1、20212022 学年山东省青岛市即墨区八年级（上）期中数学试卷学年山东省青岛市即墨区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8道小题，每小题道小题，每小题 3 分）下列每小题都给出标号为分）下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或者选出的标号超的四个结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或者选出的标号超过一个的不得分过一个的不得分 1. 下列实数2，13，|3|，4，38，7，0.4040404（每相邻两个 4之间一个 0）中，无理数有（ ） A. 1 个 B. 2
2、个 C. 3 个 D. 4 个 2. 若点 A（3，a）与 B（b，2）关于 x 轴对称，则点 M（a，b）所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 与171最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 变量 x，y一些对应值如表： x 2 1 0 1 2 3 y 4 2 0 2 4 6 根据表格中的数据规律，当 x11时，y的值是（ ） A. 22 B. 11 C. 11 D. 22 5. 如图， 在3 3的正方形网格中， 每个小正方形的边长均为 1， 点A，B，C都在格点上， 若BD是ABCV的边AC上的高，则BD的长为（
3、 ） A. 52613 B. 102613 C. 13137 D. 71313 6. 已知一次函数1yaxb=+和2ybxa=+()ab， 函数1y和2y的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 7. 小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明 7：40 先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ） A. 小明家和学校距离 1200 米 B. 小华乘公共汽车的速度是 240 米/分 C. 小华乘坐公共汽车后 7：50与小
4、明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为 80 米/分 8. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNPQ的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1S2S360，则 S2的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 24 分，共有分，共有 8道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9. 若 x364，则x_ 10. 如果一个正数的两个平方根是 2a1 和 43a，那么这个正数是_ 11. 如图是一机器人比赛行走的路径， 机器人从 A处先往东走 8m， 又往
5、北走 3m， 遇到障碍后又往西走 4m，再转向北走 9m往东拐，仅走 1m就到达了 B问 A、B 两点之间的距离为_m 12. 已知一次函数 ykxb 的图象不经过第三象限，且点（1，y1） ， （1，y2）在该函数图像上，则 y1，y2的大小关系是 y1_y2（用“、”连接） 13. 如图，过点 A（0，3）的一次函数的图象与正比例函数 y2x的图象相交于点 B，这个一次函数的表达式是_ 14. 小明和小颖下棋，小明执圆子，小颖执方子如图，棋盘中心方子的位置用（0，1）表示，右上角方子的位置用（1，0）表示小明将第 4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形他放的位置可以表示为_ 15.
6、 如图，已知圆柱底面周长为 8dm，圆柱高为 4dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为_dm 16. 如图，一个粒子在第一象限内及 x 轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点 （1，0） ， 第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1） ，而后它接着按图中箭头所示在与 x轴，y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动 1个单位长度，那么在第 2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是_ 三、解答题（共三、解答题（共 8 道小题，满分道小题，满分 72分）分） 17. 在数轴上作出10的对应点 18. 计算题 （1）327212348； （2） （2
7、123）3； （3）2 1233（13）0； （4） （51） （51）27 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A，点 B在网格中的位置如图所示 （1）请在下面方格纸中建立适当的平面直角坐标系，使点 A、点 B的坐标分别为（1，3） 、 （4，2） ； （2）点 C的坐标为（2，1） ，在平面直角坐标系中标出点 C的位置，连接 AB，BC，CA，则 ABC的面积为 （3）在图中画出 ABC关于 y轴对称的图形 A1B1C1，并写出各点坐标：A1（ ） ，B1（ ） ，C1（ ） ； （4）在 x轴上找到一点 P，使 ABP 的周长最小，直接写出这个周长的最小值： 2
