1、第第 5 5 章章 走进图形世界走进图形世界 一、一、单项选择题单项选择题 1如图，有一个无盖的正方体纸盒，的下底面标有字母“M”，若沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，这个平面图形是（ ） A B C D 2如图，是由 27 个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是3 3的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为3 3的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ） A9 B10 C12 D15 3由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（ ） A4 个或 5 个 B5 个或 6 个 C6 个或 7 个 D7 个
2、或 8 个 4由 n 个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则 n 的最大值是( ) A18 B19 C20 D21 5用平面去截一个圆柱，截面不可能是（ ） A B C D 6如图 1 是一个正方体的展开图，该正方体按如图 2 所示的位置摆放，此时这个正方体朝下的一面的字是（ ） A中 B国 C梦 D强 7如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与4重合的数字是（ ） A9和13 B2和9 C1和13 D2和8 8下列四张纸片中，可以沿虚线折叠成如图所示的正方体纸盒的是（ ） A B C D 9将一个正方体的各个面涂上红色或蓝色（可以只用一种颜色）
3、，则正方体不同的涂色方案总共有（ ）种 A6 B8 C9 D10 10用一个平面去截一个几何体，得到的截面是五边形，这个几何体可能是（ ） A圆锥 B圆柱 C球体 D长方体 二、填空题 11十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+fe2，这就是著名的欧拉定理而正多面体，是指多面体的各个面都是形状大小完全相同的的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”： （1）如图 1，正四面体共有_个顶点，
4、_条棱 （2）如图 2，正六面体共有_个顶点，_条棱 （3）如图 3 是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有_个顶点，_条棱 （4）当我们没有正 12 面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正 12 面体每个面都是正 n（n3）边形，每个顶点处有 m（m3）条棱，则共有 12n 26n 条梭，有 12n m12nm个顶点欧拉定理得到方程：12nm+126n2，且 m，n 均为正整数， 去掉分母后：12n+12m6nm2m， 将 n 看作常数移项：12m6nm2m12n， 合并同类项：（106n）m12n， 化系数
5、为 1：m1212106610nnnn， 变形：12610nmn， 122020610nn， 122020610610nnn， 2(610)20610610nnn， 202610n 分析：m（m3），n（n3）均为正整数，所以20610n是正整数，所以 n5，m3，即 6n30，1220nm 因此正 12 面体每个面都是正五边形，共有 30 条棱，20 个顶点 请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正 20 面体共有_条棱；_个顶点 12 把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的四块， 其中点 E， F分别是 AB， AD 的中点，OBOCEF，OFEB， 用这四块纸片拼成一个与正
6、方形 ABCD 不重合的长方形 MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙） ，则长方形 MNPQ 的周长是_ 13 一位画家把 7 个边长为 1m 的相同正方体摆成如图的形状， 然后把露出的表面 （不包括底面） 涂上颜色，则涂色面积为_m2. 14将两个棱长相等的正方体如图摆放，每个正方体的 6 个面均标上数字，且所有对面数字之和均为 10，则图中看不见的面的数字之和为_ 15在桌子上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面，上面看到的形状如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为 n，则 n 的最大值为_。 16瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数 V、面数 F 及棱数 E 之间
7、满足一种有趣的关系：V+FE2，这个关系式被称为欧拉公式比如：正二十面体（如右图），是由 20 个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有 5 条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为_个那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有 3 条，它是一个_面体 17如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是_ 18将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置水平桌面上，如图 1在图 2 中，将骰子向右翻滚90，然后在桌面上按逆时针方向旋转90，则完成一次变换若骰子的初始位置为图 1
