1、第第 1 章章 乘法公式与因式分解乘法公式与因式分解 【知识衔接】 初中知识回顾 1乘法公式乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1)平方差公式 22()()ab abab； (2)完全平方公式 222()2abaabb 2因式分解因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，初中课本涉及到的常用方法主要有：提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)，因式分解与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能 高中知识链接 我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式： (3)立方和公式 223
2、3()()ab aabbab； (4)立方差公式 2233()()ab aabbab； (5)三数和平方公式 2222()2()abcabcabbcac； (6)两数和立方公式 33223()33abaa babb； (7)两数差立方公式 33223()33abaa babb 我们用多项式展开证明式子(3)，其余请自行证明：学-科网 证明：证明：3332222322)(bababbaabbaabababa 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等 【经典题型】 初中经典题型 1如果，
3、那么代数式的值是( ) A 6 B 2 C -2 D -6 【答案】A 【点睛】本题考查了代数式求值，涉及到单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项等，利用整体代入思想进行解题是关键 2若 n满足(n-2011)2+(2012-n)2=1,则(2012-n)(n-2011)等于( ) A 1 B 0 C D 1 【答案】B 【解析】 分析： 首先设 a=n2011， b=2012n， 然后根据完全平方公式得出 ab 的值， 从而得出答案 详解：设 a=n2011，b=2012n， a+b=1， ， ab=1，即(n2011)(2012n)=1，故选 B 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用
4、，属于中等难度的题型解决这个问题的关键就是得出两个代数式的和为 1，这是一个隐含条件 3已知： ，则代数式的值是_ 【答案】8 【解析】分析：先将所求式子化简，然后将 a2+a4 整体代入计算即可求答案 详解：， ， 原式4+48 故答案为：8 【点睛】本题考查了整式的加减运算、整体思想正确进行计算，并利用整体思想将式子的值直接代入是解题的关键 4已知 x22x1=0求代数式(x1)2+x(x4)+(x2)(x+2)的值 【答案】0 【解析】分析：根据整式的运算法则即可求出答案 详解：原式=x2-2x-1+x2-4x+x2-4 =3x2-6x-3 x2-2x-1=0 原式=3(x2-2x-1)
5、=0 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型 5把下列各式分解因式： (1)224yx (2)338yx (2)22312123xyyxx (4)2232nmnm (5)bbaa44222 (6)2222abaxyayax 6把下列各式因式分解： (1)x23x2； (2)x24x12； (3)22()xab xyaby； (4)1xyxy 【解析】(1)如图 111，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2
6、) 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 1 中的两个x用 1 来表示(如图 2 所示) (2)由图 3，得 x24x12(x2)(x6) (3)由图 4，得 22()xab xyaby()()xay xby (4)1xyxy xy(xy)1(x1) (y+1) (如图 5) 7求证：四个连续正整数3, 2, 1,nnnn(其中n表示正整数)的积与 1 的和是完全平方数 证明：(方法一)由题意，1)2)(1)(3(1)3)(2)(1(nnnnnnnn 1 2 x x 图 1 1 2 1 1 图 2 2 6 1 1 图 3 ay by x x 图 4 1 1 x y 图 5 2
7、222222) 13(1)3(2)3(12)3)(3(nnnnnnnnnn 所以得证 说明：将nn32看成整体进行配方即可 (方法二)由题意得，161161)3)(2)(1(234nnnnnnnn 要证明上式是完全平方数，只要证明上式等于一个式子的平方 令上式22) 1(ann，从而求得3a，所以得证 高中经典题型 1计算： (1)416)(4(2mmm (2)41101251)(2151(22nmnmnm (3)164)(2)(2(24aaaa (4)22222)(2(yxyxyxyx 说明说明：(1)在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构 (2)为了更好地