8、0. 笔直的河流一侧有一营地 C，河边有两个漂流点 A，B、其中 ABAC，由于周边施工，由 C到 A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点 H（A，H，B在同一直线上） ，并新修一条路 CH，测得 BC10千米，CH8千米，BH6千米 （1）判断BCH的形状，并说明理由； （2）求原路线 AC 的长 21. 某剧院举行新年专场音乐会，成人票每张 40 元，学生票每张 10元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案 1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案 2：按总价的 90%付款某校有 4名老师与 x（x4）名学生去观赏这次音乐会，设用方案 1 和方
9、案 2 付款的总金额分别为 y1（元）和 y2（元） （1）分别求出 y1、y2与 x之间的函数关系式； （2）当学生人数为 20名时，请通过计算说明哪种方案更优惠； （3）请通过计算说明：当学生人数为多少时，选择两种方案一样优惠？ 22. 如图，直线 l1：y1axa，l1与 x轴交于点 B，直线 l2：y232xb，l2与 x轴交于点 A，直线 l1，l2交于点 C（2，3） （1）a ；点 B 的坐标为 ； （2）求直线 l2解析表达式； （3）求ABC面积 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向
10、常春在 1994 年构造发现了一个新的证法 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形ABC 和DAE如图 1放置， 其三边长分别为 a， b， c 显然， DABB90，ACDE请用 a，b，c分别表示出梯形 ABCD，四边形 AECD，EBC 的面积： S梯形ABCD ， SEBC ， S四边形AECD ， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理 【知识运用】 如图 2，河道上 A，B 两点（看作直线上的两点）相距 200 米，C，D为两个菜园（看作两个点） ，ADAB，BCAB，垂足分别为 A，B，AD80米，BC70 米，现在菜农要在 AB 上确定一个抽
11、水点 P，使得抽水点P 到两个菜园 C，D 的距离和最短，则该最短距离为 米 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当 0 x15 时，代数式229(15)25xx的最小值 24. 我们在学习二次根式时， 了解了分母有理化及其应用 其实， 还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式 比如：( 76)( 76)7676176 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题例如：比较：76和65的大小可以先将它们分子有理化如下： ：17676，16565 因为7665，所以，7665 再例如，求 y22xx的
12、最大值、做法如下： 解：由 x20，x20可知 x2，而 y22xx422xx当 x2时，分母22xx有最小值 2.所以 y的最大值是 2 利用上面的方法，完成下面问题： （1）比较1918和1817的大小； （2）求 y1x 1x2的最大值 20212022 学年山东省青岛市即墨区八年级（上）期中数学试卷学年山东省青岛市即墨区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8道小题，每小题道小题，每小题 3 分）下列每小题都给出标号为分）下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或者选出的标号
13、超的四个结论，其中只有一个是正确的每小题选对得分；不选、选错或者选出的标号超过一个的不得分过一个的不得分 1. 下列实数2，13，|3|，4，38，7，0.4040404（每相邻两个 4之间一个 0）中，无理数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根、立方根先化简，然后再根据无理数的概念“无限不循环小数”可直接进行排除选项 【详解】解：342,82 ， 无理数的有：2，7，共两个； 故选 B 【点睛】本题主要考查无理数、立方根及算术平方根，熟练掌握无理数、立方根及算术平方根是解题的关键 2. 若点 A（3，a）与 B（b，2
14、）关于 x 轴对称，则点 M（a，b）所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出 a、b的值，从而得到点 M的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答 【详解】解：点 A（-3，a）与 B（b，2）关于 x 轴对称， a=-2，b=-3， 点 M 坐标为（-2，-3） ，在第三象限 故选：C 【点睛】本题考查了关于 x 轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的
15、点，纵坐标相同，横坐标互为相反数 3. 与171最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先估算出17的范围，再求出17+1的范围，最后得出选项即可 【详解】解：421752， 4175， 又42174.52， 17最接近的整数为 4， 与17+1最接近的整数是 5， 故选：B 【点睛】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能估算出17的范围是解此题的关键 4. 变量 x，y 的一些对应值如表： x 2 1 0 1 2 3 y 4 2 0 2 4 6 根据表格中的数据规律，当 x11时，y的值是（ ） A. 22 B. 11 C. 11