8、所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是_ 三、解答题 19在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为 acm 的正方体模型，小刘制作的是棱长为 acm 的正方体右上角割去一个长为 3cm，宽为 2cm，高为 1cm 的长方体模型（如图 2） （1）用含 a 的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是_； （2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的56，求 a 的值； （3）在（2）的条件下， 图 3 是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影表示出其余缺失部分，并标出边的长度 如果
9、把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是_cm；请你在图方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形 20如图所示，图 1 为一个棱长为 8 的正方体，图 2 为图 1 的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题： （1）如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x_，y _ （2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是_（填“x”或“y”或“2”） （3）图 1 中，点 M 为所在棱的中点，在图 2 中找点 M 的位置，直接写出图 2 中 ABM 的面积 21用棱长为2cm的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体图中
10、每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，L，第n层（n为正整数) （1）搭建第个几何体的小立方体的个数为 （2）分别求出第、个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积 （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂21cm需要油漆0.2克，求喷涂第20个几何体，共需要多少克油漆？ 22如图 1 所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图 2 的几何体 （1）设原大正方体的表面积为 a，图 2 中几何体的表面积为 b，那么 a 与 b 的大小关系是 ； Aab；Bab；Cab；D无法判断 （2）小明说“设图 1 中大正方体的棱长之和为 m，图 2 中几何体的各棱长之和
11、为 n，那么 n 比 m 正好多出大正方体的 3 条棱的长度”你认为小明的说法正确吗？为什么？ （3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图 3 是图 2 几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正 23如图 1 至图 3 是将正方体截去一部分后得到的多面体 （1）根据要求填写表格： 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图 1 图 2 图 3 （2）猜想三个数量间有何关系； （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数 2018 个，棱数 4036 条，试求出它的面数 24问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图 1 方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律 问
12、题探究： 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法 探究一 用若干木棒来搭建横长是 m，纵长是 n 的矩形框架（m、n 是正整数），需要木棒的条数 如图，当 m1，n1 时，横放木棒为 1 （1+1）条，纵放木棒为（1+1） 1 条，共需 4 条； 如图，当 m2，n1 时，横放木棒为 2 （1+1）条，纵放木棒为（2+1） 1 条，共需 7 条； 如图，当 m2，n2 时，横放木棒为 2 （2+1）条，纵放木棒为（2+1） 2 条，共需 12 条； 如图，当 m3，n1 时，横放木棒为 3 （1+1）条，纵放木棒为（3+1） 1 条，共需 10 条； 如图，当 m3，n2 时，横放
13、木棒为 3 （2+1）条，纵放木棒为（3+1） 2 条，共需 17 条 问题（一）：当 m4，n2 时，共需木棒 条 问题（二）：当矩形框架横长是 m，纵长是 n 时，横放的木棒为 条，纵放的木棒为 条 探究二 用若干木棒来搭建横长是 m，纵长是 n，高是 s 的长方体框架（m、n、s 是正整数），需要木棒的条数 如图，当 m3，n2，s1 时，横放与纵放木棒之和为3 （2+1）+（3+1） 2 （1+1）34 条，竖放木棒为（3+1） （2+1） 112 条，共需 46 条； 如图，当 m3，n2，s2 时，横放与纵放木棒之和为3 （2+1）+（3+1） 2 （2+1）51 条，竖放木棒为（
