1、第第 10 章章 简单的二元二次方程的解法简单的二元二次方程的解法 【知识衔接】 初中知识回顾 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫做二元二次方程 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组 高中知识链接 二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决 【经典题型】 初中经典题型 【例【例 1】解方程组2220 (1)30 (2)xyxy 分析：分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2yx，代入方程(2)消去y 说明：说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方
2、程组成的方程组的步骤： 由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)； 把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； 解消元后得到的一元二次方程；学科网 把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值； 写出答案 (2) 消x，还是消y，应由二元一次方程的系数来决定若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程210 xy ，可以消去x，变形得21xy，再代入消元 (3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记 【例【例 2】解方程组11 (
3、1)28 (2)xyxy 说明：说明：(1) 对于这种对称性的方程组xyaxyb，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x、y的字母，如z (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47xy，则必有解74xy 高中经典题型 【例【例 1】解方程组22225() (1)43 (2)xyxyxxyy 分析：分析： 注意到方程225()xyxy， 可分解成()(5)0 xy xy， 即得0 xy或50 xy，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程 解：解：由(1)得： 225()0()()5()0()(5)0 xyxyxy xyxyxy xy 0
4、 xy或50 xy 原方程组可化为两个方程组：22225004343xyxyxxyyxxyy或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： 31241234431643,614343xxxxyyyy 说明：说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程 【例【例 2】解方程组2212 (1)4 (2)xxyxyy 分析：分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程对其因式分解，就可以转化为例3 的类型 解：解：(1) (2)3得：
5、223()0 xxyxyy 即 22230(3 )()0 xxyyxy xy 300 xyxy或 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44xyxyxyyxyy 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11xxyy 说明：说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组 【例【例 3】解方程组2226 (1)5 (2)xyxy 分析：分析：(1) +(2)2得：2()36 (3)xy，(1) -(2)2得：2()16 (4)xy，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组 解
6、：解：(1) +(2)2得：222236()3666xyxyxyxyxy 或， (1) -(2)2得：222216()1644xyxyxyxyxy 或 解此四个方程组，得原方程组的解是： 312412341515,1551xxxxyyyy 说明：说明：对称型方程组，如22xyaxyb、22xyaxyb都可以通过变形转化为xymxyn的形式，通过构造一元二次方程求解 【例【例 4】解方程组3 (1)38 (2)xyxxyy 说明：说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解 二元二次方
7、程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1解下列方程组： (1) 26xyyx (2) 22282xyxy (3) 221235xyxxyy (4) 2203210 xyxxy 2解下列方程组： (1) 32xyxy (2) 16xyxy 3解下列方程组： (1) 2(23)01xxyx (2) (343)(343)0325xyxyxy (3) 22(2)()08xyxyxy (4) ()(1)0()(1)0 xy xyxy xy 4解下列方程组： (1) 222230 xyxy (2) 168xyxxyx 再战高中题 能力提升
8、B 组组 1解下列方程组： (1) 2232320 xyxyx (2) 22231234330 xyxxyyxy 2解下列方程组： (1) 32xyxy (2) 24221xyxy 3解下列方程组： (1) 2222384xyxxyy (2) 224221xyxy 4解下列方程组： (1) 2252xyxy (2) 22410 xyxy 参考答案参考答案 A 组组 1212121121212810103204322(1),(2),(3),(4),32 2231010 344xxxxxxxyyyyyyy 2 121212121232(1),(2),21 23 xxxxyyyy 323112121
9、31212237132031132,(2),(3),331523113144xxxxxxxyyyyyyy 23414414231120122,(4),2011022xxxxxyyyyy 4(1) 1234123466662222,66662222xxxxyyyy (2) 43xy B 组组 11122122175154(1),(2),41 33 2xxxxyyyy 2121212127312(1),(2),3721 22xxxxyyyy 3123434126 136 13221313(1),222 132 131313xxxxyyyy 312412342002(2),2222xxxxyyyy 4312412341212(1),1221xxxxyyyy ，121213(2),31 xxyy