16、D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格中变量 x、y的变化关系，得出函数关系式，再代入计算即可 【详解】解：由表格中变量 x每增加 1 个单位，y就减少 2 个单位，且经过点(0，0)， 所以变量 x、y的变化关系为正比例函数关系，即 y=-2x， 当 x=11 时，y=-2 11=-22， 故选：A 【点睛】 本题考查了函数值， 根据表格中变量之间的变化关系和对应值得出函数关系式是解决问题的关键 5. 如图， 在3 3的正方形网格中， 每个小正方形的边长均为 1， 点A，B，C都在格点上， 若BD是ABCV的边AC上的高，则BD的长为（ ） A. 52613 B. 102613
17、C. 13137 D. 71313 【答案】D 【解析】 【分析】 根据勾股定理计算 AC的长， 利用割补法可得ABC的面积， 由三角形的面积公式即可得到结论 【详解】解：由勾股定理得：AC222313， SABC3312121213122372， 12ACBD72， 13BD7， BD71313 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键 6. 已知一次函数1yaxb=+和2ybxa=+()ab， 函数1y和2y的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图形的性质，结合题意1yaxb=+和2ybxa=+()
18、ab，即可得到答案. 【详解】当0,0ab，1y、2y的图象都经过一、二、三象限 当0,0ab，1y、2y的图象都经过二、三、四象限 当0,0ab，1y的图象都经过一、三、四象限，2y的图象都经过一、二、四象限 当0,0ab，1y的图象都经过一、二、四象限，2y的图象都经过一、三、四象限 满足题意的只有 A. 故选 A. 【点睛】本题考查一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质. 7. 小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明 7：40 先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已
19、走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ） A. 小明家和学校距离 1200 米 B. 小华乘公共汽车的速度是 240 米/分 C. 小华乘坐公共汽车后 7：50与小明相遇 D. 小明从家到学校的平均速度为 80 米/分 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知信息和函数图象的数据，依次解答每个选项 【详解】解：由图象可知，小华和小明的家离学校 1200米，故 A正确； 根据图象，小华乘公共汽车，从出发到到达学校共用了13 85 （分钟） ，所以公共汽车的速度为1200 5240 （米/分） ，故 B正确； 小明先出发 8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐
20、的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8 480 24010（分钟） ，即 7：50相遇，故 C 正确； 小明从家到学校的时间为 20 分钟，所以小明的平均速度为1200 2060（米/分） ，故 D错误 故选：D 【点睛】此题考查一次函数的实际应用，正确理解函数图象，掌握行程问题中时间、速度、路程之间的关系是解题的关键 8. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNPQ的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1S2S360，则 S2的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D.
21、 25 【答案】C 【解析】 【分析】 设每个小直角三角形的面积为m， 则S1=4m+S2， S3=S2-4m， 依据S1+S2+S3=60， 可得4m+S2+S2+S2-4m=60，进而得出 S2的值 【详解】解：设每个小直角三角形的面积为 m，则 S1=4m+S2，S3=S2-4m， S1+S2+S3=60， 4m+S2+S2+S2-4m=60， 即 3S2=60， 解得 S2=20 故选：C 【点睛】本题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用 m 表示出 S1，S3，再利用 S1+S2+S3=60 求出是解决问题的关键 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 24 分，共有分，共有 8
22、道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9. 若 x364，则x_ 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根求出 x，进而求出x 【详解】x364 x=4 x=42 故答案：2 【点睛】此题主要考查实数的求解，解题的关键是熟知立方根与二次根式的性质 10. 如果一个正数的两个平方根是 2a1 和 43a，那么这个正数是_ 【答案】121 【解析】 【分析】根据平方根的定义得出 2a1+43a0，再进行求解即可得出答案 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是 2a1 和 43a， 2a1+43a0， a5； 2a111，故这个正数是 112=121 故答案为：121 【点睛】本题考查了平方根
23、的应用，能得出关于 a的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数 11. 如图是一机器人比赛行走的路径， 机器人从 A处先往东走 8m， 又往北走 3m， 遇到障碍后又往西走 4m，再转向北走 9m往东拐，仅走 1m就到达了 B问 A、B 两点之间的距离为_m 【答案】13 【解析】 【分析】过点 B作 A 所在水平直线的垂线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解 【详解】解：过点 B作 BC垂直 A所在水平直线于点 C，如图， ， 根据题意可得，A处与 B处水平距离为 8-4+1=5，竖直距离为 3+9=12， AC=5，BC=12， AB=22512=13， 故答案为：