14、3+1） （2+1） 224 条，共需 75 条； 如图，当 m3，n2，s3 时，横放与纵放木棒之和为3 （2+1）+（3+1） 2 （3+1）68 条，竖放木棒为（3+1） （2+1） 336 条，共需 104 条 问题（三）：当长方体框架的横长是 m，纵长是 n，高是 s 时，横放与纵放木棒条数之和为 条，竖放木棒条数为 条 实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是 2、高是 4 的长方体框架，总共使用了 170 条木棒，则这个长方体框架的横长是 拓展应用：若按照如图 2 方式搭建一个底面边长是 10，高是 5 的正三棱柱框架，需要木棒 条 第第 5 5 章章 走进图形世界走进图形
15、世界 一、一、单项选择题单项选择题 1如图，有一个无盖的正方体纸盒，的下底面标有字母“M”，若沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，这个平面图形是（ ） A B C D 【答案】A 【分析】 根据无盖可知底面 M 没有对面，再根据图形粗线的位置，可知底面的正方形位于底面与侧面的从左边数第2 个正方形下边，然后根据选项选择即可 【详解】 正方体纸盒无盖， 底面 M 没有对面， 沿图中的粗线将其剪开展成平面图形， 底面与侧面的从左边数第 2 个正方形相连，根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知，只有 A 选项图形符合 故选 A 【点睛】 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意
16、正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题 2如图，是由 27 个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是3 3的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为3 3的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ） A9 B10 C12 D15 【答案】C 【分析】 拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为 33 的正方形，所以最底下一层必须有 9 个小立方块，这样能保证俯视图仍为 33 的正方形，为保证主视图与左视图也为 33 的正方形，所以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方块的个数. 【详解】 根据题意，拿掉若干个小立
17、方块后，三个视图仍都为 33 的正方形， 则最多能拿掉小立方块的个数为 6 +6 = 12 个， 故选：C. 【点睛】 此题考查简单组合体的三视图，空间想象能力，能依据立体图形想象出拿掉小立方块后的三视图是解题的关键. 3由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（ ） A4 个或 5 个 B5 个或 6 个 C6 个或 7 个 D7 个或 8 个 【答案】B 【分析】 这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的个数，相加即可 【详解】 由俯视图易得最底层有 4 个小正方体，第二层左侧一列有
18、1 个或 2 个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体为 4+1=5 个或 4+2=6 个 故选：B 【点睛】 考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案 4由 n 个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则 n 的最大值是( ) A18 B19 C20 D21 【答案】D 【分析】 结合主视图，俯视图，逐行确认小正方体个数，最后计算即可. 【详解】 解：由俯视图可知最少有 8 个小正方体， 有主视图可知最左边最多有 326 个小正方体，中间最多有2 36 个小正方体
19、，最右边最多有3 29 个小正方体， n 的最大值为 6+6+9=21. 故选：D 【点睛】 此题主要考查了由三视图判断几何体，侧重对空间想象考查.一般依据“长对正，高平齐，宽相等”来确定其立体图形. 5用平面去截一个圆柱，截面不可能是（ ） A B C D 【答案】B 【分析】 根据圆柱的特点，考虑截面从不同角度和方向去截取的情况. 【详解】 用平面去截圆柱，如果横切就是圆，竖切就是长方形，斜切就是椭圆，唯独不能是梯形， 故选：B. 【点睛】 此题考查用平面截几何体，注意截取的角度和方向. 6如图 1 是一个正方体的展开图，该正方体按如图 2 所示的位置摆放，此时这个正方体朝下的一面的字是（
20、 ） A中 B国 C梦 D强 【答案】B 【分析】 动手进行实验操作，或者在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动即可求解 【详解】 解：由图 1 可得，“中”和第三行的“国”相对；第二行“国”和“强”相对；“梦”和“梦”相对； 由图 2 可得，此时小正方体朝下面的字即为“中”的相对面对应的字，即为“国” 故选：B 【点睛】 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题 7如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与4重合的数字是（ ） A9和13 B2和9 C1和13 D2和8 【答案】D 【分析】 当把这个平面图形折成正方体时，左
21、面五个正方形折成一个无盖的正方体，此时，1 与 13 重合、2 与 4 重合、5 与 7 重合、10 与 12 重合，右面一个正方形折成正方体的盖，此时 8 与 2、4 的重合，9 与 1、13 的重合 【详解】 解：当把这个平面图形折成正方体时，与 4 重合的数字是 2、8. 故选：D 【点睛】 本题是考查正方体的展开图，训练学生观察和空间想象的能力 8下列四张纸片中，可以沿虚线折叠成如图所示的正方体纸盒的是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】 运用正方体展开图的知识进行作答即可 【详解】 解：由展开图可知：可以沿虚线折叠成如图所示的正方体纸盒的是 C； 故答案为 C. 【点睛】 本
