1、首 页 末 页 第二部分第二部分 图形与几何图形与几何 第十一章第十一章 解直角三角形解直角三角形 考考 点点 管管 理理 中中 考考 再再 现现 课课 时时 作作 业业 归归 类类 探探 究究 第第3535课时课时 解直角三角形解直角三角形 首 页 末 页 考考 点点 管管 理理 1解直角三角形的概念解直角三角形的概念 定定 义：在直角三角形中，除直角外，共有义：在直角三角形中，除直角外，共有 5 个元素，即个元素，即 3 条边和条边和 2 个锐角，个锐角，由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做 解直角三角形解直角三角形 首
2、页 末 页 2直角三角形的解法直角三角形的解法 依依 据：如图，在据：如图，在 RtABC 中，中，C90 . (1)三边的关系：三边的关系： ； (2)两锐角的关系：两锐角的关系： ； (3)边角关系：边角关系： sin Acos B ， cos Asin B ， tan A . a2b2c2 AB90 ac bc ab 首 页 末 页 一般方法：一般方法： (1)已知斜边和一直角边已知斜边和一直角边(如斜边如斜边 c， 直角边， 直角边 a)， 其解法一般是： 由， 其解法一般是： 由 sin Aac求求A，进而求得，进而求得B90 A，b c2a2； (2)已知斜边和一锐角已知斜边和一锐
3、角(如斜边如斜边 c，锐角，锐角A)，其解法一般是：，其解法一般是：B90 A，acsin A，bccos A； (3)已知一直角边和一锐角已知一直角边和一锐角(如直角边如直角边 a，锐角，锐角A)，其解法一般是：，其解法一般是：B90 A，batan A，casin A； 首 页 末 页 (4)已知两直角边已知两直角边(如直角边如直角边 a 和和 b)，其一般解法是：由，其一般解法是：由 tan Aab求求A，进而得，进而得B90 A，c a2b2. 注注 意：意：(1)当已知条件或是待求量中有斜边时，就用正弦或余弦求解；无斜边当已知条件或是待求量中有斜边时，就用正弦或余弦求解；无斜边时，用
4、正切求解当所求元素既可用乘法又可用除法求解时，一般用乘法当原时，用正切求解当所求元素既可用乘法又可用除法求解时，一般用乘法当原始数据和中间数据均可选择时，在不增加计算难度的情况下，应采用原始数据，始数据和中间数据均可选择时，在不增加计算难度的情况下，应采用原始数据，这样可减少这样可减少“链式错误链式错误”和和“积累误差积累误差”； (2)当已知直角三角形的中线、高、当已知直角三角形的中线、高、角平分线、周长、面积等时，一般将这些元素角平分线、周长、面积等时，一般将这些元素转化为三角形中的元素或元素间的关系式，再通过解直角三角形的基本方法进行转化为三角形中的元素或元素间的关系式，再通过解直角三角
5、形的基本方法进行求解求解 首 页 末 页 3解直角三角形的应用解直角三角形的应用 应应 用：用：(1)仰角与俯角：如图，在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的仰角与俯角：如图，在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做夹角叫做 ；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 ； 仰角仰角 俯角俯角 首 页 末 页 (2)坡角与坡度：如图，坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点的坡角与坡度：如图，坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点的 与与 之比，常用之比，常用 i 表示，也就是坡角的正切值坡角越大，表示，也就是坡角的正切值坡角越大，坡度越大，坡面
6、越陡；坡度越大，坡面越陡； 竖直距离竖直距离 水平距离水平距离 首 页 末 页 (3)方位角：如图，方位角是指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于方位角：如图，方位角是指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90 的的水平角水平角 首 页 末 页 注注 意：意：(1)应用解直角三角形的知识解决实际问题时，关键在于将实际问题抽应用解直角三角形的知识解决实际问题时，关键在于将实际问题抽象为数学问题；象为数学问题； (2)对于不存在直角三角形的实际问题，应结合已知条件，恰当地构造直角三角形对于不存在直角三角形的实际问题，应结合已知条件，恰当地构造直角三角形来解答来解答 首 页 末 页 中中 考考