24、13 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用问题，解题关键是构造直角三角形模型，分别找到对应边的长度，利用勾股定理求解， 12. 已知一次函数 ykxb 的图象不经过第三象限，且点（1，y1） ， （1，y2）在该函数图像上，则 y1，y2的大小关系是 y1_y2（用“、”连接） 【答案】 【解析】 【分析】由一次函数 y=kx+b 的图象不经过第三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出 k0，利用一次函数的性质可得出 y随 x 的增大而减小，结合 1-1，即可得出 y1y2 【详解】解：一次函数 y=kx+b的图象不经过第三象限， k0， y随 x增大而减小 又点（1，y1）和（-1，y2
25、）均在函数图象上，1-1， y1y2 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，牢记“k0，b0y=kx+b 的图象在一、二、四象限”是解题的关键 13. 如图，过点 A（0，3）的一次函数的图象与正比例函数 y2x的图象相交于点 B，这个一次函数的表达式是_ 【答案】yx3#y=3-x 【解析】 【分析】先求出点 B的坐标，然后运用待定系数法就可求出一次函数的表达式 【详解】解：由图可知：A（0，3） ，xB1 点 B在直线 y2x上， yB2 12， 点 B的坐标为（1，2） ， 设直线 AB的解析式为 ykxb， 则有：32bkb， 解得：13kb ， 直
26、线 AB的解析式为 yx3； 故答案为：yx3 【点睛】本题主要考查了直线图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，根据题意确定直线上两点的坐标是关键 14. 小明和小颖下棋，小明执圆子，小颖执方子如图，棋盘中心方子的位置用（0，1）表示，右上角方子的位置用（1，0）表示小明将第 4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形他放的位置可以表示为_ 【答案】(0,0) 【解析】 【分析】根据题意确定坐标原点的位置，根据轴对称图形的性质，确定圆子的位置，再求出坐标即可 【详解】解：根据题意可得：棋盘中心方子的坐标为（0，1） ，右上角方子的坐标为（1，0） 则坐标原点为最右侧中间
27、圆子的位置，如图建立坐标系： 放入第 4枚圆子，使得图形为轴对称图形，则圆子的位置应该在中间一排方子的上方，如下图： 点的位置坐标为(0,0) 故答案为(0,0) 【点睛】此题考查了图形与坐标，轴对称图形的性质，解题的关键是根据题意确定原点的位置并且确定轴对称图形时，圆子的位置 15. 如图，已知圆柱底面的周长为 8dm，圆柱高为 4dm，在圆柱的侧面上，过点 A和点 C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为_dm 【答案】8 2 【解析】 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，
28、得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为 2AC 的长度 圆柱底面的周长为 8dm，圆柱高为 4dm， AB=4dm，BC=BC=4dm， AC2=42+42=32， AC=42（dm） 这圈金属丝的周长最小为 2AC=8 2（dm） 故答案为：8 2 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键 16. 如图，一个粒子在第一象限内及 x 轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点 （1，0） ， 第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1） ，而后它接着按图中箭头所示在与
29、 x轴，y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动 1个单位长度，那么在第 2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是_ 【答案】 （44，2） 【解析】 【分析】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题 【详解】解：由题知（0，0）表示粒子运动了 0分钟， （1，1）表示粒子运动了 2=1 2（分钟） ，将向左运动， （2，2）表示粒子运动了 6=2 3（分钟） ，将向下运动， （3，3）表示粒子运动了 12=3 4（分钟） ，将向左运动， ， 于是会出现： （44，44）点粒子运动了 44 45=1980（分钟） ，此时粒子将会向下运动， 在第 2022分钟时，粒子又向下移动了 2021-19
30、80=42 个单位长度， 粒子的位置为（44，2） ， 故答案是： （44，2） 【点睛】本题是考查了点的坐标的确定解答此题的关键是总结规律首先确定点所在的大致位置，然后就可以进一步推得点的坐标 三、解答题（共三、解答题（共 8 道小题，满分道小题，满分 72分）分） 17. 在数轴上作出10的对应点 【答案】详见解析 【解析】 【分析】因为221031，所以在数轴上以原点 O 向左数出 3 个单位（为点 A）作为直角三角形的一条直角边，过点作数轴的垂线并截取 AB为 1个单位长度，连接 OB，求得 OB，最后以点 O为圆心，以 OB为半径画弧，交数轴的负半轴于点 C即为所求 【详解】解：如图