22、题考查了展开图折叠成几何体，灵活运用正方体各面与展开图的关系是解答本题的关键. 9将一个正方体的各个面涂上红色或蓝色（可以只用一种颜色），则正方体不同的涂色方案总共有（ ）种 A6 B8 C9 D10 【答案】D 【分析】 列举各个面的不同颜色构成结果，即可得到答案. 【详解】 假设 1 与 4 对面，2 与 5 对面，3 与 6 对面， 全红； 全蓝； 1 红色，2、3、4、5、6 蓝色； 1 蓝色，2、3、4、5、6 红色； 1、2 红色，3、4、5、6 蓝色； 1、2 蓝色，3、4、5、6 红色； 1、4 红色，2、3、5、6 蓝色 1、4 蓝色，2、3、5、6 红色； 1、2、3 红色
23、，4、5、6 蓝色； 1、2、4 红色，3、5、6 蓝色. 故选：D. 【点睛】 此题考查正方体的构成特点，共三组对面，当涂色时，可分对面和邻面的位置关系确定颜色类型. 10用一个平面去截一个几何体，得到的截面是五边形，这个几何体可能是（ ） A圆锥 B圆柱 C球体 D长方体 【答案】D 【分析】 根据圆锥、圆柱、球体、长方体的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案 【详解】 A、用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆形，椭圆，抛物线，双曲线的一支，三角形，故 A 选项错误； B、用一个平面去截一个圆柱，得到的图形只能是圆，椭圆，长方形
24、，故 B 选项错误； C、用一个平面去截一个球体，得到的图形可能是圆，故 C 选项错误； D、用一个平面去截一个长方体，得到的图形可能是五边形，长方形，三角形，故 D 选项正确 故选：D 【点睛】 此题考查立体图形，会识别图形的形状，学生有空间立体感很关键，培养学生的空间想象能力. 二、填空题 11十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+fe2，这就是著名的欧拉定理而正多面体，是指多面体的各个面都是形状大小完全相同的的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面
25、体和正二十面体，那今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”： （1）如图 1，正四面体共有_个顶点，_条棱 （2）如图 2，正六面体共有_个顶点，_条棱 （3）如图 3 是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有_个顶点，_条棱 （4）当我们没有正 12 面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正 12 面体每个面都是正 n（n3）边形，每个顶点处有 m（m3）条棱，则共有 12n 26n 条梭，有 12n m12nm个顶点欧拉定理得到方程：12nm+126n2，且 m，n 均为正整数， 去掉分母后：12n+
26、12m6nm2m， 将 n 看作常数移项：12m6nm2m12n， 合并同类项：（106n）m12n， 化系数为 1：m1212106610nnnn， 变形：12610nmn， 122020610nn， 122020610610nnn， 2(610)20610610nnn， 202610n 分析：m（m3），n（n3）均为正整数，所以20610n是正整数，所以 n5，m3，即 6n30，1220nm 因此正 12 面体每个面都是正五边形，共有 30 条棱，20 个顶点 请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正 20 面体共有_条棱；_个顶点 【答案】（1）4；6；（2）8；12；（3）6；1
27、2；（4）30；12 【分析】 （1）根据面数 每面的边数 每个顶点处的棱数可求点数，用顶点数 每个顶点的棱数 2 即可的棱数； （2）用正六面体有六个面 每个面四条棱 每个顶点处有三条棱可得正六面体共 8 个顶点，用 8 个顶点数每个顶点处有 3 条棱 2 正六面体共有=12 条棱； （3） 正八面体每个面都是正三角形， 每个顶点处有四条棱， 用八个面 每个面有三棱 每个顶点处有四条棱，它共有 6 个顶点，利用顶点数 每个顶点处有四条棱 2 可得正八面体 12 条棱； （4）正 20 面体每个面都是正 n（n3）边形，每个顶点处有 m（m3）条棱，则共有 20n 210n 条梭，有20n m
28、20nm个顶点欧拉定理得到方程：20nm+2010n2，且 m，n 均为正整数，可求 m201018nn，变形：3621018mn求正整数解即可 【详解】 解：（1）如图 1，正四面体又四个面，每个面有三条边，每个顶点处有三条棱， 共有 4 3 3=4 个顶点， 共有 4 个顶点，每个顶点处有 3 条棱，每两点重复一条， 正四面体共有 4 3 2=6 条棱 故答案为 4；6； （2）如图 2，正六面体有六个面，每个面四条棱，每个顶点处有三条棱， 共有 6 4 3=8 个顶点， 正六面体共 8 个顶点，每个顶点处有 3 条棱，每两点重复一条， 正六面体共有 8 3 2=12 条棱 故答案为：8；
29、12； （3）如图 3 正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，有八个面，每个面有三棱，每个顶点处有四条棱， 共有 8 3 4=6 个顶点， 它共有 6 个顶点，每个顶点处有四条棱，6 4 2=12 条棱 故答案为：6；12； （4）正 20 面体每个面都是正 n（n3）边形，每个顶点处有 m（m3）条棱，则共有 20n 210n 条棱，有20n m20nm个顶点欧拉定理得到方程：20nm+2010n2，且 m，n 均为正整数， 去掉分母后：20n+20m10nm2m， 将 n 看作常数移项：20m10nm2m20n， 合并同类项：（1810n）m20n， 化系数为 1：m202018