7、 再再 现现 1 2019 长沙长沙如图， 一艘轮船从位于灯塔如图， 一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东的北偏东 60 方向， 距离灯塔方向， 距离灯塔 60 n mile的小岛的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东的南偏东 45 方向方向上的上的 B 处，这时轮船处，这时轮船 B 与小岛与小岛 A 的距离是的距离是( ) A30 3 n mile B.60 n mile C120 n mile D.(3030 3) n mile D 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点 C 作作 CDAB 于点于
8、点 D， ACD30 ，BCD45 ，AC60 n mile. 在在 RtACD 中，中，sinACDADAC，cosACDCDAC， ADAC sinACD601230(n mile)， CDAC cosACD603230 3(n mile) 首 页 末 页 在在 RtDCB 中，中， BCDB45 ， BDCD30 3 n mile， ABADBD(3030 3)n mile. 即此时轮船所在的即此时轮船所在的 B 处与灯塔处与灯塔 P 的距离是的距离是(3030 3) n mile.故选故选 D. 首 页 末 页 22019 益阳益阳南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实
9、践活南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动如图，在桥外一点动中对此开展测量活动如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点测得大桥主架与水面的交汇点 C 的的俯角为俯角为 ，大桥主架的顶端，大桥主架的顶端 D 的仰角为的仰角为 ，已知测量点与大桥主架的水平距离，已知测量点与大桥主架的水平距离 ABa，则此时大桥主架顶端离水面的高，则此时大桥主架顶端离水面的高 CD 为为( ) C Aasin asin B.acos acos Catan atan D.atan atan 首 页 末 页 【解析】【解析】 在在 RtABD 中中， tan BDAB，B
10、Datan . 在在 RtABC 中中， tan BCAB，BCatan . CDBDBCatan atan . 首 页 末 页 32019 怀化怀化如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸 B处测得对岸处测得对岸 A 处一棵柳树位于北偏东处一棵柳树位于北偏东 60 方向， 他以每秒方向， 他以每秒 1.5 m 的速度沿着河岸向的速度沿着河岸向东步行东步行 40 s 后到达后到达 C 处，此时测得柳树位于北偏东处，此时测得柳树位于北偏东 30 方向，试计算此段河面的方向，试计算此段河面的宽度宽度 首 页 末 页 解：解：如
11、答图，过如答图，过 A 点作点作 ADBC，垂足为点，垂足为点 D. 根据题意可得根据题意可得ABC30 ，ACD60 ， BC401.560(m) 在在 RtABD 中，中， BDADtan 30 3AD， 在在 RtACD 中，中， 首 页 末 页 CDADtan 6033AD， BCBDCD2 33AD60 m， AD30 3 m. 此段河面的宽度为此段河面的宽度为 30 3 m. 首 页 末 页 归归 类类 探探 究究 类型之一类型之一 利用解直角三角形测量物体的高度或宽度利用解直角三角形测量物体的高度或宽度 2019 金华金华图图，图，图是某公共汽车双开门的俯视示意图，是某公共汽车双
12、开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，是门轴的滑动轨道，EF90 ，两门，两门 AB，CD 的门轴的门轴 A，B，C，D 都在滑都在滑动轨道上，两门关闭时动轨道上，两门关闭时(图图)，A，D 分别在分别在 E，F 处，门缝忽略不计处，门缝忽略不计(即即 B，C 重重合合)；两门同时开启，；两门同时开启，A，D 分别沿分别沿 EM，FN 的方向匀速滑动，带动的方向匀速滑动，带动 B，C 滑滑动； 当点动； 当点 B 到达点到达点 E 时， 点时， 点 C 恰好到达点恰好到达点 F， 此时两门完全开启， 已知， 此时两门完全开启， 已知 AB50 cm，CD40 cm. 首 页 末
