1、第第 5 章章 一元二次方程一元二次方程 【知识衔接】 初中知识回顾 一元二次方程 )0(02acbxax () 1、实数根的判断 0方程()有两个不同的实数根 = 0方程()有两个相同的实数根 0方程()没有实数根 2、求根公式与韦达定理 当 0 时，方程()的实数根abx22, 1 并且 abxx21 acxx21 高中知识链接 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 如果)0(02acbxax的两个根是12xx，则12bxxa ，12cxxa 222121212()2xxxxx x， 21121211xxxxx x，12xxa 【经典题型】 初中经典题型 1关于x的一元二次
2、方程280 xxq有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( ) A16q B16q C 4q D4q 【答案】A 【解析】试题分析：根的判别式为6440q，解得：16q 故选答案 A 2若 、 为方程22510 xx 的两个实数根，则2235的值为的值为( ) A13 B12 C14 D15 【答案】B 【分析】根据一元二次方程解的定义得到22510 ，即2251，则2235可表示为 5(+)+3+1，再根据根与系数的关系得到 +=52，=12，然后利用整体代入的方法计算 点睛： 本题考查了根与系数的关系： 若1x ，2x是一元二次方程20axbxc(a0)的两根时，12bxxa ，12cx
3、xa也考查了一元二次方程解的定义学-科网 3关于 x 的一元二次方程2(2)(21)20mxmxm有两个不相等的正实数根，则 m 的取值范围是( ) A34m B34m 且2m C122m D324m 【答案】D 4已知关于 x 的一元二次方程2640 xxm 有两个实数根1x，2x (1)求 m 的取值范围； (2)若1x，2x满足1232xx，求 m 的值 【答案】(1)m5；(2)4 【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=204m0，解之即可得出结论； (2)由根与系数的关系可得126xx，124x xm， 分x20和x20可找出3x1=x2+2或3x1=x2+2，联立或
4、求出 x1、x2的值，进而可求出 m 的值 点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据方程的系数结合根的判别式，找出 =204m0；(2)分 x20 和 x20 两种情况求出 x1、x2的值 高中经典题型 1已知 m，n 是关于x的一元二次方程222240 xtxtt的两实数根，则(2)(2)mn的最小值是( ) A7 B11 C12 D16 【答案】D 点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系注意还需考虑有实数根时 t 的取值范围，这是本题最易漏掉的条件解此类题目要把代数式变形为两根之积或两根之和的形式 2关于 x 的一元二次方 程0222nmxx有两个整数根且
5、乘积为正，关 于 y 的一元二次方程0222mnyy同样也有两个整数根且乘积为正给出四个结论：这两个方程的根都是负根；2) 1() 1(22nm；1221nm其中正确结论的个数是( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【答案】C 【考点】1根与系数的关系；2根的判别式；3综合题 3如果关于 x 的一元二次方程20axbxc有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”以下关于倍根方程的说法，正确的是_(写出所有正确说法的序号) 方程220 xx是倍根方程； 若(2)()0 xmxn是倍根方程，则22450mmnn； 若点()pq，在反比例函数2yx的图像上
6、，则关于x的方程230pxxq是倍根方程； 若方程20axbxc是倍根方程，且相异两点(1)Mts ，N(4)ts ，都在抛物线2yaxbxc上，则方程20axbxc的一个根为54学科-网 【答案】 【考点】1新定义；2根与系数的关系；3压轴题；4阅读型 【解析】 试题分析： 研究一元二次方程20axbxc是倍根方程的一般性结论， 设其中一根为t， 则另一个根为2t，因此222()(2 )32axbxca xt xtaxatxt a，所以有2902bac；我们记292Kbac，即0K 时，方程20axbxc为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题： 对于， 29102Kbac，因此本选项错误；
7、 对于，2(2 )20mxnm xn，而29K(2 )( 2 )02nmmn，22450mmnn，因此本选项正确； 对于，显然2pq ，而29K302pq，因此本选项正确； 对于，由(1)Mts ，N(4)ts ，知145222btta ，5ba，由倍根方程的结论知2902bac， 从而有509ca， 所以方程变为：250509axaxa， 2945500 xx， 1103x ，253x ，因此本选项错误 故答案为： 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1一元二次方程2310 xx 与230 xx的所有实数根之和为( ) A2 B-4 C4 D3 【答案】D 【解析】 2已知关于 x