8、使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和 1、2、3、4、10 的立方数，是非常有好处的 2已知)3)(32(1437622cyxbyxayxyxyx，试确定cba,的值 解：由题设，得)3)(32(1437622cyxbyxayxyxyx bcycbxcbyxyx)3()23(37622 比较对应项系数，得abccbcb131423，所以144cba 3把2105axaybybx分解因式 【解析】把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取公因式 21052 (5 )(5 )(
9、5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试 4把2222()()ab cdab cd分解因式 【解析】按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式 22222222()()ab cdab cdabcabda cdb cd 2222()()abca cdb cdabd()()()()ac bcadbd bcadbcad acbd 说明：由此例可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了
10、提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用 5把22xyaxay分解因式 【解析】【解析】把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy 22()()()()()xyaxayxy xya xyxy xya 6把2222428xxyyz分解因式 【解析】【解析】先将系数 2 提出后，得到22224xxyyz，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式 22222224282(24)xxyyzxxyyz222()(2 ) 2(2 )(
11、2 )xyzxyz xyz 说明：说明：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式 【实战演练】 先作初中题 夯实基础 A 组组 1如果多项式29xmx是一个完全平方式，则m的值是 2如果多项式kxx82是一个完全平方式，则k的值是 322_abab 222_abab 4已知17xy，60 xy ，则22xy 5把下列各式因式分解 (1) 276xx (2) 21336xx (3) 2524xx (4) 2215xx 6把下列各式因式分解： (1) 226xxyy (2) 222
12、()8()12xxxx 再战高中题 能力提升 B 组组 1填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： (1)3(3)()27xx； (2)3(23)()827xx (3)26(2)()8xx； (4)3(32)()278aa (5)3(2)()x； (6)3(23 )()xy 2运用立方和与立方差公式计算： (1)2(3)(39)yyy (2)224224()()xyxx yy 3计算： (1) 2(34 )xyz (2) 2(21)()(2 )abab ab (3) 222()()()ab aabbab (4) 221(4 )(4)4ababab 4若112xy，则33xxyyxxyy
13、的值为( ) A35 B35 C53 D53 5若2210 xx ，则221xx_；331xx_ 6已知2310 xx ，求3313xx的值 7展开3(2)x 8计算(1)(2)(3)xxx 9计算()()()()xyzxyz xyz xyz 10把下列各式分解因式： (1) 2222()()ab cdcd ab (2) 22484xmxmnn (3) 464x (4) 32113121xxx (5) 3223428xxyx yy 11已知2,23abab，求代数式22222a ba bab的值 12证明：当n为大于 2 的整数时，5354nnn能被 120 整除 13已知0abc ，求证：3
14、2230aa cb cabcb 第第 1 章章 乘法公式与因式分解答案乘法公式与因式分解答案 1乘法公式答案乘法公式答案 A 组 16 216 34ab； 2ab 4169 5(1) 6( 1)( 6),( 1)( 6)7 Q， 276( 1)( 6)(1)(6)xxxxxx 6(1) 222266(3 )(2 )xxyyxyxxy xy (2) 22222()8()12(6)(2)xxxxxxxx(3)(2)(2)(1)xxxx B 组 1(1)239xx (2)2469xx (3)4224xx (4)2964aa (5)326128xxx (6)32238365427xx yxyy 2(1
15、)327y (2)66xy 3 (1) 2229166824xyzxyxzyz (2) 22353421aabbab (3) 2233a bab (4) 331164ab 4 D 5解：2210 xx Q，0 x，212xx ，12xx (1)222211()2( 2)26xxxx ； (2)331xx2211()(1)2 (6 1)14xxxx 6解：2310 xx Q 0 x 31xx 原式=22221111()(1)3()()333(33)321xxxxxxxx 7326116xxx 843210355024xxxx 9444222222222xyzx yx zy z 1022()(),(42 )(2 ),(48)(48),bcad acbdxmn xnxxxx 2(1)(3)(7 ), (2 ) (2 )xxxxyxy 11283 125354(2)(1) (1)(2)nnnnnn nn 13322322()()aa cb cabcbaabbabc