13、页 (1)如图如图，当，当ABE30 时，时，BC cm； (2)在在(1)的基础上，当的基础上，当 A 向向 M 方向继续滑动方向继续滑动 15 cm 时，四边形时，四边形 ABCD 的面积为的面积为 cm2. (9045 3) 2 256 首 页 末 页 【解析】【解析】 (1)利用直角三角形的性质先求得利用直角三角形的性质先求得 EB，CF，然后进行线段加减即可；，然后进行线段加减即可； (2)根据题意，得根据题意，得 S四边形四边形ABCDS梯形梯形AEFDSABESCDF，计算可得，计算可得 解：解：(1)AB50 cm，CD40 cm， ABCDEBCFEF90(cm) 在在 Rt
14、ABE 中，中， E90 ，ABE30 ，EB25 3 cm. 由题意知由题意知ABEDCF， 同理可得同理可得 CF20 3 cm.BC(9045 3)cm. 首 页 末 页 (2)根据题意，得根据题意，得 AE40 cm，DF32 cm，EB50240230(cm)，CF40232224(cm)， S四边形四边形ABCDS梯形梯形AEFDSABESCDF 12(AEDF) EF12AE EB12CF DF 12(4032)90124030122432 2 256(cm2) 首 页 末 页 12019 绍兴绍兴如图如图为放置在水平桌面为放置在水平桌面 l 上的台灯，底座的高上的台灯，底座的高
15、 AB 为为 5 cm，长度，长度均为均为 20 cm 的连杆的连杆 BC，CD 与与 AB 始终在同一平面内始终在同一平面内 首 页 末 页 (1)如图如图，转动连杆，转动连杆 BC，CD，使，使BCD 成平角，成平角，ABC150 ，求连杆端点，求连杆端点 D离桌面离桌面 l 的高度的高度 DE； (2)将将(1)中的连杆中的连杆 CD 再绕点再绕点 C 逆时针旋转，使逆时针旋转，使BCD165 ，如图，如图，问此时连，问此时连杆端点杆端点 D 离桌面离桌面 l 的高度的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？是增加还是减少？增加或减少了多少？(精确到精确到 0.1 cm，参考数据：参考数据
16、： 21.41， 31.73) 首 页 末 页 解：解：(1)如答图如答图，过点，过点 B 作作 BODE，垂足为点，垂足为点 O， 则四边形则四边形 ABOE 是矩形，是矩形，OBD150 90 60 ， DOBD sin 60 403220 3(cm)， DEDOOEDOAB20 3539.6(cm) 变式跟进变式跟进 1 答图答图 首 页 末 页 (2)减少了减少了 如答图如答图，过点，过点 D 作作 DFl 于点于点 F， 过点过点 C 作作 CPDF 于点于点 P， 过点过点 B 作作 BGDF 于点于点 G， 过点过点 C 作作 CHBG 于点于点 H， 则四边形则四边形 PCHG
17、 为矩形，为矩形， 变式跟进变式跟进 1 答图答图 首 页 末 页 CBH60 ，BCH30 ，DCP45 . CHBCsinCBH10 3(cm)， DPCDsinDCP10 2(cm)， DFDPPGGFDPCHAB(10 210 35)cm. 下降高度为下降高度为 DEDF20 3510 210 3510 310 23.2(cm) 首 页 末 页 22019 宿迁宿迁宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图是是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图图是其示意图，其中是其示意图，其中 A
18、B，CD 都与都与地面地面 l 平行，车轮半径为平行，车轮半径为 32 cm，BCD64 ，BC60 cm，坐垫，坐垫 E 与点与点 B 的距的距离离 BE 为为 15 cm. 首 页 末 页 (1)求坐垫求坐垫 E 到地面的距离；到地面的距离； (2)根据经验， 当坐垫根据经验， 当坐垫 E 到到 CD 的距离调整为人体腿长的的距离调整为人体腿长的 0.8 倍时， 坐骑比较舒适 小倍时， 坐骑比较舒适 小明的腿长约为明的腿长约为 80 cm，现将坐垫，现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置调整至坐骑舒适高度位置 E，求，求 EE的长的长 (结果精确到结果精确到 0.1 cm，参考数据：，参考数