31、， 【点睛】此题主要考查实数与数轴，解题的关键是熟知勾股定理的应用. 18. 计算题 （1）327212348； （2） （2123）3； （3）2 1233（13）0； （4） （51） （51）27 【答案】 （1）3 16 3 ； （2）62； （3）6； （4）43 3 【解析】 【分析】 （1）根据立方根以及二次根式的加减运算求解即可； （2）根据二次根式的四则运算求解即可； （3）根据二次根式的除法以及零指数幂的运算求解即可； （4）根据平方差公式以及二次根式的加减运算，求解即可 【详解】解： （1）34834 327211232 33 16 3 ； （2）2212363633(2
32、)3； （3）02 123(13)2 2 1 163 ； （4）( 51)( 51)275 1 3 343 3 ； 【点睛】此题考查了二次根式的四则运算，涉及了零指数幂、立方根以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的有关运算 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，点 A，点 B在网格中的位置如图所示 （1）请在下面方格纸中建立适当的平面直角坐标系，使点 A、点 B的坐标分别为（1，3） 、 （4，2） ； （2）点 C的坐标为（2，1） ，在平面直角坐标系中标出点 C的位置，连接 AB，BC，CA，则 ABC的面积为 （3）在图中画出 ABC关于 y轴对称的图形 A1
33、B1C1，并写出各点坐标：A1（ ） ，B1（ ） ，C1（ ） ； （4）在 x轴上找到一点 P，使 ABP 的周长最小，直接写出这个周长的最小值： 【答案】 （1） 图见解析 （2） 图见解析，52； （3） 图见解析， -1， -3； -4， -2； -2， -1； （4） 图见解析，3410 【解析】 【分析】 （1）依据点 A，点 B 的坐标分别为（1，3） ， （4，2） ，即可得到坐标轴的位置； （2）依据点 C 的坐标为（2，1） ，即可在平面直角坐标系中画出ABC，利用割补法求出三角形的面积； （3）依据轴对称的性质，即可得到ABC 关于 x轴对称的图形 A1B1C1，再写出
34、各点坐标； （4）找到 A点关于 x轴的对称点 A，连接 AB，与 x轴的交点即为 P点，再利用勾股定理求出周长 详解】解： （1）直角坐标系如图所示； （2）如图所示，ABC即为所求；ABC的面积为11152 32 11 23 12222 故答案为：52； （3）如图所示， A1B1C1即为所求 A1（-1，-3） ，B1（-4，-2） ，C1（-2，-1） ； （4）如图，A 点关于 x 轴的对称点 A，连接 AB，与 x 轴的交点 P 点为所求； 此时 A（1，3） 故 AP+BP= AP+BP=AB=221 43234 AB=221 43210 此时 ABP的周长为3410 【点睛】本
35、题主要考查了利用轴对称变换作图、勾股定理，熟知关于 y 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键 20. 笔直的河流一侧有一营地 C，河边有两个漂流点 A，B、其中 ABAC，由于周边施工，由 C到 A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点 H（A，H，B在同一直线上） ，并新修一条路 CH，测得 BC10千米，CH8千米，BH6千米 （1）判断BCH的形状，并说明理由； （2）求原路线 AC 的长 【答案】 （1）HBC 是直角三角形，理由见解析； （2）原来的路线 AC 的长为253千米 【解析】 【分析】 （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可 【详解】
36、解： （1）BCH是直角三角形， 理由是：在CHB中， CH2+BH2=82+62=100， BC2=100， CH2+BH2=BC2， HBC是直角三角形且CHB=90 ； （2）设 AC=AB=x 千米，则 AH=AB-BH=（x-6）千米， 在 RtACH 中，由已知得 AC=x，AH=x-6，CH=8， 由勾股定理得：AC2=AH2+CH2， x2=（x-6）2+82， 解这个方程，得 x=253， 答：原来的路线 AC的长为253千米 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理 21. 某剧院举行新年专场音乐会，成人票每张 40 元，学生票每张 10
37、元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案 1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案 2：按总价的 90%付款某校有 4名老师与 x（x4）名学生去观赏这次音乐会，设用方案 1 和方案 2 付款的总金额分别为 y1（元）和 y2（元） （1）分别求出 y1、y2与 x之间的函数关系式； （2）当学生人数为 20名时，请通过计算说明哪种方案更优惠； （3）请通过计算说明：当学生人数为多少时，选择两种方案一样优惠？ 【答案】 （1）110120yx；29144yx（2）方案 1更优惠；理由见解析； （3）24人 【解析】 【分析】 （1）根据题意可以写出 y1、y2与
38、 x 之间的函数关系式； （2）将20 x=代入（1）中的解析式，求出 y1、y2的比较即可； （3）令12yy，求解即可 【详解】解： （1）由题意可得： 144010(4)10120yxx， 2(44010 )90=9144yxx； （2）当学生人数20 名时， 1101201020120320yx， 29144920144324yx， 320324， 方案 1更优惠； （3）当12yy时， 101209144xx， 解得：24x ， 当学生人数为24人时，两种方案一样优惠 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，根据题意得出 y1、y2与 x 之间的函数关系式是解本题的关键 22. 如图，