8、 的方程 x2+xa=0 的一个根为 2，则另一个根是( ) A3 B2 C3 D6 【答案】A 【解析】 试题解析：设方程的另一个根为 t， 根据题意得 2+t=1，解得 t=3， 即方程的另一个根是3 故选 A 考点：根与系数的关系 3已知 x=1 是一元二次方程02baxx的一个根，则222baba( ) A2 B1 C0 D-1 【答案】B 【解析】 试题分析：x=1 是一元二次方程02baxx的一个根，210ab，1ab， 222baba22()( 1)1ab 故选 B 4若是方程的两个根，且，则的值为( ) A或 2 B1 或 C D1 【答案】D 【解析】x1，x2是方程 x22
9、mx+m2m1=0 的两个根， x1+x2=2m，x1x2=m2m1 x1+x2=1x1x2， 2m=1(m2m1)，即 m2+m2=(m+2)(m1)=0，解得：m1=2，m2=1 方程 x22mx+m2m1=0 有实数根， =(2m)24(m2m1)=4m+40，解得：m1 m=1故选 D 5 已知关于 x 的一元二次方程的一个实数根为 2，则另一实数根及 m 的值分别为( ) A4，2 B4，2 C4，2 D4，2 【答案】D 21,xx01222mmmxx21211xxxxm122280 xmx6对于两个不相等的实数 a、b，我们规定符号 Maxa，b表示 a、b 中的较大值，如：Ma
10、x2，4=4，按照这个规定，方程21xMax xxx，的解为( ) A21 B22 C12或21 D12或1 【答案】D 【考点】1解分式方程；2新定义；3综合题 7若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x-1=0 无解 ，则 a 的取值范围是_ 【答案】a-1 【解析】当0440aa 时，一元二次方程无解，解得 a-1，且0a ，所以 a 的取值范围是 a-1 8 若一元二次方程 ax2=b(ab0)的两个根分别是 m+1 与 2m4，则ba= 【答案】4 再战高中题 能力提升 B 组组 1 三角形的两边长分别为 3 和 6， 第三边的长是方程2680 xx的一个根， 则这个三角形的周长为(
11、 ) A11 B13 C11 或 13 D12 【答案】B 【解析】 2若实数 a、b 满足(44 )(442)80abab，则ab=_ 【答案】12或 1 【考点】换元法解一元二次方程 【解析】 试题分析： 设ab=x， 则由原方程， 得：4 (42)80 xx， 整理， 得：(21)(1)0 xx， 解得112x ，21x 则ab的值是12或 1故答案为：12或 1 3设一元二次方程2310 xx 的两根分别是1x，2x，则21222(3)xxxx= 【答案】3 【分析】由题意可知22231xx，代入原式得到12xx，根据根与系数关系即可解决问题 【解析】一元二次方程2310 xx 的两根
12、分别是1x，2x，211310 xx ，222310 xx ， 123xx，22231xx，21222(3)xxxx=123xx，故答案为：3 4已知在关于 x 的分式方程121kx和一元二次方程 2(2)3(3)0k xmxk n中，k、m、n 均为实数，方程的根为非负数 (1)求 k 的取值范围； (2)当方程有两个整数根1x、2x，k 为整数，且 k=m+2，n=1 时，求方程的整数根； (3)当方程有两个实数根1x、2x，满足112212()()()()x xkx xkxk xk，且 k 为负整数时，试判断2m 是否成立？请说明理由 【答案】(1)k1 且 k1且 k2；(2)当 m=
13、1 时，整数根为 0，3；当 m=1 时，整数根为 1，2；(3)2m 不成立 【解析】(1)关于 x 的分式方程121kx的根为非负数，x0 且 x1，又x=12k 0，且12k 1，解得 k1 且 k1，又一元二次方程2(2)3(3)0k xmxk n中 2k0，k2，综上可得：k1且 k1 且 k2； (2)一元二次方程(2(2)3(3)0k xmxk n有两个整数根1x、2x， 且 k=m+2， n=1 时， 把 k=m+2，n=1 代入原方程得：23(1)0mxmxm，即：2310mxmxm ，0，即 =2( 3 )4 (1)(54)0mm mmm且 m0，1x、2x是整数，k、m
14、都是整数，123xx， 12111mx xmm ，11m为整数，m=1 或1，把 m=1 代入方程2310mxmxm 得： 230 xx，1x=0，2x=3； 把m=1 代入方程2310mxmxm 得：2320 xx，(x1)(x2)=0，1x=1，2x=2； 当 m=1 时，整数根为 0，3；当 m=1 时，整数根为 1，2 (3)2m 不成立，理由是： 由(1)知：k1 且 k1 且 k2，k 是负整数，k=1，2(2)3(3)0k xmxk n且方程有两个实数根1x、2x，1232mxxmk ，123423kx xk，112212()()()()x xkx xkxk xk，2221212xxx xk，221212()30 xxx xk，24()3103m ，25m ，m=5，2m 不成立 点睛：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：解分式方程时分母不能为 0；一元二次方程有两个整数根时，根的判别式 为完全平方数