19、据：sin 64 0.90，cos 64 0.44，tan 64 2.05) 首 页 末 页 解：解：(1)如答图如答图，过点，过点 E 作作 EMCD 于点于点 M. 由题意，知由题意，知BCM64 ，ECBCBE601575(cm)， EMECsinBCM75sin 64 67.5(cm)， 则单车车座则单车车座 E 到地面的高度约为到地面的高度约为 67.53299.5(cm) 变式跟进变式跟进 2 答图答图 首 页 末 页 (2)如答图如答图，过点，过点 E作作 EHCD 于点于点 H. 由题意，知由题意，知 EH80 0.864(cm)， 则则 ECEHsinECH64sin 647
20、1.1(cm)， EECECE7571.13.9(cm) 变式跟进变式跟进 2 答图答图 首 页 末 页 类型之二类型之二 利用解直角三角形测量物体的高度或宽度利用解直角三角形测量物体的高度或宽度 2019 黄冈黄冈如图，两座建筑物的水平距离如图，两座建筑物的水平距离 BC 为为 40 m，从，从 A 点测得点测得 D 点的点的俯角俯角 为为 45 ，测得，测得 C 点的俯角点的俯角 为为 60 .求这两座建筑物求这两座建筑物 AB，CD 的高度的高度(结果结果保留小数点后一位，保留小数点后一位， 21.414， 31.732.) 首 页 末 页 解：解：如答图，延长如答图，延长 CD 交过交
21、过 A 点的水平线于点点的水平线于点 M. 则则AMC90 ，AMBC40 m. 在在 RtADM 中，中，tan DMAM， DMAM tan 40tan 45 40(m) 在在 RtACM 中，中，tan CMAM， 首 页 末 页 CMAM tan 40tan 60 40 3(m) ABCM，AB40 3401.73269.3(m)， CDCMDM40 34069.34029.3(m) 答：建筑物答：建筑物 AB 的高度约为的高度约为 69.3 m，建筑物，建筑物 CD 的高度约为的高度约为 29.3 m. 首 页 末 页 32019 岳阳岳阳慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最
22、好的古塔建筑之慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一， 如图一， 如图.如图如图， 小亮的目高， 小亮的目高 CD 为为 1.7 m， 他站在， 他站在 D 处测得塔顶的仰角处测得塔顶的仰角ACG为为 45 ，小琴的目高，小琴的目高 EF 为为 1.5 m，她站在距离塔底中心，她站在距离塔底中心 B 点点 a m 远的远的 F 处，测得处，测得塔顶的仰角塔顶的仰角AEH为为62.3 .(点点D， B， F在同一水平线上， 参考数据：在同一水平线上， 参考数据： sin 62.3 0.89，cos 62.3 0.46，tan 62.3 1.9) 首 页 末 页 (1)求小亮
23、与塔底中心的距离求小亮与塔底中心的距离 BD；(用含用含 a 的式子表示的式子表示) (2)若小亮与小琴相距若小亮与小琴相距 52 m，求慈氏塔的高度，求慈氏塔的高度 AB. 首 页 末 页 解解：(1)在在 RtAEH 中中，AEH62.3 ， tan 62.3 AHEH. AHEH tan 62.3 BF tan 62.3 1.9a(m) GHGBHBCDEF1.71.50.2(m)， AGAHGH(1.9a0.2)m. 在在 RtACG 中中， 首 页 末 页 ACG45 ， CGAG(1.9a0.2)m. BDCG(1.9a0.2)m. 小亮与塔底中心的距离小亮与塔底中心的距离 BD
24、约为约为(1.9a0.2)m. 首 页 末 页 (2)DFBDBF， 1.9a0.2a52.解得解得 a18， ABAHBH1.9a1.51.9181.535.7(m) 慈氏塔的高度慈氏塔的高度 AB 约为约为 35.7 m. 【点悟】【点悟】 解直角三角形时，若所求的元素不能在一个直角三角形中解决，则可解直角三角形时，若所求的元素不能在一个直角三角形中解决，则可在两个或两个以上的直角三角形中，通过列方程解决问题在两个或两个以上的直角三角形中，通过列方程解决问题 首 页 末 页 类型之三类型之三 利用解直角三角形解决航海问题利用解直角三角形解决航海问题 2018 衢州衢州“五一五一”期间，小明