39、直线 l1：y1axa，l1与 x轴交于点 B，直线 l2：y232xb，l2与 x轴交于点 A，直线 l1，l2交于点 C（2，3） （1）a ；点 B 的坐标为 ； （2）求直线 l2的解析表达式； （3）求ABC的面积 【答案】 （1）-3， （1，0） ； （2）直线 l2的解析式为：y=32x-6； （3）SABC=92 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求得直线 l1的解析式，再令 y=0可得答案； （2）利用待定系数法可得答案； （3）根据三角形的面积公式可得答案； 【详解】解： （1）直线 l1，l2交于点 C（2，-3） -3=2a-a， a=-3， 直线 l1的解析式
40、为：y=-3x+3， 令 y=-3x+3=0， x=1， 点 B的坐标为（1，0） ， 故答案为：-3， （1，0） ； （2）直线 l1，l2交于点 C（2，-3） -3=322+b， b=-6， 直线 l2的解析式为：y=32x-6； （3）令 y=32x-6=0， x=4， 点 A的坐标为（4，0） ， A（4，0） ，C（2，-3） ，B（1，0） ， SABC=12 3 3=92 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键 23. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的
41、数学家，也有业余数学爱好者向常春在 1994 年构造发现了一个新的证法 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形ABC 和DAE如图 1放置， 其三边长分别为 a， b， c 显然， DABB90，ACDE请用 a，b，c分别表示出梯形 ABCD，四边形 AECD，EBC 的面积： S梯形ABCD ， SEBC ， S四边形AECD ， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理 【知识运用】 如图 2，河道上 A，B 两点（看作直线上的两点）相距 200 米，C，D为两个菜园（看作两个点） ，ADAB，BCAB，垂足分别为 A，B，AD80米，BC70 米，现在
42、菜农要在 AB 上确定一个抽水点 P，使得抽水点P 到两个菜园 C，D 的距离和最短，则该最短距离为 米 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当 0 x15 时，代数式229(15)25xx的最小值 【答案】 （小试牛刀）21122aab，21122abb，212c，BCEABCDAECDSSS梯形四边形； （知识运用）250米； （知识迁移）17 【解析】 【分析】 （小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形AECD面积为ADEV和CDE的面积和，求解即可； （知识运用）作点C关于AB的对称点E，连接PCPE、，则PCPE，由三角形三边关系可得当DPE、 、三点共线时，P
43、CPD距离最小； （知识迁移）如下图，ABADBCAB、，15AB，3AD、5BC ，点P为线段AB上一点，则229(15)25PDPCxx，由上可得当DPC、 、三点共线时，PCPD距离最小 【详解】解： （小试牛刀）21111()()2222ABCDSBCADABabaaab梯形 21111()2222BCESBCBEbababb 211111()22222AEDDCEAECDSSSDEAFDE CFDEAFCFDEACc四边形 由图形可得BCEABCDAECDSSS梯形四边形 化简可得222abc 故答案为：21122aab，21122abb，212c，BCEABCDAECDSSS梯形四
44、边形； （知识运用）作点C关于AB的对称点E，连接PCPEDE、，如下图： 由题意可得：PCPE PCPDPDPE，则PCPD的最小值，即为PDPE的最小值 由三角形三边关系可得：PDPEDE，当DPE、 、三点共线时PDPEDE PCPD的最小值为DE，22200(8070)250DE 米 故答案为250米； （知识迁移）如下图，ABADBCAB、，15AB，3AD、5BC ，点P为线段AB上一点，则229(15)25PDPCxx， 由上可得当DPC、 、三点共线时，PCPD距离最小，最小为CD， 2215828917CD 故答案为17 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解
45、题的关键是熟练掌握勾股定理的应用 24. 我们在学习二次根式时， 了解了分母有理化及其应用 其实， 还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式 比如：( 76)( 76)7676176 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题例如：比较：76和65的大小可以先将它们分子有理化如下： ：17676，16565 因为7665，所以，7665 再例如，求 y22xx的最大值、做法如下： 解：由 x20，x20可知 x2，而 y22xx422xx当 x2时，分母22xx有最小值 2.所以 y的最大值是 2 利用上
46、面的方法，完成下面问题： （1）比较1918和1817的大小； （2）求 y1x 1x2的最大值 【答案】 （1）19181817； （2）22 【解析】 【分析】 （1）利用分母有理化得到191811918，181711817，然后根据分母大的分数反而小解答即可； （2）根据二次根式有意义的条件得出10 x ，10 x ，利用分母有理化得到2211yxx ，根据题意解答即可 【详解】解： （1）191811918，181711817， 19181817， 1119181817， 即19181817； （2）10 x ，10 x ， 1x， y1x 1x22211xx ， 当1x 时，分母11xx 有最小值2， 则y的最大值为：22222 【点睛】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中根号化去，也考查了平方差公式