1、第第 12 章章 函数及其表示函数及其表示 【知识衔接】 初中知识回顾 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果bkxy(k，b 是常数，k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数。 特别地，当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，kxy (k 为常数，k0)。这时，y 叫做 x 的正比例函数。 一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数bkxy的图像是经过点(0，b)的直线；正比例函数kxy 的图像是经过原点(0，0)的直线。 2、反比例函数的概念 一般地，函数xky (k 是常数，k0)叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1 kxy的形式。自变量 x 的取值范围是 x
2、0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x0，函数 y0，所以，它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、二次函数的概念 一般地，如果)0,(2acbacbxaxy是常数，那么 y 叫做 x 的二次函数。 )0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。 二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 二次函数图像的画法 五点法： (1)先
3、根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点： 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 二次函数的解析式有三种形式：学=科网 (1)一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数， (2)顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数， (3)当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式)(2
4、12xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。 高中知识链接 (1)函数的定义域、值域 在函数 yf(x)，xA 中，自变量 x 的取值范围(数集 A)叫做函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域 (3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数 函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 【经典题型】 初中经典题型 1在函数12xyx中，自变量 x 的取值范围 【答案】x1 且 x2 【解析】 试题解析：根据题意得：
5、x-10 且 x-20， 解得：x1 且 x2 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 2如图，正方形 ABCD 边长为 4，点 P 从点 A 运动到点 B，速度为 1，点 Q 沿 BCD 运动，速度为 2，点 P、Q 同时出发，则BPQ 的面积 y 与运动时间 t(t4)的函数图象是( ) A B C D 【答案】B 综上可得全过程的函数图象，先是开口向下的抛物线，然后是直线； 故选 B 3经过(4,0), ( 2,0),(0,3
6、)ABC三点的抛物线解析式是 【答案】y=38x2+ 34x+3 【点晴】设抛物线解析式为 y=a(x+2)(x4)，再把 C(0，3)坐标代入二次函数 y=a(x+2)(x4)中，求出 a 的值即可 4如图，抛物线 y1=(x+1)2+1 与 y2=a(x4)23 交于点 A(1，3)，过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛物线于 B、C 两点，且 D、E 分别为顶点则下列结论：学科=网 a=；AC=AE；ABD 是等腰直角三角形；当 x1 时，y1y2 其中正确结论的个数是( ) 1223 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 【解析】 试题解析：抛物线 y1=(x+1)
7、2+1 与 y2=a(x4)23 交于点 A(1，3)， 3=a(14)23， 解得：a=23，故正确； E 是抛物线的顶点， AE=EC， 无法得出 AC=AE，故错误； 当 y=3 时，3=(x+1)2+1， 解得：x1=1，x2=3， 故 B(3，3)，D(1，1)， 则 AB=4，AD=BD=22， AD2+BD2=AB2， ABD 是等腰直角三角形，正确； (x+1)2+1=23(x4)23 时， 解得：x1=1，x2=37， 121212当 37x1 时，y1y2，故错误 故选 B 高中经典题型 1函数 13f xx的定义域是( ) A 0,3 B 3, C 3， D 3, 【答案
8、】D 【解析】要使函数 13f xx有意义，则有30 x ，即3x ，故函数 f x的定义域为3,，故选 D 2设函数24yx的定义域A，函数 y=ln(1-x)的定义域为B，则AB=( ) A (1,2) B (1,2 C (-2,1) D -2,1) 【答案】D 【解析】由240 x得22x ，由10 x得1x， 故AB= | 22 |1 | 21xxx xxx ，选 D 3函数的图象大致为( ) 【答案】D 【解析】分析：由特殊值排除即可 当时， ，排除 A,B ,当时，,排除 C 故正确答案选 D 4已知函数132f xx，则 f x的解析式是( ) A 31f xx B 31f xx
9、 C 32f xx D 34f xx 【答案】A 【解析】由于1311f xx，所以 31f xx 5已知全集，集合， ，则下图中阴影部分所表示的集合为( ) A B C D 【答案】B 【解析】分析：求出函数的值域可得集合，解不等式可得集合，然后可求出 详解：由题意得， 图中阴影部分所表示的集合为， 故选 B 6已知函数的值域是，则实数的取值范围是( ) A B C D 【答案】C 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1使函数有意义的自变量的取值范围是( ) A B C D 【答案】C 试题分析：根据二次根式，被开方数可得 3-x0，解得 x3，故选 C 2函数211xyxx的自变
10、量 x 的取值范围为( ) A x1 B x1 C x1 D x1 且 x1 【答案】D 3x0 x3x0 xa0a 3在同一平面直角坐标系中，函数 y=mx+m(m0)与myx(m0)的图象可能是( ) A B C D 【答案】D 4如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象过点 B(0，2)它与反比例函数 y=的图象交于点 A(m，4)，则这个二次函数的解析式为( ) Ay=x2x2 By=x2x+2 Cy=x2+x2 Dy=x2+x+2 【答案】A 5对称轴平行于 y 轴的抛物线的顶点为点(2，3)且抛物线经过点(3，1)，那么抛物线解析式是( ) A y=2x2+8x+3 B y=2x
11、-28x+3 C y=2x2+8x5 D y=2x-28x+2 【答案】C 【解析】根据题意,设 y=a(x2)2+3，抛物线经过点(3，1)，所以 a+3=1，a=2 因此抛物线的解析式为：y=2(x2)2+3=2x2+8x5故选：C 6点(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)均在函数 y=的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是( ) A y3y2y1 B y2y3y1 C y1y3y2 D y1y2y3 【答案】D 再战高中题 能力提升 B 组组 1下列函数的定义域与相同的是 A B C D 【答案】D 2下列函数中，定义域为0 x x 的函数是( ) A lnf xx B 1f x
12、x C f xx D 2xf x 【答案】A 【解析】 1f xx的定义域为R|0 xx， f xx的定义域为0 x x ， 2xf x 定义域为R 故选：A 3已知集合2|9 Axyx，| Bxxa，若ABA，则实数a的取值范围是( ) A , 3 B , 3 C ,0 D 3, 【答案】A 【解析】由已知得3,3A ，由ABA，则AB，又,Ba，所以3a故选 A 4如图所示的图像表示的函数的解析式为 A y32|x1|(0 x2) B y32|x1|(0 x2) C y32|x1|(0 x2) D y1|x1|(0 x2) 【答案】B 【解析】当0,0 xy,排除,A C选项当31,2xy,排除D选项,故选 B 5若函数 f x满足12f xx，则 f x ( ) A 22x B 21x C 21x D 22x 【答案】A 【解析】1212f xx，所以 22f xx，选 A 6函数 132f xx的定义域为_ 【答案】3,2； 【解析】要使函数有意义，则3 20 x，解得32x ，所以函数定义域为3,2，故填3,2 7函数的定义域为_；值域为_ 【答案】 ； 8已知函数,，则_ 【答案】3 【解析】由题意，得，即，解得，即故填 3学-科网