25、到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头 A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家 C 在自己的北偏东在自己的北偏东 45 方向，于是沿河方向，于是沿河边笔直的绿道边笔直的绿道 l 步行步行 200 m 到达到达 B 处， 这时定位显示小陈家处， 这时定位显示小陈家 C 在自己的北偏东在自己的北偏东 30方向，如图所示方向，如图所示 首 页 末 页 根据以上信息和对话，请你帮小明算一算，他还需沿绿道继续直走多少米才能到根据以上信息和对话，请你帮小明算一算，他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头达桥头 D 处处(精确到精确到
26、 1 m，参考数据：，参考数据： 21.414， 31.732) 解：解：设设 BDx m，则，则 AD(200 x)m. 在在 RtACD 中，中， CAD45 ，CDAD(200 x)m. 在在 RtBCD 中，中， CBD60 ，CD 3BD 3x(m) 200 x 3x. 解得解得 x100( 31)100 3100273. 答：小明还需沿绿道继续直走约答：小明还需沿绿道继续直走约 273 m 才能到达桥头才能到达桥头 D 处处 首 页 末 页 42019 连云港连云港如图，海上观察哨所如图，海上观察哨所 B 位于观察哨所位于观察哨所 A 正北方向，距离为正北方向，距离为 25 海海里
27、在某时刻，哨所里在某时刻，哨所 A 与哨所与哨所 B 同时发现一走私船，其位置同时发现一走私船，其位置 C 位于哨所位于哨所 A 北偏东北偏东53 的方向，位于哨所的方向，位于哨所 B 南偏东南偏东 37 的方向的方向 首 页 末 页 (1)求观察哨求观察哨所所 A 与走私船所在的位置与走私船所在的位置 C 的距离；的距离； (2)若观察哨所若观察哨所 A 发现走私船从发现走私船从 C 处以处以 16 海里海里/时的速度向正东方向逃窜，并立即时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东派缉私艇沿北偏东 76 的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时
28、，恰好在 D 处处成功拦截成功拦截. 结果保留根号结果保留根号.参考数据：参考数据：sin 37 cos 53 35，cos 37 sin 53 45，tan 76 4 首 页 末 页 解：解：(1)在在ABC 中，中，ACB180 BBAC180 37 53 90 . 在在 RtABC 中，中，sin BACAB， ACAB sin 37 253515(海里海里) 答：观察哨所答：观察哨所 A 与走私船所在的位置与走私船所在的位置 C 的距离约为的距离约为 15 海里海里 首 页 末 页 (2)如答图，过点如答图，过点 C 作作 CMAB 于点于点 M. 由题意易知，由题意易知，D，C，M
29、在一条直线上在一条直线上 在在 RtAMC 中，中， CMAC sinCAM154512(海里海里)， AMAC cosCAM15359(海里海里)， 在在 RtAMD 中，中，tanDAMDMAM， 首 页 末 页 DMAM tan 76 9436(海里海里)， AD AM2DM2 923629 17(海里海里)， CDDMCM361224(海里海里)， 设缉私艇的速度为设缉私艇的速度为 x 海里海里/时，则有时，则有24169 17x， 解得解得 x6 17. 经检验，经检验，x6 17是原方程的解是原方程的解 答：当缉私艇的速度约为答：当缉私艇的速度约为 6 17海里海里/时时，恰好在时
30、时，恰好在 D 处成功拦截处成功拦截 首 页 末 页 【点悟】【点悟】 求与三角形有关的实际问题时，一般是转化为直角三角形或相似三角求与三角形有关的实际问题时，一般是转化为直角三角形或相似三角形或全等三角形来解，尤其是已知方位角时，可计算出所需角的大小，再解直角形或全等三角形来解，尤其是已知方位角时，可计算出所需角的大小，再解直角三角形三角形 首 页 末 页 类型之四类型之四 利用解直角三角形解决坡度问题利用解直角三角形解决坡度问题 2019 天水天水某地的一座人行天桥如图所示， 天桥高为某地的一座人行天桥如图所示， 天桥高为 6 m， 坡面， 坡面 BC 的坡度的坡度为为 11，文化墙，文化
31、墙 PM 在天桥底部正前方在天桥底部正前方 8 m 处处(PB 的长的长)，为了方便行人推车过天，为了方便行人推车过天桥， 有关部门决定降低坡度， 使新坡面的坡度为桥， 有关部门决定降低坡度， 使新坡面的坡度为 1 3.(参考数据：参考数据： 21.414， 31.732) (1)若新坡面坡角为若新坡面坡角为 ，求坡角，求坡角 度数；度数； (2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 3 m 时应拆除，时应拆除， 天桥改造后，该文化墙天桥改造后，该文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由是否需要拆除？请说明理由 首 页 末 页 解：解：(1)新坡面坡角为新坡面坡角