30、 101018nnnn， 变形：201018nmn， 2036361018nn， 20363610181018nnn， 2(1018)3610181018nnn， 3621018n 分析：m（m3），n（n3）均为正整数，所以361018n是正整数，所以 n3，m5，即 10n30，2012nm 正 20 面体共有 30 条棱；12 个顶点 故答案为：30；12 【点睛】 本题考查正多面体的面数顶点数与棱数之间关系，掌握欧拉定理是解题关键 12 把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的四块， 其中点 E， F分别是 AB， AD 的中点，OBOCEF，OFEB， 用这四块纸片拼成一个
31、与正方形 ABCD 不重合的长方形 MNPQ （要求这四块纸片不重叠无缝隙） ，则长方形 MNPQ 的周长是_ 【答案】10 【分析】 根据题意，将三角形BOC和四边形OCDF移动位置，即可得到长方形 MNPQ；再根据正方形纸片 ABCD边长为 2，通过计算即可得到长方形 MNPQ 的边长，从而完成求解 【详解】 点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，OBOCEF，OFEB 如下图，将三角形BOC和四边形OCDF移动位置，即可得到长方形 MNPQ； 正方形纸片 ABCD 边长为 2 结合题意，得112NPMQAFFDAB，2BNCDABMB 4MNMBBN 长方形 MNPQ 的周长2 4 1
32、 210 故答案为：10 【点睛】 本题考查了平面图形的知识；解题的关键是熟练掌握平面图形的性质，从而完成求解 13 一位画家把 7 个边长为 1m 的相同正方体摆成如图的形状， 然后把露出的表面 （不包括底面） 涂上颜色，则涂色面积为_m2. 【答案】23 【分析】 依据图形第一层露出 4 2 个面，第二层露出 4 3+3 个面，从而可解 【详解】 根据分析得露出的面的个数为 4 2+4 3+3=23，又每个面的面积为 1m2， 则涂色面积为 23m2.故答案为：23 【点睛】 结合图形的特征，认真观察，是解决此类问题的关键 14将两个棱长相等的正方体如图摆放，每个正方体的 6 个面均标上数
33、字，且所有对面数字之和均为 10，则图中看不见的面的数字之和为_ 【答案】50 【分析】 根据题意可分别得出正方体每个面上的数字，再相加即可，注意不要忘记两个正方体中间两面上的数字 【详解】 解：根据题意可得出 2 对面是 8，4 对面是 6，6 对面是 4，3 对面是 7，-5 对面是 15，两个正方体中间两面上的数字和为 10， 图中看不见的面的数字和为：8 6 4 7 15 1050 故答案为：50 【点睛】 本题考查的知识点是有理数的加法运算，结合图形找出正方体每个面上的数字是解此题的关键 15在桌子上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面，上面看到的形状如图所示，设组成这个几
34、何体的小正方体的个数为 n，则 n 的最大值为_。 【答案】11. 【分析】 分析每层的数量即可得到总个数. 【详解】 由图可知：该正方体由三层构成，最底层有 6 个，第二层最多有 3 个，最上层最多有 2 个，所以最多的个数 n=6+3+2=11（个）， 故填：11. 【点睛】 此题考察正方体的构成，能够理解图形的位置关系是解题的关键. 16瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数 V、面数 F 及棱数 E 之间满足一种有趣的关系：V+FE2，这个关系式被称为欧拉公式比如：正二十面体（如右图），是由 20 个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有 5 条棱，则可以通过欧拉公式算出正二
35、十面体的顶点为_个那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有 3 条，它是一个_面体 【答案】12 12 【分析】 设出正二十面体的顶点为 n 个， 则棱有52n条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.设顶点数 V、 棱数 E、面数 F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题. 【详解】 解：设出正二十面体的顶点为 n 个，则棱有52n条 由题意 F20， n+1052n2， 解得 n12 设顶点数 V，棱数 E，面数 F，每个点属于三个面，每条边属于两个面 由每个面都是五边形，则就有 E52F，V53F 由欧拉公式：F+VE2，代入： F+53F5
36、2F2 化简整理：F12 所以：E30，V20 即多面体是 12 面体棱数是 30，面数是 12， 故答案为 12，12. 【点睛】 本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程是解答本题的关键. 17如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是_ 【答案】244 cm 【分析】 先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知 AC 长即昆虫爬行的最短路程，再利用勾股定理求解，即可求得答案 【详解】 解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm， 则124122()ADcm， 又因为4CDcm， 所以2
