 x=3-n 时，y=(n-3)2-6(n-3)+10， (3+n)2-6(3+n)+10-(n-3)2-6(n-3)+10=0， n 为任意实数，x=3+n 时的函数值等于 x=
17、3-n 时的函数值，故错误； 抛物线 y=x2-6x+10 的对称轴为 x=3，a=10， 当 x3 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x=n+1 时，y=(n+1)2-6(n+1)+10， 当 x=n 时，y=n2-6n+10， (n+1)2-6(n+1)+10-n2-6n+10=2n-4， n 是整数， 2n-4 是整数，故正确； 抛物线 y=x2-6x+10 的对称轴为 x=3，10， 当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，x0 时，y 随 x 的增大而减小， y0+1y0，当 0a3，0b3 时，ab，当 a3，b3 时，ab，当 0a3，b3 时，a，b 的大小不确定，故错误；
18、故选 C 再战高中题 能力提升 B 组组 1下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是( ) Ay1xx Byx2x Cyln xx Dyexx 【答案】A 2定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0，)上递增，且 f120，则不等式 f(log19x)0 的解集为_ 【答案】103xx或13x 【解析】yf(x)是定义在 R 上的奇函数，且 yf(x)在(0，)上递增 yf(x)在(，0)上也是增函数，又 f120，知 f12f120 故原不等式19(log)0fx 可化为191(log)( )2fxf或191(log)()2fxf， 191log2x 或191log02x，解得103x或13
19、x 所以原不等式的解集为103xx或13x 3函数223yxx的单调递增区间为 【答案】1,1和3, 【解析】作出函数223yxx的图象如下图所示， 由图象可知，函数223yxx的单调递增区间为1,1和3, 4已知函数1( )2axf xx在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围 【答案】 1(,)2 【解析】函数： 11 2( )22axaf xaxx，由复合函数的增减性可知，若1 2( )2ag xx 在 (-2，+)为增函数，1-2a0， 11 20,2aa 5若函数xaxxxf1)(2在),21(是增函数，则a的取值范围( ) A、3,( B、3,( C、), 3 D、), 3( 【答案】C 6函数21xyx，,xm n的最小值为 0，则m的取值范围是( ) A 1,2 B 1,2 C 1,2 D 1,2 【答案】D 【解析】 因为 23111xf xyxx 在1, 上单调递减， 且 20f， 所以2, 12nm ；故选 D xyO3-11