32、为 ，新坡面的坡度为，新坡面的坡度为 1 3， tan 1333， 30 . (2)该文化墙该文化墙 PM 不需要拆除，理由如下：不需要拆除，理由如下： 如答图，过点如答图，过点 C 作作 CDAB 交延长线于点交延长线于点 D，则，则 CD6 m. 首 页 末 页 新坡面的坡度为新坡面的坡度为 1 3， tanCADCDAD6AD13， 解得解得 AD6 3 m. 坡面坡面 BC 的坡度为的坡度为 11，CD6 m， BD6 m， ABADBD(6 36)m. 又又PB8 m， PAPBAB8(6 36)146 31461.7323.6(m)3 m， 该文化墙该文化墙 PM 不需要拆除不需要
33、拆除 首 页 末 页 52019 鄂州鄂州为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图小明同学为测量宣传牌的高度新建了一块大型宣传牌，如图小明同学为测量宣传牌的高度 AB，他站在距离教，他站在距离教学楼底部学楼底部 E 处处 6 m 远的地面远的地面 C 处，测得宣传牌的底部处，测得宣传牌的底部 B 的仰角为的仰角为 60 ，同时测得，同时测得教学楼窗户教学楼窗户 D 处的仰角为处的仰角为 30 (A，B，D，E 在同一直线上在同一直线上)然后，小明沿坡度然后，小明沿坡度 i11.5 的斜的斜坡从
34、坡从 C 走到走到 F 处，此时处，此时 DF 正好与地面正好与地面 CE 平行平行 首 页 末 页 (1)求点求点 F 到地面的距离到地面的距离(结果保留根号结果保留根号)； (2)若小明在若小明在 F 处又测得宣传牌顶部处又测得宣传牌顶部 A 的仰角为的仰角为 45 ，求宣传牌的高度，求宣传牌的高度 AB.(结果精结果精确到确到 0.1 m， 21.41， 31.73) 首 页 末 页 解：解：(1)如答图，过点如答图，过点 F 作作 FGEC 交延长线于点交延长线于点 G. 依题意知依题意知 FGDE，DFGE，FGE90 . 四边形四边形 DEFG 是矩是矩形形 FGDE. 在在 Rt
35、CDE 中，中， DECE tanDCE6tan 30o2 3(m) 点点 F 到地面的距离为到地面的距离为 2 3 m. 首 页 末 页 (2)斜坡斜坡 CF 的坡度的坡度 i11.5. 在在 RtCFG 中，中， CG1.5FG1.52 33 3(m)， FDEG(3 36)m. 在在 RtBCE 中，中， BECE tanBCE6tan 60o6 3(m) ABADDEBE3 362 36 36 34.3(m) 答：宣传牌的高度约为答：宣传牌的高度约为 4.3 m. 【点悟】【点悟】 此类有关坡度、坡角的问题，把关于梯形的计算通过作高线转化成关此类有关坡度、坡角的问题，把关于梯形的计算通
36、过作高线转化成关于直角三角形的计算是解决问题的基本思路于直角三角形的计算是解决问题的基本思路 首 页 末 页 课课 时时 作作 业业 (70 分分) 一、选择题一、选择题(每题每题 5 分，共分，共 25 分分) 12019 广州广州如图，有一斜坡如图，有一斜坡 AB，坡顶，坡顶 B 离地面的高度离地面的高度 BC 为为 30 m，斜坡的倾，斜坡的倾斜角是斜角是BAC，若，若 tanBAC25，则此斜坡的水平距离，则此斜坡的水平距离 AC 为为( ) A75 m B.50 m C30 m D.12 m A 首 页 末 页 【解析】【解析】 BCA90 ， tanBAC25， BC30 m， t
37、anBAC25BCAC30AC，解得解得 AC75 m故选故选 A. 首 页 末 页 22019 温州温州某房简易示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆某房简易示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB 的长为的长为( ) A.95sin m B.95cos m C.59sin m D.59cos m B 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点 A 作作 ADBC，垂足为点，垂足为点 D， 则则 BD1.50.31.8(m) 在在 RtABD 中，中，ADB90 ，cos BBDAB， ABBDcos 1.8cos 95cos (cm)故选故选 B.