37、2124(410)ACcm， 此时考虑从AB C线路这一情况， 24BC，4AB ， 所以这一线路的路程为24411.644 10， 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是244 cm， 故答案为：244 cm 【点睛】 本题考查了平面展开，最短路径问题，将图形展开和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 18将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置水平桌面上，如图 1在图 2 中，将骰子向右翻滚90，然后在桌面上按逆时针方向旋转90，则完成一次变换若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一
38、面的点数是_ 【答案】5 【分析】 先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续 3 次变换是一个循环本题先要找出 3 次变换是一个循环，然后再求 10 被 3 整除后余数是 1，从而确定第 1 次变换的第 1 步变换 【详解】 解：根据题意可知连续 3 次变换是一循环所以 103=31所以是第 1 次变换后的图形，即按上述规则连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是 5 故应填：5 【点睛】 本题考查了正方体相对两个面上的文字，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的 三、解答题 19在一次青少年模型大赛中，小
39、高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为 acm 的正方体模型，小刘制作的是棱长为 acm 的正方体右上角割去一个长为 3cm，宽为 2cm，高为 1cm 的长方体模型（如图 2） （1）用含 a 的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是_； （2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的56，求 a 的值； （3）在（2）的条件下， 图 3 是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影表示出其余缺失部分，并标出边的长度 如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是_cm；请你在图方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最
40、大时的图形 【答案】（1）12a；（2）5；（3）见解析；72，图见解析 【分析】 （1）根据正方体由 12 条等长的棱即可计算 （2）根据立体图形求出小刘的模型的棱长之和，再根据题意即可列出关于 a 的方程，求出 a 即可 （3）由题意可知另两个阴影再第一行和第三行第一个正方形内，再根据所给出的阴影，画出在第一行和第三行第一个正方形内的阴影即可 展开图周长最长时，此时有 12 个 5cm 的边在展开图的最外围，画出此时的展开图，计算即可 【详解】 （1）12 a=12acm （2）小高的模型的棱长之和为 12acm， 小刘的模型有 9 条长度为 acm 的棱，1 条长度为（a-1）cm 的棱
41、，1 条长度为（a-2）cm 的棱，1 条长度为（a-3）cm 的棱，3 条长度为 1cm 的棱，3 条长度为 2cm 的棱，3 条长度为 3cm 的棱，故小刘的模型的棱长之和为：9(1)(2)(3) 1 32 33 3(1212)aaaaacm ， 根据题意可列512(1212)6aa 解得：5a （3）如下图 如下图，此时展开图的周长5 12(1 2)32(3 1)72cm 【点睛】 本题考查正方体及其平面展开图，掌握正方体的几种展开图是解答本题的关键 20如图所示，图 1 为一个棱长为 8 的正方体，图 2 为图 1 的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回
42、答问题： （1）如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x_，y _ （2）如果面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是_（填“x”或“y”或“2”） （3）图 1 中，点 M 为所在棱的中点，在图 2 中找点 M 的位置，直接写出图 2 中 ABM 的面积 【答案】（1）12；8（2）x；（3）16 或 80 【分析】 （1）正方体展开图中，相对的两个面之间必然隔着一个正方形，由此知道“2”与“x”是相对面，“4”与“10”是相对面，“6”与“y”是相对面，由相对面两个数之和相等，列式计算即可； （2）由相邻面和相对面的关系，分析判断即可得到答案； （3）由点 M 所在的棱为两个面共用，可
43、以判断得到点 M 的位置，根据三角形面积公式，即可得到答案 【详解】 解：（1）正方体相对面上的两个数字之和相等 2+4 10 x ，64 10y 12x ，8y 故答案为：12；8 （2）若面“10”是左面，面“6”在前面，则上面是“x” （3）因为点 M 所在的棱为两个面共用，所以它的位置有两种情况，第一种情况如下图： 设点 M 左边的顶点为点 D，则118 41622ABMSAB DM g 第二种情况如下图： 118 208022ABMSAB AM g 综上所述，ABMV的面积为：16 或 80 【点睛】 本题考查正方体的展开图，能够准确区分展开图的相对面和相邻面是解题的关键 21用棱长