38、 首 页 末 页 32019 苏州苏州如图，小亮为了测量校园里教学楼如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度将测角仪的高度将测角仪 CD 竖直竖直放置在与教学楼水平距离为放置在与教学楼水平距离为 18 3 m 的地面上，若测角仪的高度是的地面上，若测角仪的高度是 1.5 m，测得教，测得教学楼的顶部学楼的顶部 A 处的仰角为处的仰角为 30 ，则教学楼的高度是，则教学楼的高度是( ) A55.5 m B.54 m C19.5 m D.18 m C 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过如答图，过 D 点作点作 DEAB 于点于点 E. 在在 D 处测得教学楼顶端处测得教学楼顶端 A
39、的仰角为的仰角为 30 ， ADE30 . DEBC18 3 m， AEDE tan 30 18(m)， ABAEBEAECD181.519.5(m)故选故选 C. 首 页 末 页 42019 泰安泰安如图，一艘船由如图，一艘船由 A 港沿北偏东港沿北偏东 65 方向航行方向航行 30 2 km 至至 B 港，然港，然后再沿北偏西后再沿北偏西 40 方向航行至方向航行至 C 港，港，C 港在港在 A 港北偏东港北偏东 20 方向，则方向，则 A，C 两港之两港之间的距离为间的距离为( ) A(3030 3)km B.(3010 3)km C(1030 3)km D.30 3 km B 首 页
40、末 页 【解析】【解析】 如答图，由题中方位角可知如答图，由题中方位角可知A45 ，ABC75 ，C60 . 如答图，过点如答图，过点 B 作作 BDAC 于点于点 D. 在在 RtABD 中，中，A45 ，AB30 2 km， ADABcos A30(km)，BDABsin A30(km) 在在 RtBCD 中，中，C60 ， CDBDtan C10 3(km)， ACADCD(3010 3)km.故选故选 B. 首 页 末 页 52019 重庆重庆 A 卷卷为践行为践行“绿水青山就是金山银山绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动 如图， 在
41、一个坡度开展了寻找古树活动 如图， 在一个坡度(或坡比或坡比)i12.4 的山坡的山坡 AB 上发现有一上发现有一棵古树棵古树 CD.测得古树底端测得古树底端 C 到山脚点到山脚点 A 的距离的距离 AC26 m，在距山脚点，在距山脚点 A 水平距水平距离离 6 m 的点的点 E 处，测得古树顶端处，测得古树顶端 D 的仰角的仰角AED48 (古树古树 CD 与山坡与山坡 AB 的剖的剖面、点面、点 E 在同一平面上，古树在同一平面上，古树 CD 与直线与直线 AE 垂直垂直)，则古树，则古树 CD 的高度约为的高度约为(参考参考数据：数据：sin 48 0.74，cos 48 0.67，ta
42、n 48 1.11)( ) A17.0 m B.21.9 m C23.3 m D.33.3 m C 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，延长如答图，延长 DC 交交 EA 的延长线于点的延长线于点 F，则，则 CFEA. 山坡山坡 AB 的坡度的坡度 i12.4，AC26 m， 令令 CFk m，则，则 AF2.4k m. 由勾股定理，得由勾股定理，得 k2(2.4k)2262， 解得解得 k10，从而，从而 AF24 m，CF10 m，EF30 m. 在在 RtDEF 中，中，tan EDFEF， 故故 DFEF tan E30tan 48 301.1133.3(m)， CDDFCF2
43、3.3(m)故选故选 C. 首 页 末 页 二、填空题二、填空题(每题每题 5 分，共分，共 25 分分) 62017 泰州泰州小明沿着坡度小明沿着坡度 i 为为 1 3的直路向上走了的直路向上走了 50 m，则小明沿垂直方向，则小明沿垂直方向升高了升高了 m. 【解析】【解析】 如答图，作如答图，作 BEAC 于点于点 E. 在在 RtABE 中，中， 坡度坡度 i1 3，tan A1 333. A30 . 25 首 页 末 页 AB50 m， BE12AB25(m) 小明沿垂直方向升高了小明沿垂直方向升高了 25 m. 首 页 末 页 72019 枣庄枣庄如图，小明为了测量校园里旗杆如图，
44、小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪的高度，将测角仪 CD 竖直放竖直放在距旗杆底部在距旗杆底部 B 点点 6 m 的位置，在的位置，在 D 处测得旗杆顶端处测得旗杆顶端 A 的仰角为的仰角为 53 ，若测角仪，若测角仪的高度是的高度是 1.5 m，则旗杆，则旗杆 AB 的高度约为的高度约为 m(精确到精确到 0.1 m，参考数据：，参考数据：sin 53 0.80，cos 53 0.60，tan 53 1.33) 95 首 页 末 页 【解析】【解析】 由题可知由题可知 BC6 m，CD1.5 m. 如答图，过点如答图，过点 D 作作 DEBC 交交 AB 于点于点 E. 易知四边
45、形易知四边形 BCDE 是矩形，是矩形，DEBC6 m. 在在 RtADE 中，中， AEDE tan 53 7.98(m)，EBCD1.5 m， ABAEEB9.489.5(m) 首 页 末 页 82019 衢州衢州如图，人字梯如图，人字梯 AB，AC 的长都为的长都为 2 m，当，当 50 时，人字梯顶端离时，人字梯顶端离地面的高度地面的高度 AD 约为约为 m(结果精确到结果精确到 0.1 m，参考数据：，参考数据：sin 50 0.77，cos 50 0.64，tan 50 1.19) 15 【解析】【解析】 由三角函数的定义由三角函数的定义，得得 sin sin 50 ADACAD2
46、0.77，AD20.771.541.5(m) 首 页 末 页 92019 湖州湖州有一种落地晾衣架如图有一种落地晾衣架如图所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度图的度数来调整晾衣杆的高度图是支撑杆的平面示意图是支撑杆的平面示意图AB 和和 CD 分别是两根分别是两根不同的支撑杆，夹角不同的支撑杆，夹角BOD.若若 AO85 cm，BODO65 cm.问：当问：当 74时， 较长支撑杆的端点时， 较长支撑杆的端点 A 离地面的高度离地面的高度 h 约为约为 cm.(参考数据：参考数据： sin 37 0.6，cos 37 0.8，sin
47、53 0.8，cos 53 0.6) 120 首 页 末 页 【解析】【解析】 如答图，过点如答图，过点 A 作作 AEBD 交延长线于点交延长线于点 E，则，则AEB90 . 第第 9 题答图题答图 AO85 cm，BODO65 cm，74 ， ODBB53 ，AB150 cm. 在在 RtABE 中，中，sin BhAB， 故故 hAB sin B150sin 53 1500.8120(cm) 首 页 末 页 102019 宁波宁波如图，某海防哨所如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所发现在它的西北方向，距离哨所 400 m 的的 A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达
48、哨所北偏东处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60 方向的方向的 B 处，处，则此时这艘船与哨所的距离则此时这艘船与哨所的距离 OB 约为约为 m. 566 首 页 末 页 【解析】【解析】如答图，如答图， 在在 RtAOH 中，中， OHAOcos 45 200 2(m) 在在 RtBOH 中，中，BOOHcos 60400 2566(m) 首 页 末 页 三、解答题三、解答题(共共 20 分分) 11 (10 分分)2019 威海威海如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图已知汽车货厢高度车货
49、厢的示意图已知汽车货厢高度 BG2 m，货厢底面距地面的高度，货厢底面距地面的高度 BH0.6 m， 坡面与地面的夹角， 坡面与地面的夹角BAH， 木箱的长， 木箱的长 FC 为为 2 m， 高， 高 EF 和宽都是和宽都是 1.6 m 通 通过计算判断：当过计算判断：当 sin 35，木箱底部顶点，木箱底部顶点 C 与坡面底部点与坡面底部点 A 重合时，木箱上部顶重合时，木箱上部顶点点 E 会不会触碰到汽车货厢顶部会不会触碰到汽车货厢顶部 首 页 末 页 解：解：BH0.6 m，sin 35， ABBHsin 0.6351(m)， AH0.8 m. AFFC2 m，BF1 m， 如答图，作如
50、答图，作 FQBG 于点于点 Q，作，作 EPFQ 延长线于点延长线于点 P. 第第 11 题答图题答图 首 页 末 页 FBAB1，EPFFQBAHB90 ，EFPFBQABH， EFPABH， FBQABH， EFABFPBHEPAH，BQBH0.6 m， 即即1.61FP0.6EP0.8， 解得解得 EP1.28 m， BQEP0.61.281.88(m)2 m， 木箱上部顶点木箱上部顶点 E 不会触碰到汽车货厢顶部不会触碰到汽车货厢顶部 首 页 末 页 12(10 分分)2018 长沙长沙为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对 A，B 两地间的两地