44、为2cm的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，L，第n层（n为正整数) （1）搭建第个几何体的小立方体的个数为 （2）分别求出第、个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积 （3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂21cm需要油漆0.2克，求喷涂第20个几何体，共需要多少克油漆？ 【答案】（1）30；（2）第个几何体露出部分（不含底面）面积为264cm，第个几何体露出部分（不含底面）面积为2132cm；（3）992克 【分析】 （1）归纳出前 3 个几何体的规律即可得； （2）分别画出两个几何体的三视图，再根据
45、四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得； （3）先根据（1）的方法得出第 20 个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第 20 个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，然后乘以0.2即可得 【详解】 （1）搭建第个几何体的小立方体的个数为 1， 搭建第个几何体的小立方体的个数为21 41 2 ， 搭建第个几何体的小立方体的个数为22149123 ， 归纳类推得：搭建第个几何体的小立方体的个数为2221234149 1630 ， 故答案为：30； （2）第个几何体的三视图如下： 由题意，每个小正方形的面积为22 24()cm， 则第个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为23
46、2 3 24464()cm ； 第个几何体的三视图如下： 则第个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为26 26 2 94132()cm ； （3）第 20 个几何体从第 1 层到第 20 层小立方体的个数依次为221,2 ,20L， 则第 20 个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为2221220212202044960()cm LL， 因此，共需要油漆的克数为4960 0.2992（克）， 答：共需要 992 克油漆 【点睛】 本题考查了三视图、几何体的表面积、图形变化的规律型问题，依据题意，正确归纳类推出规律是解题关键 22如图 1 所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图
47、2 的几何体 （1）设原大正方体的表面积为 a，图 2 中几何体的表面积为 b，那么 a 与 b 的大小关系是 ； Aab；Bab；Cab；D无法判断 （2）小明说“设图 1 中大正方体的棱长之和为 m，图 2 中几何体的各棱长之和为 n，那么 n 比 m 正好多出大正方体的 3 条棱的长度”你认为小明的说法正确吗？为什么？ （3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图 3 是图 2 几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正 【答案】（1）C；（2）不正确，理由见解析；（3）图不是图几何体的表面展开图，改后的图形见解析 【分析】 （1）根据“切去三个面”但又“新增三个面”，因此
48、与原来的表面积相等； （2）根据多出来的棱的条数及长度得出答案； （3）根据展开图判断即可 【详解】 解：（1）根据“切去三个小面”但又“新增三个相同的小面”，因此与原来的表面积相等，即 ab 故答案为：ab； （2）如图红颜色的棱是多出来的，共 6 条，当且仅当每一条棱都等于原来正方体的棱长的一半，n 比 m正好多出大正方体的 3 条棱的长度，故小明的说法是不正确的； 图 图 （3）图不是图几何体的表面展开图，改后的图形，如图所示 【点睛】 本题考查几何体表面积的意义、棱长之和、几何体的表面展开图，考查学生的观察能力，关键是抓住几何图形变换后边长和棱长的变与不变的量 23如图 1 至图 3
49、是将正方体截去一部分后得到的多面体 （1）根据要求填写表格： 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图 1 图 2 图 3 （2）猜想三个数量间有何关系； （3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数 2018 个，棱数 4036 条，试求出它的面数 【答案】（1）见解析；（2）2fve；（3）2020 【分析】 （1）根据图形数出即可 （2）根据（1）中结果得出2fve （3）代入2fve求出即可 【详解】 解：（1） 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图 1 7 9 14 图 2 6 8 12 图 3 7 10 15 （2）猜想：2fve； （3）2018v Q，4036e ，2fve 2
50、01840362f， 2020f ， 即它的面数是 2020 【点睛】 本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律 24问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图 1 方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律 问题探究： 我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法 探究一 用若干木棒来搭建横长是 m，纵长是 n 的矩形框架（m、n 是正整数），需要木棒的条数 如图，当 m1，n1 时，横放木棒为 1 （1+1）条，纵放木棒为（1+1） 1 条，共需 4 条； 如图，当 m2，n1 时，横放木棒为 2 （1+1）条，纵放木棒为（2+1